Suite explicite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par l'expression $f(x)=\dfrac{2-x}{x+3}$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_n=f(n)$.
  1. Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$. La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ? géométrique ?
  2. Dresser la tableau de variation de la fonction $f$.
  3. En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Correction
  1. $u_0=f(0)=\dfrac{2-0}{0+3}=\dfrac{2}{3}$, $u_1=f(1)=\dfrac{2-1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$ et $u_2=f(2)=\dfrac{2-2}{2+3}=0$.
    On a alors: $u_1-u_0=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{12}$ et $u_2-u_1=\dfrac{1}{4}-0=\dfrac{1}{4}$.
    La suite $(u_n)$ n'est donc pas arithmétique.

    De même, $\dfrac{u_1}{u_0}\not=\dfrac{u_2}{u_1}=0$, et donc la suite $(u_n)$ n'est pas non plus géometrique.
  2. Pour tout $x>0$,
    \[ f'(x)=\dfrac{-1\tm(x+3)-(2-x)\tm1}{(x+3)^2} =\dfrac{-5}{(x+3)^2} \]

    et donc,
    \[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $0$ \hspace{1cm} && \hspace{1cm} & $+\infty$\\\hline $-5$ && $-$ && \\\hline $(x+3)^2$ && $+$ && \\\hline $f'(x)$ && $-$ && \\\hline &&&&\\ $f$ && \psline{->}(-1,0.4)(1.4,-0.4) && \\ &&&&\\\hline \end{tabular}\]


  3. On en déduite que la suite $(u_n)$ est décroissante.


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