Loi binomiale à la fête foraine

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Une attraction dans une fête foraine permet de gagner soit un gros lot, soit une petite peluche.
250 cordelettes sont proposées au joueur, dont 30 sont reliées à un gros lot, et les autres à une petite peluche.
Il est bien sûr impossible pour le joueur de déterminer quelle cordelette est reliée à un gros lot ou à une peluche, et les tirages se font donc au hasard.
  1. Quelle est la probabilité de gagner un gros lot en tirant une cordelette ?
  2. Un joueur achète un ticket lui permettant de tirer 3 cordelettes.
    On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de gros lots gagnés par le joueur.
    1. Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
    2. Déterminer la probabilité de gagner 3 petites peluches.
    3. Calculer la probabilité de gagner au moins un gros lot.
    4. Quelle est l'espérance de $X$ ? Interpréter ce résultat.

Correction
  1. Il y a 250 cordelettes, dont 30 sont reliées à un gros lot. La probabilité d'en gagner un est donc $p=\dfrac{30}{250}=0,12$.
    1. Le joueur répète $n=3$ fois l'expérience aléatoire consistant à tirer au hasard une cordelette, pour la quelle la probabilité de succès est $p=0,12$.
      Ses répétitions sont identiques et indépendantes entre elles.
      On en déduit que la variable aléatoire $X$, comptant le nombre de succès sur ces 3 répétitions, suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3;0,12)$.
    2. L'événement "Gagner 3 petites peluches" est l'événement "$X=0$", dont la probabilité est donc:
      \[ P(X=0)=\lp\begin{array}{ll} 3 \\ 0\enar\right) \times 0,12^0 \times (1-0,12)^3 \simeq 0,68 \]


    3. L'événement "Gagner au moins un gros lot" est l'événement "$X\geqslant 1$", dont la probabilité est donc:
      \[ P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)\simeq 1-0,68 = 0,32 \]


    4. L'espérance de $X$ est: $E(X)=np=3\tm0,12=0,36$: En effectuant 3 tirages, le joueur peut espérer obtenir en moyenne $0,36$ gros lot.


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