Bac 2024: Vrai ou faux, limites et une équation différentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5 x \mathrm{e}^{-x}$.
    On note $C_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

    Affirmation 1 :
    L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$.

    Affirmation 2 :
    La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E): y'+y=5e^{-x}$.


  2. On considère les suites $\left( u_n\rp,\left( v_n\rp$ et $\left( w_{n}\rp$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$.
    De plus, la suite $\left( u_n\rp$ converge vers -1 et la suite $\left( w_n\rp$ converge vers 1.

    Affirmation 3 :
    La suite $\left( v_n\rp$ converge vers un nombre réel $l$ appartenant à l'intervalle $[-1 ; 1]$.
    On suppose de plus que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et que la suite $\left( w_n\rp$ est décroissante.

    Affirmation 4 :
    Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0$.

Correction
Bac 2024 (4 points) Affirmation 1 : Vrai. On a, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0$ et donc $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$, ce qui signifie exactement que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_{f}$ en $+\infty$.


Affirmation 2 : Vrai. On dérive $f=uv$ avrc $u(x)=5x$ donc $u'(x)=5$ et $v(x)=e^{-x}$ donc $v'(x)=-e^{-x}$.
Ainsi $f'=u'v+uv'$ soit $f'(x)=5e^{-x}-5xe^{-x}$ et alors on trouve que
\[\begin{array}{ll}f'(x)+f(x)&=5e^{-x}-5xe^{-x}+5xe^{-x}\\&=5r^{-x}\enar\]

ce qui montre que $f$ est bien une solution sur $\R$ de l'équation différentielle $(E): y'+y=5e^{-x}$.


Affirmation 3 : Faux. On ne peut pas conclure ici que la suite $(v_n)$ converge. Pour appliquer le théorème des gendarmes il faudrait que les limites des suites encadrantes $(u_n)$ et $(w_n)$ soient égales.
Par exemple la suite $(v_n)$ définie par $v_n=\cos(n)$ est encadrée par $u_n=-\frac1n-1$ et $v_n=1+\frac1n$ qui convergent respectivement vers $-1$ et $1$.
Mais $(v_n)$ ne converge par.


Affirmation 4 : Vrai.
Comme $(u_n)$ est croissante, on a pour tout entier $n$,
\[u_0\leqslant u_1\leqslant \dots \leqslant u_n\leqslant v_n\]

et de même, comme $(w_n)$ est décroissante,
\[w_0\geqslant w_1\geqslant \dots \geqslant w_n\geqslant v_n\]

et ainsi, en particulier,
\[u_0 \leqslant v_n \leqslant w_0\]



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