Bac 2023 (20 mars): Suite géométrique, exponentielle et Python

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Une entreprise a créé une Foire Aux Questions (« FAQ ») sur son site internet.


On étudie le nombre de questions qui y sont posées chaque mois.



Partie A : Première modélisation


Dans cette partie, on admet que, chaque mois :
  • 90 % des questions déjà posées le mois précédent sont conservées sur la FAQ ;
  • 130 nouvelles questions sont ajoutées à la FAQ.

Au cours du premier mois, $300$ questions ont été posées.


Pour estimer le nombre de questions, en centaines, présentes sur la FAQ le n-ième mois, on modélise la situation ci-dessus à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 1,$
\[u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3\]




  1. Calculer $u_2$ et $u_3$ et proposer une interprétation dans le contexte de l'exercice.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
    \[u_n = 13 - \dfrac{100}{9} \times 0,9^n.\]


  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

    
4. On considère le programme ci-contre, écrit en langage Python.
Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(8.5) et l'interpréter dans le contexte de l'exercice.


\[\renewcommand\arraystretch{0.9} \begin{tabular}{|p{5cm}|} \hline def seuil(p) :\\ \qquad n=1\\ \qquad u=3\\ \qquad while u$<=$p :\\ \qquad \qquad n=n+1\\ \qquad \qquad u=0.9*u+1.3 \\ \qquad return n\\ \hline \end{tabular}\]





Partie B : Une autre modélisation


Dans cette partie, on considère une seconde modélisation à l'aide d'une nouvelle suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par:
\[v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n - 1)}.\]


Le terme $v_n$ est une estimation du nombre de questions, en centaines, présentes le $n$-ième mois sur la FAQ.


  1. Préciser les valeurs arrondies au centième de $v_1$ et $v_2$.
  2. Déterminer, en justifiant la réponse, la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n > 8,5$.




Partie C : Comparaison des deux modèles


  1. L'entreprise considère qu'elle doit modifier la présentation de son site lorsque plus de 850 questions sont présentes sur la FAQ.
    Parmi ces deux modélisations, laquelle conduit à procéder le plus tôt à cette modification ?
    Justifier votre réponse.
  2. En justifiant la réponse, pour quelle modélisation y a-t-il le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme?

Correction
Partie A : Première modélisation
$u_1 =3$ et, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $u_{n+1} = 0,9u_n + 1,3$


  1. $u_2=0,9u_1+1,3=0,9\tm3+1,3=4$, soit 400 questions au bout de 1 mois et $u_3=0,9u_2+1,3=0,9\tm4+1,3=4,9$, soit 490 questions au bout du 2ème mois.
  2. Soit $P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$, pour $n \geqslant 1$.
    Initialisation: Pour $n=1$ on a $13-\dfrac{100}9\tm0,9^1=13-10=3$, et comme $u_1=3$, on en déduit que la propriété $P(1)$ est donc vraie.

    Hérédité: Supposonss que, pour un certain entier $n$, la propriété $P(n)$ soit vraie, c'est-à-dire: $u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$.
    On a, par définition de la suite, $u_{n+1}=0,9u_n+1,3$, et donc, en utilisant l'hypothèse de récurrence,
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=0,9\tm\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp+1,3\\ &=0,9\tm13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}+1,3\\ &=13-\dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\enar\]

    ce qui montre que la propriété $P(n+1)$ est donc aussi vraie.

    Conclusion: On vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que
    $P(n): u_n = 13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n$ est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$.
  3. En utilisant l'expression précédente, on a
    \[\begin{array}{ll} u_{n+1}-u_n&=\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}\rp-\lp13 - \dfrac{100}9\tm0,9^n\rp\\[1em] &=13 - \dfrac{100}9\tm0,9^{n+1}-13 + \dfrac{100}9\tm0,9^n\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\lp0,9-1\rp\\[.8em] &=\dfrac{100}9\tm0,9^n\tm0,1>0\enar\]

    On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
  4. Ce programme retourne le premier rang $n$ tel que $u_n>8,5$.
    On trouve, soit en effectuant ce programme sur la calculatrice, soit par le calcul exact:
    \[\begin{array}{ll} u_n>8,5 &\iff 13-\dfrac{100}9\tm0,9^n>8,5\\ &\iff -\dfrac{100}9\tm0,9^n>-4,5\\ &\iff 0,9^n<\dfrac{4,5\tm9}{100}\\ &\iff\ln(0,9^n)=n\ln(0,9)<\ln\lp\dfrac{4,5\tm9}{100}\rp\\ &\iff n>\dfrac1{ln(0,9)}\tm\dfrac{4,5\tm9}{100}\simeq8,58 \enar\]

    Ainsi, le premier entier, renvoyé par le programme Python lors de l'exécution de seuil(8.5) est $10$.



Partie B : Une autre modélisation $v_n = 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
  1. $v_1=9-6e^0=9-6=3$ et $v_2=9-6e^{-0,19}\simeq4,04$.

  2. \[\begin{array}{ll}v_n > 8,5 &\iff 9 - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>8,5 \\ &\iff - 6 \times e^{-0,19\times(n-1)}>-0,5\\ &\iff e^{-0,19(n-1)}<\dfrac{0,5}{6}\\ &\iff -0,19(n-1)<\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n-1>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp\\[1em] &\iff n>\dfrac1{-0,19}\tm\ln\lp\dfrac{0,5}{6}\rp+1\simeq 14,08 \enar\]

    La plus petite valeur entière recherchée est donc $n=15$.




Partie C : Comparaison des deux modèles


  1. Avec le premier modèle, les 850 questions sont dépassées pour $n=10$ semaines, tandis qu'avec le deuxième modèle, elles sont dépassées pour $n=15$ semaines. Le premier modèle conduit donc à procéder le plus tôt à la modification.
  2. A long terme, c'est-à-dire pour $n$ grand, ou encore pour $n\to+\infty$, on a:
    • Pour le 1er modèle: comme $-1<0,9<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,9^n=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=13$
    • Pour le 2ème modèle: on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}e^{-0,19(n-1)}=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=9$

    À long terme, pour la première modélisation il y a le plus grand nombre de questions sur la FAQ à long terme.


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