Géométrie dans un cube

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère le cube

de côté 1,

est le milieu de

le symétrique de

par rapport à

.

L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\rp$ .

$\psset{unit=.95cm} \begin{pspicture}(-0.5,.6)(6.3,4) \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3) \psline[linestyle=dashed](1,0.5) \psline(4,0.5)(4,3.5) \psline(4,3.5)(1,3.5) \psline(0,3)(1,3.5) \psline(3,3)(4,3.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5) \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5) \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5) \rput(-0.2,-0.2){$A$} \rput(3.2,-0.2){$B$} \rput(4.3,0.6){$C$} \rput(1.2,0.7){$D$} \rput(-.2,3){$E$} \rput(2.95,3.2){$F$} \rput(4.3,3.7){$G$} \rput(.7,3.7){$H$} \rput(1.5,2.98){$\tm$}\rput(1.5,2.65){$I$} \psline[linewidth=.5pt](3,3)(6,3) \rput(6,2.98){$\tm$}\rput(5.9,2.65){$J$} \end{pspicture}$

Par lecture graphique, donner les coordonnées de et .
En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DJ}$ , $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{BG}$ .
Montrer que $\overrightarrow{DJ}$ est un vecteur normal au plan .
Montrer qu'une équation cartésienne du plan est .

Correction

Par lecture graphique, $I\lp\frac12;0;1\rp$ et $J\lp2;0;1\rp$ .
On en déduit $\overrightarrow{DJ}\lp2;-1;1\rp$ , $\overrightarrow{BI}\lp-\frac12;0;1\rp$ et $\overrightarrow{BG}\lp0;1;1\rp$ .
$\overrightarrow{DJ}$ est normal au plan si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, par exemple $\overrightarrow{BG}$ et $\overrightarrow{BI}$ , ce qui est bien le cas car:

$\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BG}=2\tm0+(-1)\tm1+1\tm1=0$

et

$\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BI}=2\tm\lp-\dfrac12\rp+(-1)\tm0+1\tm1=0$
Un vecteur normal au plan est donc $\overrightarrow{DJ}(2;-1;1)$ et donc ce plan a une équation cartésienne de la forme .
De plus appartient à ce plan, d'où $2\tm1-0+0+d=0\iff d=-2$ .
Une équation cartésienne du plan est donc bien .

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