Bac 2023 - Logarithme, variation, limites et TVI

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par
\[f(x) = x^2 - 8\ln (x)\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$, on note $f'$ sa fonction dérivée.


  1. Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$.
  2. On admet que, pour tout $x > 0$,  $f(x) = x^2\left(1 - 8\dfrac{\ln (x)}{x^2}\right)$.
    En déduire la limite: $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
  3. Montrer que, pour tout réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, $f'(x) = \dfrac{2\left(x^2 - 4\right)}{x}$.
  4. Étudier les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations complet.
    On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. Démontrer que, sur l'intervalle ]0 ; 2], l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\alpha$).
  6. On admet que, sur l'intervalle $[2~;~ +\infty[$, l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\beta$ (on ne cherchera pas à déterminer la valeur de $\beta$).
    En déduire le signe de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
  7. Pour tout nombre réel $k$, on considère la fonction $g_k$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k.\]


    En s'aidant du tableau de variations de $f$, déterminer la plus petite valeur de $k$ pour laquelle la fonction $g_k$ est positive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Correction
(Bac spécialité maths, 20 mars 2023) $f(x) = x^2 - 8\ln (x)$ pour $x\in]0~;~+\infty[$

  1. $\dsp\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ et $\dsp\lim_{x \to 0} \ln(x) = -\infty$ d'où, par soustraction des limites, $\dsp\lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$.
  2. $\dsp\lim_{x \to +\infty} x^2 = +\infty$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty}\dfrac{\ln (x)}{x^2}=0$, d'où par produit des limites, $\dsp\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.
  3. On a, pour tout réel $x>0$,
    \[f'(x) = 2x-8\tm\dfrac1x=\dfrac{2x^2-8}x=\dfrac{2\left( x^2 - 4\right)}{x}\]

  4. Le numérateur de $f'(x)$ est un trinôme du second degré de racines évidentes $-2$ et $2$, et on a donc
    \[\begin{tabular}{|c|lcccc|}\hline $x$ & 0 &&$2$ && $+\infty$ \\\hline $x^2-4$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline $x$ &0& $+$ &$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline &\ $+\infty$&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-.7)(0,1.4)\,\psline(0,-.7)(0,1.4)&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&$4-8\ln(2)$&&\\\hline \end{tabular}\]

    Le minimum de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est $f(2)=8-4\ln(2)$ atteint en $x=2$.
  5. Sur l'intervalle ]0 ; 2], $f$ est continue et strictement décroissante, avec $\dsp\lim_{x\to+}f(x)=+\infty$ et $f(2)\simeq-1,5<0$.
    On en déduit, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédaires version forte) que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur cet intervalle.
  6. On complète le tableau de variation précédent en y ajoutant $f(\alpha)=f(\beta)=0$, et on en déduit le signe de $f$:
    \[\begin{tabular}{|c|lcccccccc|}\hline $x$ & 0 &$\alpha$& &&$2$ && $\beta$ && $+\infty$ \\\hline &\ $+\infty$&&&&&&&&$+\infty$\\ $f$&\psline(0,-1.2)(0,.9)\,\psline(0,-1.2)(0,.9) &\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,.5)(1.1,-.4)0&&&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,-.4)(1.3,.5)&0&&\\ &&&&&$4-8\ln(2)$&&&&\\\hline $f(x)$&\ $+$&0&&&$-$&&0&$+$&\\\hline \end{tabular}\]


  7. Pour tout nombre réel $k$, on a
    \[g_k(x) = x^2 - 8\ln (x) + k = f(x) + k\]

    On a vu précédemment que, pour tout $x>0$, on a $f(x)\geqslant4-8ln(2)$ et ainsi,
    \[g_k(x)=f(x)+k\geqslant4-8ln(2)+k\]

    Pour $g_k(x)$ soit positive pour tout $x>0$, il faut et suffit donc de choisir $k=-4+8ln(2)$


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