Nombre de noyaux radioactifs

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Nombre de noyaux radioactifs
On note $N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs d'un corps à l'instant $t$, où $t$ est exprimé en jours.
On admet que la fonction $N$ est solution de l’équation différentielle $E: y' = ay$, où $a$ est une constante réelle.
  1. Déterminer la fonction $N(t)$ solution de l'équation différentielle $E$, sachant que $N (0) = 10^9$.
  2. Au bout de 18 jours, le nombre de noyaux radioactifs a diminué de moitié.
    En déduire la valeur exacte de $a$.
  3. Au bout de combien de jours le le nombre de noyaux radioactifs deviendra-t-il inférieur à 100 ?

Correction
  1. $E$ est une équation sans second membre $y'=ay$ dont la solution est directement $N(t)=ke^{at}$, $k\in\R$.
    De plus, on a $N(0)=10^9$ d'une part, et d'autre part, $N(0)=ke^0=k$.
    On en déduit que $k=10^9$, et donc que la solution de $E$ recherchée est $N(t)=10^9e^{at}$.
  2. Pour $t=18$, on a
    \[N(18)=\dfrac{N(0)}2=\dfrac{10^9}2=10^9e^{18a}\]

    On en déduit que
    \[e^{18a}=\dfrac12\iff a=-\dfrac1{18}\ln(2)\]

  3. On cherche $t$ tel que
    \[\begin{array}{ll}N(t)<100 &\iff 10^9e^{at}<100\\ &\iff e^{at}<\dfrac{100}{10^9}=10^{-7}\enar\]

    puis, en appliquant la fonction ln qui est strictement croissante,
    \[at<\ln(10^{-7})=-7\ln(10)\]

    et enfin, en divisant par $a<0$, on trouve
    \[t>-\dfrac7a\ln(10)=7\tm18\dfrac{\ln(10)}{\ln(2)}\simeq418\]

    soit au cours du 418ème jour.


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Tag:Équations différentielles

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