Probabilité de remplissage d'un avion

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Un avion a une capacité de 100 personnes. On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet ne se présente pas à l'embarquement est de 5%.
  1. 100 billets, un par place, ont été vendus.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à l'embarquement.
    1. Préciser pourquoi $X$ suit une loi binomiale, et en donner les paramètres.
    2. Calculer la probabilité que l'avion soit plein.
    3. Calculer la probabilité pour qu'il reste au moins une place libre dans cet avion.
    4. Calculer la probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes dans l'avion.

  2. Comme on estime que la probabilité que cet avion ne soit pas plein est importante, on décide de vendre 105 billets pour ce vol.
    Calculer la probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place.

Correction
Un avion a une capacité de 100 personnes. On considère que la probabilité qu'une personne qui a réservé son billet ne se présente pas à l'embarquement est de 5%.
  1. 100 billets, un par place, ont été vendus.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à l'embarquement.
    1. On répète $n=100$ fois l'épreuve de Bernoulli: un client au hasard se présente ou non à l'embarquement, dont le succès est S:"le client se présente" de probabilité 95%=0,95.
      La variable aléatoire $X$ égale au nombre de succès, c'est-à-dire au nombre de personnes dans l'avion, suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,95$.
    2. La probabilité que l'avion soit plein est $P\left( X=100\rp=0,95^{100}\simeq 0,0059\simeq0,59\%$.
      L'avion a donc très peu de chance d'être plein !
    3. La probabilité pour qu'il reste au moins une place libre dans cet avion est $P\left( X<100\rp=1-P\left( X=100\rp\simeq 99,41\%$.
      C'est l'événement contraire de la question précédente: il y a de très fortes chances pour que l'avion ne soit pas plein !
    4. La probabilité qu'il y ait strictement moins de 96 personnes dans l'avion est, avec la calculatrice $P\left( X<96\rp=P\left( X\leqslant 95\rp\simeq 0,564\simeq56\%$.
      Il ya donc plus d'une chance sur deux pour qu'il y a it plus de 5 places libres dans cet avion.

  2. Comme on estime que la probabilité que cet avion ne soit pas plein est importante, on décide de vendre 105 billets pour ce vol.
    On reprend le raisonnement précédent, en notant $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de personnes qui se présentent à l'embarquement, et qui suit maintenant la loi binomiale de paramètres $n=105$ et $p=0,95$. La probabilité qu'aucun client ne se retrouve sans place est la probabilité que moins de 100 personnes ne se présentent à l'embarquement, soit $P\left( Y\leqslant100\rp\simeq0,608$.
    En vendant 5 billets supplémenaires (c'est ce qu'on appelle du surbooking), il a presque deux chances sur trois pour que personne ne soit lésé en se retrouvant sans place dans l'avion.


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