Source Latex: Cours de mathématiques, Limites de suites

Terminale générale, spécialité mathématiques
Limites de suites

Cours de mathématiques en terminale générale spécialité mathématiques: limites de suites
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Description
Cours de mathématiques en terminale générale spécialité mathématiques: limites de suites
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
Exercices de révision sur les suites
Principe de récurrence
Limite d'une suite
- Définition et exemples
- Limites usuelles
- Opérations sur les limites
  - Limites de la somme, du produit, de l'inverse et du quotient de suites
  - Méthode en cas de forme indéterminée
- Autres théorèmes de convergence
  - Théorème des gendarmes et corollaires
  - Suites monotones bornées
  - Point fixe pour les suites récurrentes
- Cas des suites arithmétiques et géométriques
Mots clé
Cours de mathématiques, limites de suites, comportement asymptotique, limite, principe de récurrence, terminale générale, spécialité mathématiques
Quelques devoirs

Devoir corrigé
Suites et fonctions - Sujet A
sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique
Devoir corrigé
Suites et fonctions - Sujet B
Devoir corrigé
Suites et fonctions - Sujet A
Devoir corrigé
Suites et fonctions - Sujet B
Devoir corrigé
Suites et fonctions
maison sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, suite auxiliaire arithmétique, convergence monotone et point fixe
Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Limites de 2 suites
Exercices corrigés
Limites de 4 suites
Exercices corrigés
Une petite récurrence
Exercices corrigés
Une petite récurrence
Exercices corrigés
Suite auxiliaire géométrique
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
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\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\vspace*{.8em}\@dottedtocline{1}{.5em}{2.5em}}
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\makeatother
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques en terminale générale spécialité mathématiques: Suites},
    pdftitle={Suites - limites et récurrence},
    pdfkeywords={Mathématiques, terminale générale, spécialité mathématiques,
      suite, limite, récurrence
    }
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\hypersetup{
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    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}


\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18.4cm
\oddsidemargin=-1.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ }
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{%
  \hspace*{0.4cm}%
  \alph{subsubsection})%
  \hspace*{-0.4cm}%
}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de suites}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{\TITLE{} - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp[t]{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp}


%{\setlength{\baselineskip}{1.8em}
%\tableofcontents\par}

\vspace{2em}

\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-6,-3.2)(16,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
  \psplot[plotpoints=500]{-8}{16}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]

\vspace{-1em}
\hfill\bgmp{12cm}\textit{
\hspace*{4em}\textbf{Le mouton noir d'Ecosse}
\\
Un biologiste, un physicien et un mathématicien partent en vacances en Écosse
pour la première fois. Alors qu’ils sont encore dans le train vers Édimbourg, ils
voient un mouton noir. \\
Le biologiste s’exclame : \\ 
\og Incroyable ! Les moutons sont noirs en Écosse ! \fg \\
Le physicien, agacé, corrige le biologiste : \\
\og Tout ce que l’on peut dire, c'est qu’il y a au moins un mouton noir en Écosse. \fg \\
Le mathématicien, placide, rajoute : \\
\og En fait, tout ce que l’on peut dire, c’est
qu'au moins la moitié d'un mouton est noir en Écosse. \fg \\
}\enmp

%Cette plaisanterie a de quoi faire sourire. Si le biologiste s’est peut-être laissé trop emporté, on a envie de dire que le physicien est un peu trop dans la retenue, tandis que le mathématicien est d’une rigueur ridiculement exagérée. Après tout, si la moitié du mouton que l’on voit est bien noir, il semble déraisonnable de ne pas généraliser la noirceur du mouton à son autre moitié.
% On pourrait d’ailleurs prolonger l’histoire avec un philosophe qui rajouterait :
%« Mais qui nous dit que l’on est vraiment en Écosse ? Vous êtes peut-être dans vos lits en train de rêver. Pire encore, un démon a peut-être implanté tous vos souvenirs. Alors que vous croyez vivre une vie sur Terre, vous êtes en fait à la merci de ce démon qui ne fait que vous jouer des tours. Ou si ça se trouve, nous sommes dans une simulation et rien de ce qui nous entoure n’est réel. . . »
%Le problème que soulève la plaisanterie est en fait l’un des plus redoutables problèmes de l’épistémologie en particulier, et de la philosophie en général
%
%Le penseur le plus inﬂuent sur cette question est sans doute David Hume, un philosophe Écossais du XVIIIe siècle.



\vspace{-1em}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}\normalsize
\tableofcontents
\renewcommand{\baselinestretch}{1.0}\normalsize

\vspace{2em}

\[\psset{xunit=.5cm,yunit=.3cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-10,-3.2)(10,3.2)
\psset{linecolor=[rgb]{0,.1,1}}
\newcommand{\f}[1]{#1 1 mul}
\renewcommand{\g}[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul 6 div exp 3 mul}
\multido{\i=1+1}{7}{
  \psplot[plotpoints=500]{-10}{10}{x 5 add \f{\i} add 3.14 div 180 mul 4 mul cos \g{x} mul}
}
\end{pspicture}\]


\clearpage

%\bigskip
%\psline(0,0)(\linewidth,0)

\section{Révisions}
\vspace{-0.4cm}

\bgex 
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n\in\N$ par 
$u_n=n^2+n-1$. 
\bgen
\item Donner $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 
\item Exprimer en fonction de $n$: 
a) $u_{n-1}$ \qquad b) $u_{n+1}$ \qquad c) $u_{n+1}-u_n$
\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? 
\item Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?
\enen
\enex


\bgex
Préciser si les suites suivantes $(u_n)$ sont arithmétiques,
géométriques, ou ni l'un~ni~l'autre. 

\bgen[a.] 
\item Pour tout $n\in\N$, $u_n=n^2$. 
\item $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, 
  $u_{n+1}=u_n-5$. 
\item Pour tout $n\in\N$, 
  $u_n=\dfrac{2n^2+5n+3}{n+1}$.
\item Pour tout $n\in\N^*$, 
  $u_n=\dfrac{3^{2n+1}}{2n}$.
\item $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, 
  $u_{n+1}=-\dfrac23 u_n+4$, 
  puis $(v_n)$ définie par 
  $v_n=u_n-\dfrac{12}5$. 
  %v_{n+1}=u_{n+1}-12/5=-2/3u_n+4-12/5=-2/3u_n+8/5=-2/3(u_n-24/10)
  %       =-2/3(u_n-12/5)=-2/3v_n
\enen
\enex


\vspace{-0.2cm}

\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non
nul par  $u_n=\dfrac{n+1}{n^2+1}$. 

\bgen
\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$. 
\item Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de
  $(u_n)$. 
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10\,000}$, $u_{10^8}$ 
  et $u_{10^{16}}$. 

  Que peut-on dire des valeurs de $u_n$ lorsque $n$ devient de plus en
  plus grand ?
\enen
\enex


\bgex
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies pour 
tout entier naturel $n$ par\\
1) $u_n=\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$. 
\quad
2)  $u_n=3n^2+4n-5$. 
\quad
3) $u_n=-n^3+6n^2-9n+5$ 
\quad 
4) $u_n=\dfrac12e^n$
\quad 
4) $u_n=3e^{-0,5n+1}$ 
\enex

\bgex
Soit la suite  $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+1$. 

Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$, 
puis tracer $\Cf$ et placer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$ sur
l'axe des abscisses. 
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$. 
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 

\item  Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite. 
  \textit{Ces résultats seront démontrés plus tard...}
\enen
\enex

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$. 

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$. 

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique. 
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
  $n$.   
\enen
\enex

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac23 u_n-\dfrac16$.

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=2u_n+1$.

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. 
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
  $n$.   
\enen
\enex

\section{Principe de récurrence}

\noindent
\textbf{\ul{Exemple:}}
On considère la suite $(u_n)$ définie 
pour par $u_0=2$, puis pour tout entier $n$, 
\mbox{$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$}.\\
\phantom{\textbf{\ul{Exemple:}}} Montrer que, pour tout entier $n$, $u_n\geqslant0$. 

\medskip
Il y a ici une \textbf{infinité} de relation algébrique, 
il s'agit de montrer la relation $u_n\geqslant0$ 
\textbf{pour tout $n\geqslant0$}, 
c'est-à-dire pour $n=0$, $n=1$, $n=2$, \dots , 
$n=10$, $n=112$, \dots 

\medskip 
Pour démontrer cette infinité de relation, on peut déjà commencer par
le \textbf{vérifier} au début, pour les premiers termes: 
\bgit
\item pour $n=0$, $u_0=2$, et donc la propriété est bien vraie,
  $u_0\geqslant0$. 
\item pour $n=1$, $u_1=\sqrt{u_0+5}=\sqrt{2+5}=\sqrt{7}\geqslant0$, et
  la propriété est toute aussi vraie
\item pour $n=2$, $u_2=\sqrt{u_1+5}\geqslant0$, car $u_1\geqslant-5$
\item \dots
\enit


Pour traiter le problème d'une manière plus générale, 
on peut remarquer que, \textbf{tant que} que le terme 
$u_n\geqslant-5$, alors le terme suivant 
$u_{n+1}$ est bien défini, et étant une racine carrée, il est positif
ou nul. 

Or, étant positif ou nul, il est aussi supérieur à $-5$, donc son
successeur est bien défini, et donc positif, donc son successeur \dots 

Cette propriété est une propriété d'\textbf{hérédité}: 

Si on suppose qu'à un rang $n$, on a $u_n\geqslant0$, 
alors, \textbf{au rang suivant}, on a
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}\geqslant\sqrt{0+5}=\sqrt5\geqslant0$. 
\\
En d'autres termes,
\fbox{si la propriété est vraie à un rang $n$, elle est aussi vraie au
  rang $n+1$ suivant.}
\medskip
Or, nous avons vu que cette propriété est vraie 
\textbf{initialement} au rang $n=0$ (car $u_0=2\geqslant0$), 
et donc, d'après cette hérédité, 
elle est aussi vraie au rang $n+1=1$, puis aussi au suivant, 
$n+1=2$, puis au suivant, puis \dots, puis \dots

\medskip 
On a ainsi démontré que la relation 
$u_n\geqslant0$ est vraie à tous les rangs $n$. 

Ce raisonnement s'appelle un 
\textbf{\ul{\ul{raisonnement par récurrence}}}. 



%\clearpage%\vspd
\paragraph{Principe du raisonnement par récurrence}

Soit $P(n)$ une proposition qui dépend d'un entier naturel $n$. 
Pour démontrer que $P(n)$ est vraie pour tout entier $n\geq n_0$, il
suffit de : 

\vspd
\bgen
\item \ul{\bf Initialisation:} vérifier que pour le premier entier
  $n_0$, $P(n_0)$ est vraie; 
\vspd
\item \ul{\bf Hérédité de la propriété:} montrer que, si on suppose
  que $P(n)$ est vraie pour un 
  certain entier $n$ ({\bf hypothèse de récurrence}), alors $P(n+1)$
  est encore vraie.
\item \ul{\bf Conclusion:} On conclut alors que, d'après le principe de
  récurrence, la propriété $P(n)$ est vraie pour 
  \ul{\ul{\bf tout}} entier $n\geqslant n_0$. 
\enen

\bigskip\noindent
\textbf{\ul{Exemple 2:}}
On considère la suite $(u_n)$ définie 
pour par $u_0=0$, puis pour tout entier $n$, 
\mbox{$u_{n+1}=2+3u_n$}.\\
\phantom{\textbf{\ul{Exemple 2:}}} Montrer que, pour tout entier $n$, $u_n=3^n-1$. 


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$. 

Montrer que, pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$. 
\enex

\bgex Montrer que, pour tout $n\geq 10$, $2^n\geq 100n$. 
\enex


\bgex
Soit la suite $v$ définie par $v_0=2$, puis pour tout entier $n$,\ \ 
$\dsp v_{n+1}=1+\frac{1}{v_n}$. 

Montrer que pour tout entier naturel $n$,\ \ 
$\dsp\frac{3}{2}\leq v_n\leq 2$.
\enex

\bgex \textsl{Somme des premiers entiers, de leurs carrés, de leurs cubes.}
\bgen[a)]
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
  $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $n$ un entier naturel non nul, et $S_n$ la somme 
$\dsp S_n=\sum_{p=1}^n \frac{1}{p(p+1)}$.

\bgen
\item Ecrire un algorithme permettant de calculer $S_n$ où $n$ est un
  entier naturel choisi par l'utilisateur.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$,\ \ 
  $\dsp S_n=\frac{n}{n+1}$
\item
  \bgit
  \item[a)] Verifier que 
    $\dsp\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$
    \vsp
  \item[b)] Retrouver alors le résultat du 1. par une autre méthode.
  \enit
\enen
\enex

\bgex
Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel $n$,\ \  $(1+a)^n\geq 1+na$.
\enex

\bgex
Soit $u$ la suite définie par $u_0=3$, et pour tout entier $n$ par 
\ \ $u_{n+1}=2(u_n-1)$. 

Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une
expression de $u_n$. 

Démontrer alors cette conjecture.
\enex

\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier $n$,\ \ 
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$. 

Démontrer que cette suite est monotone.
\enex


\section{Limite d'une suite}

\subsection{Définition et exemples}

\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
  La suite numérique $(u_n)$ converge vers le réel $l$ si et seulement
  si tout intervalle ouvert contenant $l$ contient tous les termes
  $u_n$ à partir d'un certain rang. 

  \vspd
  On note: 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=l$ 
  ou encore\ \  
  $\dsp\lim u_n=l$.
}


\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Cette condition: "tout intervalle ouvert" est très
forte car elle permet, entre autre, que l'intervalle puisse être
arbitrairement petit. 


\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la suite $(u_n)$ définie pour $n\geqslant 1$ par 
$u_n=\dfrac{1}{n}+1$. 


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.5)(6.5,3.8)
  \psline{->}(-0.5,0)(7.8,0)\rput(7.9,-0.2){$n$}
  \psline{->}(0,-0.5)(0,3.4)\rput(-0.2,3.5){$u_n$}
  \nwc{\f}[1]{1 #1 div 1 add}
  \psplot{0.4}{7.4}{\f{x}}
  \multido{\i=1+1}{7}{
    \rput(! \i \space \f{\i}){$\tm$}
    \psline[linestyle=dashed](\i,0)(!\i \space \f{\i})
    \rput(\i,-0.3){${\i}$}
  }
  \psline(-0.3,1)(7.9,1)\rput(8.4,1){$l=1$}
  \psline[linestyle=dashed](-1.2,1.4)(7.9,1.4)
  \psline[linestyle=dashed](-1.2,0.6)(7.9,0.6)
  % Intervalle I
  \psline[linewidth=1.6pt](-0.1,0.5)(-0.1,0.6)(0.1,0.6)(0.1,0.5)
  \psline[linewidth=1.6pt](0,0.6)(0,1.4)
  \psline[linewidth=1.6pt](-0.1,1.5)(-0.1,1.4)(0.1,1.4)(0.1,1.5)
  \rput[l](-3.4,1.2){Intervalle ouvert}
  \rput[l](-3.4,0.8){contenant $l$}
\end{pspicture}


Soit par exemple l'intervalle ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$ contenant
$l=1$. 
Alors, 
\[
\hspace{-0.7cm}
u_n \in I 
\iff 
0,99<u_n<1,01 
\iff
0,99<\dfrac{1}{n}+1<1,01
\iff
-0,01<\dfrac{1}{n}<0,01
\iff
n>\dfrac{1}{0,01}=100
\]

Ainsi, dès que $n>100$, tous les termes $u_n$ sont dans l'intervalle 
ouvert $I=]0,99\ ;\ 1,01[$. 

On note $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n = 1$.


\bgdef{
\bgit
\item[$\bullet$] On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$
  lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$, avec
  $A\in\R$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
  rang.  
\item[$\bullet$] On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $-\infty$
  lorsque tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;A[$, avec
  $A\in\R$, contient tous les termes de la suite à partir d'un certain
  rang.  
\enit
}


\subsection{Limites usuelles}
\vspace{-1em}

\bgprop{

\vspace{-0.9cm}
\[
\lim_{n\to+\infty}\sqrt{n}=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty} n^3=+\infty
\]
et plus généralement, 
pour tout entier $p$ non nul 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^p=0$. 
}

\bgproof{
Par exemple pour la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par 
$u_n=n^2$. 

Soit $I$ un intervalle ouvert quelconque de la forme 
$I=]A;+\infty[$, 
avec $A$ un réel strictement positif. 

$u_n\in I=]A;+\infty[\iff
n^2>A
\iff
n>\sqrt{A}
$
(car $A>0$). 

Soit $n_0$ un entier tel que $n_0>\sqrt{A}$, 
alors, pour tout entier $n\geqslant n_0$, 
on a $u_n\in I$, et donc 
$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$. 
}

\bgprop{
\[
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^2}=0
\quad;\quad
\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^3}=0
\]
et plus généralement, 
pour tout entier $p$ non nul 
$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^p}=0$.
}

\bgproof{
Par exemple pour la suite $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}$. 

Soit $I$ un intervalle ouvert quelconque de la forme 
$]-\epsi;+\epsi[$, avec $\epsi>0$. 

$u_n\in I
\iff
-\epsi<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsi
\iff
0<\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsi
\iff
\sqrt{n}>\dfrac{1}{\epsi}
\iff
n>\dfrac{1}{\epsi^2}
$. 

Soit $n_0$ un entier tel que $n_0>\dfrac{1}{\epsi^2}$, alors, pour
tout entier $n\geqslant n_0$, 
$u_n\in I$, 
et donc la suite $(u_n)$ converge vers $0$: 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$. 
}



\subsection{Opérations sur les limites}

$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites, 
et $L$ et $L'$ sont deux réels. 

Le point d'interrogation correspond à une forme indéterminée,
c'est-à-dire un cas où on ne peut pas conclure directement. 

\bgth{{\bf Limite de la somme $u_n+v_n$ }

\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L$ & $L$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ 
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$  
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n+v_n=$ 
& $L+L'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & 
\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par 
$u_n=3+2n-\dfrac{1}{n^3}$. 

On a: 
\[
\left.\bgar{l}
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 3 = 3 \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} 2n = +\infty \\
\bullet \dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n^3} = 0
\enar\ra
\bgar{c}
\text{Par addition des limites}\\
\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty
\enar
\]

\bgth{{\bf Limite du produit $u_n\tm v_n$ }

\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $0$ 
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$ 
& $L\tm L'$ 
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
&\textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}


\vspd\noindent
\ul{Exemple:} 
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par 
$u_n=\lp 2+\dfrac{1}{n}\rp\lp 1+n^2\rp$. 
\\
Par sommes, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 2+\dfrac{1}{n}\rp=2$, 
et $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp 1+n^2\rp=+\infty$, puis par limite du produit, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\!\!=\!\!+\infty$. 

\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite de l'inverse $\dfrac{1}{u_n}$ }

\vspd
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L\not=0$ & $0$ par valeurs positives 
& $0$ par valeurs négatives 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 

\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{u_n}=$ 
& $\dfrac{1}{L}$ 
& $+\infty$
& $-\infty$
& $0$
\\\hline
\end{tabular}
}


\vspd\noindent
Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\N^*$ par 
$u_n=\dfrac{1}{n^2+\sqrt{n}}$. 
Par limite de somme, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2+\sqrt{n}=+\infty$, 
et donc, $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$. 


\vspace{-0.3cm}
\bgth{{\bf Limite du quotient $\dfrac{u_n}{v_n}$ }

\vspd
\hspace{-2.2cm}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=$ 
& $L$ & $L$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $L\not=0$ ou $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $0$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=$ 
& $L'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ 
& $L'\not=0$ 
& $0$
& $0$ 
& $+\infty$ ou $-\infty$ 
\\\hline
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n\tm v_n=$ 
& $\dfrac{L}{L'}$ 
& $0$
& $+\infty$ ou $-\infty$
& \bgmp{3cm}$+\infty$ ou $-\infty$ \\ (règle des signes du produit)\enmp
& \textcolor{red}{\bf ?}
& \textcolor{red}{\bf ?}
\\\hline
\end{tabular}
}

\vspq\noindent
\ul{\bf Méthode en cas de forme indéterminée:} 
On essaie dans ce cas de lever l'indétermination en transformant
l'expression (factorisation, développement, \dots)
\\
Par exemple, soit la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par 
$u_n=n^2-2n+4$. 
\\
On a: 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$, 
et 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} -2n=-\infty$, 
donc on a une forme indéterminée pour la limite de la somme. 


\vspd
Néanmoins, 
$u_n=n^2\lp 1-\dfrac{2n}{n^2}+\dfrac{4}{n^2}\rp
=n^2\lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp$, avec 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$, 

et 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 1-\dfrac{2}{n}+\dfrac{4}{n^2}\rp=1$, 
d'où, par produit des limites 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$. 

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} $n^2$ est le terme dominant en $+\infty$ dans
l'expression de $u_n$. 
C'est lui qui impose son comportement en $+\infty$, ce qui apparaît
clairement quand on le factorise. 


\bgex
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite
$(u_n)$: 

a)\ \ $u_n=n^3+\dfrac{1}{n}$ 
\qquad
b)\ \ $u_n=(3n+1)(-7n+5)$
\qquad
c)\ \ $u_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
\qquad
d)\ \ $u_n=n^3-n^2+3n-1$

e)\ \ $u_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+6}$
\quad
f)\ \ $u_n=\dfrac{n^2+3n-5}{n^3-6n^2+1}$
\quad
g)\ \ $u_n=n\sqrt{n}-n$
\quad
h)\ \ $u_n=(-2n+3)\dfrac{n+3}{-n^2+n+6}$

\vspd
i)\ \ $u_n=\dfrac{n}{n+\sqrt{n}}$ 
\quad
j)\ \ $u_n=\dfrac{9-n^2}{(n+1)(2n+1)}$
\quad
k)\ \ $u_n=\dfrac13-\dfrac{n}{(2n+1)^2}$
\quad
l)\ \ $u_n=\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2+3}{3n^2+n+1}$
\enex



\subsection{Autres théorèmes de convergence}

\subsubsection{Théorèmes de comparaison}

\vspace{-0.6cm}
\bgth{ {\it\ul{Théorème des gendarmes pour les suites}}
  \vspd
  
  Soit $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles que, 

  \[\mbox{pour tout entier $n$, } \ \ 
  v_n\leq u_n \leq w_n \ .
  \]

  Si de plus $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=\lim_{n\to+\infty}w_n=l$, 
  alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$. 
}

\bgcorol{
  Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que, pour tout entier
  $n$, $u_n\geq v_n$. 

  \vsp
  $\bullet$ Si $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$, 
  alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$. 
 
  \vsp
  $\bullet$ Si $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty$, 
  alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=-\infty$. 
}

\bgex {\sl D'après BAC}

$(u_n)$ est une suite définie par $u_0=1$ et,
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+3$. 

\bgen[a.]
\item Etudier le sens de variation de $(u_n)$. 
\item Démontrer par récurrence que, 
  pour tout entier $n$, $u_n=(n+1)^2$. 
\item En déduire que, pour tout entier $n$, 
  $u_n\geqslant n^2$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? majorée ? 
  Justifier. 
\item Donner la limite de $(u_n)$. 
\enen
\enex


\bgex
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=1$ et, pour tout entier $n$, par $a_{n+1}=\dfrac13a_n+n-2$. 
\bgen
\item\bgmp[t]{12cm}\vspace{-1em}\bgen[a)]\item Quelle est la valeur retournée lors de l'appel \textit{fonction(3)} de la fonction python ci-contre ? 
  \item Qu'affiche l'instruction suivante ?\\ \hspace*{1em}\textit{for i in range(10)\!:\,print(fonction(i))}
  \enen
  \enmp
  \hfill
  \fbox{\bgmp[t]{4cm}
    def fonction(n):\\
    \hspace*{1em}a=1\\
    \hspace*{1em}for p in range(n):\\
    \hspace*{2em}a=1/3*a+p-2\\
\hspace*{1em}return(a)
  \enmp}
  

\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant7$, on a 
$a_n\geqslant n-3$. 
\item En déduire la limite de la suite $(a_n)$. 
\enen
\enex


\subsubsection{Suites minorées, majorées et bornées}

\vspace{-0.3cm}
\bgdef{Une suite $(u_n)$ est dite: 
  \bgit 
  \item[$\bullet$] \textbf{minorée} lorsque qu'il existe un réel 
    $m$ tel que, pour tout entier~$n$, 
    $u_n\geqslant m$. 
  \item[$\bullet$] \textbf{majorée} lorsque
    qu'il existe un réel 
    $M$ tel que, pour tout entier $n$, 
    $u_n\leqslant M$. 
  \item[$\bullet$] \textbf{bornée} lorsqu'elle
    est à la fois minorée et majoréé, c'est-à-dire lorsqu'il existe deux
    réels $m$ et $M$ tels que, pour tout entier $n$, 
    $m\leqslant u_n\leqslant M$. 
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\sin(n)+n$. 

Alors, pour tout entier $n$, comme $\sin(n)\geqslant -1$, 
$u_n=\sin(n)+n\geqslant -1+n\geqslant -1+0=-1$. 

Ainsi, cette suite $(u_n)$ est minorée par $m=-1$. 

\vspd
De plus, pour tout entier $n$, $u_n=\sin(n)+n\geqslant -1+n$, ce qui
montre que la suite $(u_n)$ n'est pas majorée, et donc n'est pas
bornée non plus. 


\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Tout nombre inférieur à $m$ est aussi un minorant. 

En effet, pour tout entier $n$ on a aussi par exemple, $n$, 
$u_n\geqslant -10\geqslant -210\geqslant \dots$


\vspq\noindent
\ul{Ex:} 
$\bullet$\ $(u_n)$ définie pour $n\geq 1$ par
$\dsp u_n=3\sin\lp\frac{1}{n}\rp+2$, alors $(u_n)$ est bornée: 
$\forall n\geq 1\,,\ -1\leq u_n\leq 5$. 

\vspd
$\bullet$ $(v_n)$ définie par $\dsp v_n=\frac{3}{2+n}$ est bornée, 
car, $\dsp\forall n\geq 0\,,\ 0 \leq v_n \leq \frac{3}{2}$


\bgth{
  Toute suite monotone et bornée est convergente: 

  \vsp
  \bgit
  \item[$\bullet$] Toute suite croissante et majorée est convergente. 
    \vsp
  \item[$\bullet$] Toute suite décroissante et minorée est convergente. 
  \enit
}

\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Ce théorème permet de montrer qu'une suite converge,
mais ne fournit aucun moyen pour déterminer cette limite. 


\bgex Soit la suite $u$ définie  par $u_0=5$ et
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$ 

\bgen
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante. 

\item Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée. 

\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\enex


\subsubsection{Point fixe}
\vspace{-1em}

\bgth{{\bf Point fixe} 

  Soit une suite $(u_n)$ définie par une relation de récurrence du type 
  $u_{n+1}=f(u_n)$. 

  Si la suite $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors, 
  la limite $l$ vérifie la relation $f(l)=l$. 

  \vsp
  $l$ s'appelle un point fixe pour la fonction $f$. 
}

\vspd
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$. 

\bgen
\item Montrer que cette suite est croissante.
\item Montrer que pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$. 
  En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. 
\item Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$.
\enen
\enex



\bgex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac32x$, et la suite $(u_n)$ définie par 
$u_0=3$, puis pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen
\item Appliquer le théorème du point fixe à la suite $(u_n)$. 
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et conjecturer l'expression de
  $u_n$ en fonction de $n$. 

  Démontrer cette conjecture. 
  Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ?
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$, par \ \ $\dsp u_{n+1}=4-\frac{3}{u_n}$. 

\vsp
\bgit
\item[1.] 
  \bgit
  \item[a)] Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer
    la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et la courbe $\Cf$
    représentant la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par
    l'expression \ \ $\dsp f(x)=4-\frac{3}{x}$. 
  \item[b)] Placer sur l'axe des abscisses, et sans effectuer aucun
    calcul, les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
  \item[c)] Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$. 
  \enit
  \vspd
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$,\ \ 
    $2\leq u_n\leq 3$.
  \item[b)] Démontrer que la suite $u$ est croissante, et en déduire
    qu'elle converge.
  \item[c)] Déterminer alors la limite de la suite $u$. 
  \enit
\enit
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen
\item\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$. 
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 

\item  Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite. 
\enen
\item \bgen[a)]
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, on a $u_n>0$. 
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. 
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$. 
    Déterminer $l$. 
  \enen 
\item On considère la somme 
  $\dsp S_n=\sum_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n$. 

  \'Ecrire un algorithme/programme qui permet de calculer $S_n$ pour $n$ quelconque donné. 

  Calculer $S_{100}$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $(S_n)$ et $(T_n)$ les deux suites définies, pour tout entier naturel $n$, par \vspace{-.9em}
\[S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac1{3^k}=1+\dfrac13+\dots+\dfrac1{3^n}
\qquad et \qquad 
T_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{3^k}=\dfrac13+\dfrac2{3^2}+\dots+\dfrac{n}{3^n}\]
\vspace{-1.5em}
\bgen
\item\bgen[a.]
  \item Pour tout entier $n$, exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n$
  \enen
\item \bgen[a.]
  \item Montrer que la suite $(T_n)$ est croissante. 
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, 
    $T_{n+1}=\dfrac{S_n+T_n}3$.
  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, on a $T_n\leqslant1$. 
  \item En déduire que la suite $(T_n)$ converge vers un réel $l$. 
    Déterminer $l$. 
  \enen
\enen
\enex

\subsection{Suites arithmétiques et géométriques}

\bgprop{
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de
raison $r$. 
Alors pour tout entier $n$, $u_n=u_0+nr$ et 
\bgit
\item[$\bullet$] si $r>0$, alors 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$ 
\item[$\bullet$] si $r<0$, alors 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty$ 
\enit
}

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$. 

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$. 

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique. 
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. 
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item Soit $a$ un réel strictement positif. 

  Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, 
  \quad
  $(1+a)^n\geqslant 1+na$. 
\item Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0>0$ et
  de raison $q>1$. 

  Montrer que\quad  $\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ . 
\enen
\enex

\bgth{
  Soit $q$ un réel, alors 
  \bgit
  \item[$\bullet$] Si $-1<q<1$, alors la suite $(q^n)$ converge vers
    $0$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=0$. 
  \item[$\bullet$] Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ diverge vers
    $+\infty$: \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=+\infty$. 
  \item[$\bullet$] Si $q\leqslant-1$, alors la suite $(q^n)$ n'a pas
    de limite
  \item[$\bullet$] Si $q=1$, alors la suite $(q^n)$ est constante, 
    $q^n=1$ pour tout entier $n$, et donc aussi, 
    \quad$\dsp\lim_{n\to+\infty} q^n=1$. 
  \enit
}

\bgproof{
Soit $q>1$, alors $a=q-1>0$, et on a démontré à l'exercice 20 que, 
pour tout entier $n$, $q^n=(1+a)^n\geqslant 1+na$. 

Or, comme $a>0$, $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+na=+\infty$, 
et alors, d'après le corolaire du théorème des gendarmes, 
on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$. 
}

\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, 
pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac14 u_n+6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par 
$v_n=u_n-8$. 

\bgen
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. 
\item En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de
  $n$. 
\item Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$,\ \ $\dsp u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}$. 

\vspace{-0.5cm}
\paragraph{$1^{\scriptsize{\mbox{ère}}}$ méthode} 
a) vérifier que pour tout $n\in\N$, 
  $\dsp u_{n+1}=5-\frac{16}{u_n+3}$. 
\bgit
\item[b)] Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n\in[1;2]$.
\item[c)] Etablir la relation 
  $\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-1)^2}{u_n+3}$, et en déduire le sens
  de variation de $u$. 
\item[d)] Démontrer que $u$ converge et déterminer sa limite $l$. 
\enit

\vspace{-0.3cm}
\paragraph{$2^{\scriptsize{\mbox{ème}}}$ méthode} 
On considère la suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par \ \ 
$\dsp v_n=\frac{1}{u_n-1}$. 
\bgit
\item[a)] Prouver que $v$ est une suite arithmétique de raison
  $\dsp\frac{1}{4}$. 
\item[b)] Exprimer pour tout $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fontion de $n$. 
\item[c)] En déduire la convergence de $u$ et sa limite.
\enit
\enex



\label{LastPage}
\end{document}
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