Oral de Bac - Exponentielle, primitive, variations et intégrale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression: $F(x)=xe^{-x}$.
  1. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1-x)e^{-x}$.
    Existe-t'il d'autres primitives de la fonction $f$ ?
  2. Dresser le tableau de variation de $F$.
  3. Calculer $\dsp\int_0^1 (1-x)e^{-x}\,dx$.

Correction
  1. $F$ est une primitive de $f$ signifie que $F'=f$: il faut donc calculer la dérivée de $F$.
    $F$ est un produit de deux fonctions: $F=uv$, avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}$, donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}$.
    On a alors, $F'=u'v+uv'$, soit $F'(x)=1\times e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=(1-x)e^{-x}=f(x)$.
    Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$.
    L'ensemble des primitives de $f$ est donc l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme $F+k$, où $k$ est un réel quelconque.
  2. Les variations de $F$ sont données par le signe de sa dérivée $F'=f$.

    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&1&&$+\infty$\\\hline $1-x$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline $e^{-x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $(1-x)e^{-x}$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline &&&$e^{-1}$&&\\ $F$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &$-\infty$&&&&$0$\\\hline \end{tabular}\]

    On peut compléter avec les limites:
    • en $-\infty$, il n'y a pas de problème particulier: $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, et donc, par produit des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty$
    • en $+\infty$ on est face à une forme indéterminée "$\infty\tm0$".
      Il s'agit en fait de la propriété de croissances comparées $\dsp\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et donc
      \[\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x} =\lim_{x\to\infty}\dfrac1{\frac{e^x}{x}}=0\]


  3. Comme $F$ est une primitive de $f$, on
    \[\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=1e^{-1}-0e^{-0}=\dfrac1e\]



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