Calculs d'intégrales (bis)

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Calculer les intégrales: $I_1=\dsp\int_0^33x^5\,dx$ ;   $I_2=\dsp\int_{-1}^1 xe^{3x^2}\,dx$ ;   $I_3=\dsp\int_0^1\dfrac{3x}{x^2+1}\,dx$ ;  
À l'aide d'une intégration par parties, calculer $I_4=\dsp\int_0^1xe^{-3x}\,dx$

Correction
$I_1=\dsp\int_0^33x^5\,dx=\lb\dfrac36x^6\rb_0^3 =\dfrac12\tm3^6-0=\dfrac{729}2$
$I_2=\dsp\int_{-1}^1 xe^{3x^2}\,dx =\left[ \dfrac16e^{3x^2}\rb_{-1}^1 =\dfrac16\left( e^3 - e^3\right) =0$
$I_3=\dsp\int_0^1\dfrac{3x}{x^2+1}\,dx =\lb\dfrac32\ln\left( x^2+1\rp\rb_0^1 =\dfrac32\ln(2)-\dfrac32\ln(1)=\dfrac32\ln(2)$
En intégrant par parties, en posant $u=x$ et $v'=e^{-3x}$, donc $u'=1$ et $v=-\frac13e^{-3x}$,
\[\begin{array}{ll}I_4&=\dsp\int_0^1xe^{-3x}\,dx\\[1em] &=\left[ -\dfrac13xe^{-3x}\rb_0^1-\dsp\int_0^1-\dfrac13e^{-3x}\,dx\\[1em] &=-\dfrac13e^{-3}-\lb\dfrac19e^{-3x}\rb_0^1\\[1em] &=-\dfrac13e^{-3}-\lp\dfrac19e^{-3}-\dfrac19e^0\rp\\[1em] &=-\dfrac49e^{-3}+\dfrac19 \enar\]



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