Etude d'une fonction avec une exponentielle, convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=e^x-x-1$.
  1. Etudier les variations de la fonction $g$.
  2. Déterminer le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$.
  3. En déduire que pour tout $x$ de $[0;+\infty[$, $e^x>x$.
  4. Étudier la convexité de la fonction $g$.

Correction
On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=e^x-x-1$.
  1. $g$ est la somme de la fonction exponentielle et d'une fonction affine et est donc dérivable sur $\R$, donc sur $[0;+\infty[$, avec, $g'(x)=e^x-1$.
    De plus, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$, lorsque $x\in[0;1]$, on a $e^x\geqslant e^0=1$, et donc $g'(x)=e^x-1\geqslant0$.
    On a $g'(x)>0\iff e^x>1\iff x>0$, car Ainsi, on a le tableau de variation:
    \[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $0$ &\hspace*{1cm}& &$+\infty$ \\\hline $g'(x)$ &$0$& $+$ &&\\\hline &&&&\\ $g$&&\psline[arrowsize=6pt]{->}(-.6,-.2)(1,.4)&&\\ &$0$&&&\\\hline \end{tabular}\]

  2. Comme $g$ est strictement croissante sur $\R_+$ et que $g(0)=0$, on en déduit que pour tout $x\geqslant 0$, $g(x)\geqslant g(0)=0$.
  3. On a donc pour tout $x\geqslant 0$, $g(x)=e^x-x-1\geqslant 0$, et ainsi, $e^x-x\geqslant 1>0$ d'où aussi $e^x>x$.
  4. On a $g0$"> et donc $g$ est convexe sur $\R$.


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