Intersection d'une droite et d'un plan

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(0;4;1)$, $B(1;3;0)$, $C(2;-1;-2)$ et $D(7;-1;4)$, ainsi que la droite $\Delta$ passant par le point $D$ et de vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
  1. Démontrer que les points $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés.
  2. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$. et en déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$

Correction
  1. $\vec{AB}(1;-1;-1)$ et $\vec{AC}(2;-5;-3)$. Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, et donc ces vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
    On en déduit que les points $A,B$ et $C$ ne sont pas alignés (et définissent alors un plan).
  2. $\vec{AB}.\vec{u}=2+1-3=0$ et $\vec{AC}.\vec{u}=4+5-9=0$.
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$ : c'est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    La droite $\Delta$ est par conséquent orthogonale au plan $(ABC)$.

    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y+3z+d=0$.
    Le point $A(0;4;1)$ appartient au plan $(ABC)$, et donc $0-4+3+d=0\iff d=1$.
    Ainsi une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $2x-y+3z+1=0$.
  3. La droite $\Delta$ passe par le point $D(7;-1;4)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(2;-1;3)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc: $\begin{cases} x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\end{cases} \qquad t\in\R$.
  4. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système:
    \[\begin{array}{ll} \la\begin{array}{ll}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2x-y+3z+1=0\enar\right. &\iff\la\begin{array}{l}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0\enar\right.\\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{l}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\28+14t=0\enar\right. \\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{ll}x=7+2t\\y=-1-t\\z=4+3t\\t=-2\enar\right.\\[2.5em] &\iff\la\begin{array}{ll}x=3\\y=1\\z=-2\\t=-2\enar\right.\enar\]


    Donc $H(3;1;-2)$.


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Tag:Géométrie dans l'espace

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