suite, démonstration par récurrence et limite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $(u_n)$ la suite défnie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n$, $u_n=\dfrac2{2n+1}$.
  3. Déterminer la limite de cette suite.

Correction
  1. $u_1=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac23$ et $u_2=\dfrac{u_1}{1+u_1}=\dfrac{\dfrac23}{\dfrac53}=\dfrac25$.
  2. On peut démontrer cette propriété par récurrence.
    Initialisation: La propriété est vraie pour $n=0$ car $u_0=2$ et $\dfrac2{2\tm0+1}=2$.

    Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang $n$, c'est-à-dire que $u_n=\dfrac2{2n+1}$,
    alors, au rang suivant, on a
    \[\begin{array}{ll}u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n} =\dfrac{\dfrac2{2n+1}}{1+\dfrac2{2n+1}} =\dfrac{\dfrac2{2n+1}}{\dfrac{2n+3}{2n+1}}\\[2.2em] &=\dfrac2{2n+3} =\dfrac2{2(n+1)+1}\enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$ suivant.

    Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété $u_n=\dfrac2{2n+1}$ est donc vraie pour tout entier $n$.
  3. On a donc
    \[u_n=\dfrac2{2n+1} =\dfrac2{2n\lp1+\frac1{2n}\right)} =\dfrac1{n}\tm\dfrac1{1+\frac1{2n}}\]

    et donc, comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{2n}=1$, on obtient
    \[\lim_{n\to+\infty}u_n=0\]



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