Changement de variable dans une équation différentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Se ramener à une équation différentielle connue
On considère l'équation différentielle $E: y'=2y-3y^2$.
On cherche une solution $f$ de cette équation telle que $f(0)=\dfrac12$.
  1. Supposons que $f$ soit une solution de l'équation différentielle $E$.
    On pose alors $f=\dfrac1g$, en supposant que la fonction $g$ ne s'annule pas, et on note $E'$ l'équation $E': y'=-2y+3$.
    Montrer que $f$ solution de $E$ si et seulement si $g$ solution de $E'$.
    1. Préciser la valeur de $g(0)$.
    2. Déterminer la solution $g$ de l'équation $E'$.
    3. En déduire la solution $f$ de $(E)$.

Correction
  1. Pour $f=\dfrac1g$, on a $f'=-\dfrac{g'}{g^2}$.
    $f$ solution de $E$ signifie que $f'=2f-3f^2$,
    soit donc $-\dfrac{g'}{g^2}=2\dfrac1g-3\dfrac1{g^2}$.
    Comme $g$ ne s'annule, $g^2$ non plus, et on peut multiplier cette équation par $g^2$, pour obtenir l'équation $-g'=2g-3\iff g'=-2g+3$ qui montre que $g$ est solution de l'équation $E'$.
    1. On a $f(0)=\dfrac12=\dfrac1{g(0)}$ et donc $g(0)=2$.
    2. L'équation $E'$ se résout simplement: c'est une équation différentielle linéaire à coefficients constants de solution $g(x)=ke^{-2x}+\dfrac32$.
      Comme on a vu que $g(0)=2$, on a alors $k+\dfrac32=2\iff k=\dfrac12$, d'où $g(x)=\dfrac12e^{-2x}+\dfrac32$.
    3. On revient enfin à l'équation $E$ par la transformation
      \[\begin{array}{ll}f(x)&=\dfrac1{g(x)}\\ &=\dfrac1{\dfrac12e^{-2x}+\dfrac32}\\ &=\dfrac2{e^{-2x}+3}\enar\]

      qui est donc la solution recherchée de l'équation $E$.


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