Source Latex: Exercices de mathématiques, Limite de fonctions

Terminale générale

Limite de fonctions

Exercices de mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques: limites de fonctions
Fichier
Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques, terminale générale spécialité mathématiques: limites de fonctions
Niveau
Terminale générale
Mots clé
Cours de mathématiques, limites de fonctions, comportement asymptotique, asymptotes, limite, terminale générale, spécialité mathématiques

Quelques devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques en terminale générale: limites de fonctions},
    pdftitle={Limites de fonction},
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      limite, limites, fonction, comportement asymptotique 
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
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\oddsidemargin=-1.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème }%\arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété }%\arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété }%\arabic{nprop}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\newcounter{ncorol}
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  \settowidth{\ltheo}{Corollaire }%\arabic{ncorol}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire }%\arabic{ncorol}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition }% \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition }%\arabic{ndef}}\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ndef}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Comportement asymptotique des fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{xymaths - spé maths, terminale générale}}
\rfoot{Limites de fonctions - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{0.2cm}


\hfill{\LARGE\bf\bgmp{10.5cm}\TITLE\enmp}
\hfill{\bgmp[t]{9em}Terminale générale\\spécialité maths\enmp}

\vspace*{0.2cm}


\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
1 &\text{ si } &x\leqslant 3 \\
2 &\text{ si } &x> 3 
\enar\right.
$

Déterminer les limites à gauche et à droite en $3$: 
\limgd{x\to3}{x<3}{f(x)}, et 
\limgd{x\to3}{x>3}{f(x)}. 

La fonction $f$ est-elle continue en $3$ ? 
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
x+2 &\text{ si } &x\leqslant -1 \\
-2x-1 &\text{ si } &x> -1
\enar\right.
$

Déterminer les limites à gauche et à droite en $-1$: 
\limgd{x\to-1}{x<-1}{f(x)}, et 
\limgd{x\to-1}{x>-1}{f(x)}. 

La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ? 
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex

\bgex Déterminer les limites suivantes: 

\vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$ 
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$ 
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$ 
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$ 

e)\ \ $\dsp\lim_{\to+\infty}e^x+\dfrac3{e^x}+\dfrac{2x^2}+x^3$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x+\dfrac{x}{e^x}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{-2}{e^x-1}$
\enex

\bgex {\sl Vrai ou faux} (Donner un contre exemple lorsque la
proposition est fausse)

\bgen[a.] 
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ 
  et  $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ 
  alors  $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. 
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ 
  alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)g(x)\rp=+\infty$ 
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ 
  alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)-g(x)\rp=0$. 
\enen
\enex


\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $D=\R\setminus\la2\ra$ 
par $f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$. 

%\vspace{-0.2cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que si $x\not=2$ et $1,9<x<2,1$, alors $f(x)>100$. 
\item Soit $A$ un réel strictement positif. 
  Déterminer un intervalle ouvert $I$ contenant $2$ tel que si 
  $x\in I$ alors $f(x)>A$. 
\item Que peut-on déduire en termes de limite pour la fonction $f$ ?
\enen
\enex

\bgex
Déduire de chacune des limites suivantes, si possible, l'équation
d'une asymptote verticale ou horizontale à la courbe représentative de
la fonction $f$. 
\medskip

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$ 
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$ 
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$ 
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$

e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$ 
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$ 
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$ 
\enex


\bgex
Déterminer les limites de la fonction $f$ aux valeurs demandées, 
et préciser l'équation de l'éventuelle asymptote:

\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$

\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex


\bgex
Déterminer les limites suivantes: \vspd

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-3x^2+1}$
\enex



\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes: 
\vspd

a)\ \ $f(x)=\sqrt{2x^3-3x+1}$ 
\qquad
b)\ \ $f(x)=\lp 2x+3\rp^5$
\qquad
c)\ \ $f(x)=e^{2x-3}$ 

\vspd
d)\ \ $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}$
\qquad
e)\ \ $f(x)=\lp\dfrac{x+1}{2x+1}\rp^7$
\qquad
f)\ \ $f(x)=\dfrac1{1+e^{-0,5x^2+1}}$
\enex


\bgex
Un capteur solaire récupère de la chaleur par le biais d'un fluide.
On s'inétéresse à l'évolution de la température du fluide dans un
capeteur de 1m de longueur. 

Cette température est modélisée par: 
$T(x)=170-150e^{-0,6x}$, 
où $x\in[0;1]$ est la distance, en mètres, parcourue par le fluide
depuis son entré dans le capteur, et $T(x)$ est la température en
$^\circ$C. 

\bgen
\item Déterminer la température à l'entrée du capteur. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Etudier les variations de la température $T$ sur $[0;1]$. 
  \item En déduire la température maximale, au degré près, atteinte
    par le fluide. 
  \item Tracer dans un repère la courbe représentant la température
    $T$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex
Etudier sur $\R$ les fonctions suivantes (sens de variations et limites): 

\vspd
a)\ $f(x)=e^{-x}$ 
\qquad
b)\ $g(x)=e^x+e^{-x}$
\qquad
c)\ $h(x)=x+e^x$
\qquad
d)\ $k(x)=e^{-x^2}$
\enex


\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$

\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}$. 

\bgen[a.]
\item A quelle forme indéterminée la limite de $f$ en $+\infty$
  conduit-elle ? 
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ positif, 
$f(x)=x\lp2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\rp$.

En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. 
\enen
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction $x\mapsto \dfrac{ax+b}{2x-1}$ où $a$ et $b$ sont
deux réels.
$f$ est représentée par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

\bgen
\item Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$. 

\item Déterminer les asymptotes à $\mathcal{C}$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$, 
  et tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\enen
\enex


\bgex
Soit $\vphi$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par: 
$\dsp\vphi(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$. 
\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variation de $\vphi'$. 
\item En déduire le signe de $\vphi'$ puis les variations de $\vphi$. 
\item Montrer que, pour tout $x\geqslant0$, on a $e^x\geqslant\dfrac{x^2}2$. 
\item Déterminer la limite lorsque $x\to+\infty$ de 
  $\dfrac{e^x}x$
\enen
\enex


\bgex Déterminer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes: 

\vspd%\noindent
a) $f(x)=x^2+2-e^x$\hspace{1.6cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{2e^x-x}{x^2}$\hspace{1.2cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$%\hspace{1cm}

\vsp%\noindent
d) $l(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$\hspace{1cm}
e) $\dsp k(x)=\frac{\sqrt{e^x+2}}{x}$ \hspace{1cm}
f) $\dsp t(x)=\frac{e^{2x}+x^2}{x^2+x-3}$
\enex

\bgex
\'Etudier (sens de variations et limites) sur $\R$ les fonctions suivantes:\\[.5em] 
a) \ \ $f(x)=e^{3x}-3e^x$ \qquad
b) \ \ $g(x)=(0,4x-2)e^{-0.1x}$
\enex



\bgex {\sl Vrai ou faux}

\bgen[a.]
\item Si pour tout réel $x$, $f(x)\geqslant x^2$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$. 
\item Si pour tout réel $x$ strictement positif, 
  $f(x)\leqslant \dfrac1x$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$. 
\item Si pour tout réel $x$ strictement positif, 
  $1\leqslant f(x)\leqslant x$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}=0$. 
\enen
\enex

\vspace{-.3cm}
\bgex
Déterminer la limite en $+\infty$ de $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin(x)$. 
\enex



\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+$ par $f(x)=e^x-x$. 

\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item En déduire le signe de $f(x)$ puis que, 
  pour tout $x\geqslant0$, $e^x>x$. 
\item Déterminer la limite de $e^x$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. 
\enen
\enex



\bgex %{\bf Asymptote oblique} 
Soit $f$ définie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ par 
$\dsp f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ 
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\vspace{-.3cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout $x\in D$, 
  $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$ 
\item Déterminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de 
  $f(x)-(x+1)$. 
\item Quelle propriété peut-on en déduire quant à $\mathcal{C}_f$ et
  la droite $\Delta: y=x+1$ ? 

  Représenter ce résultat sur un graphique. 
\enen
\enex

%\bgex
%Décomposer les fonctions suivantes: 
%$\dsp\bullet g(x)=\frac{x^2+2x-5}{2x-1}$ 
%\hspace{1cm}
%$\dsp\bullet h(x)=\frac{6x^3-4x^2+3}{x^2+x+1}$
%\enex


%\bgmp{10cm}
%Soit, pour $x\in\R\setminus\la1\ra$, $M$ le point de $\mathcal{C}_f$
%d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$. 
%
%\vspace{0.6cm}
%Alors, $MN=\big|f(x)-(ax+b)\big|$, 
%
%\vspace{0.6cm}
%et, $\dsp \lim_{x\to+\infty} MN = \lim_{x\to-\infty} MN=0$
%
%\vspace{0.6cm}
%La droite $\Delta$ d'équation $y=ax+b$ est asymptote oblique à
%$\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$. 
%
%\enmp
%\bgmp{10cm}
%\psset{arrowsize=6pt,unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-4.,-5)(7,9)
%\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
%\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-5.2)(0,9)
%
%\psplot[linewidth=0.8pt]{-6}{6}{x 1 add}
%\psplot[linewidth=0.8pt]{1.3}{5.8}{
%  x x mul 1 add
%  x -1 add
%  div
%}
%
%\psplot[linewidth=0.8pt]{-5.8}{0.7}{
%  x x mul 1 add
%  x -1 add
%  div
%}
%\rput(1.7,8.5){$\mathcal{C}_f$}
%
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](5,-0.3)(5,6.5)
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.4,6)(5,6)
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.8,6.5)(5,6.5)
%
%\rput(5,-0.5){$x$}
%\rput(-1.5,6){$y=ax+b$}
%\rput(-1.5,6.5){$f(x)$}
%
%\psline[linewidth=1pt](4.85,5.85)(5.15,6.15)
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.15)(5.15,5.85)
%
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.35)(5.15,6.65)
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.65)(5.15,6.35)
%
%\rput(5.1,7){$M$}
%\rput(5.4,6.){$N$}
%\end{pspicture}
%\enmp



\bgex
Soit la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\la-2\ra$ par
l'expression  $\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$. 

\vspd\noindent
Montrer que la droite d'équation $y=-x+3$ est asymptote
oblique à la courbe représentative de~$f$. 
\enex


\bgex
Soit $g$ la fonction définie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ 
par l'expression $\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe
représentative dans un repère orthogonal du plan. 

\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Déterminer les limites de $f$ à gauche et à droite en 
  $1$. 

\item Déterminer trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que, 
  pour tout $x\in D$, 
  $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 

\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 

\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x+2$ est asymptote
  à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.   
\enen
\enex

\vspace{-0.3cm}
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R\setminus\la-2\ra$
par 
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x+3}{x+2}$, et on
note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère
orthogonal du plan. 

\bgen
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'équation 
  $y=2x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et 
  $+\infty$. 

\item Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. 
\item Représenter graphiquement ces résultats.
\enen
\enex

%\bgex
%$\bullet$ Soit $h$ la fonction définie par l'expression 
%$\dsp h(x)=\frac{2x^3+3x^2-7x+3}{x^2+2x-3}$. Etudier $h$. 
%\enex

\bgex {\bf Exercice type Bac}

\noindent
\bgmp{7.1cm}
{\bf Partie A.} 
Soit $\vphi$ la fonction définie sur $\R$ par 
\quad$\vphi(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$ 
dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre. 

La droite d'équation $y=3$ est asymptote à $\mathcal{C}$ en plus et
moins l'infini. 

\vspd
Grâce aux renseignements donnés par le graphique, 
déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.  
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{11cm}
\psset{arrowsize=4pt,xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(5.5,5.6)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(-5.2,0)(5.2,0)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-0.5)(0,6.4)
  \multido{\i=-5+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-0.4)(\i,6.4)
  }
  \multido{\i=1+1}{6}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](1,0)(1,5)(0,5)
  \rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(-0.15,0.8){$1$}\rput(0.9,-0.2){$1$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-5.2}{5.2}{3 4 x mul x x mul 1 add div add}
  \rput(2.6,4.6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
{\bf Partie B.} 
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$. 

\vspace{-0.3cm}
\bgen
\item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout
  réel $x$, $f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$. 
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$. 
\item Déterminer les positions relatives de la courbe représentative
  de $f$ et de son asymptote. 
\item 
  \bgen[a.]
  \item Montrer que pour tout réel $x$, 
    $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=3$. 
  \item Que peut-on en déduire pour la courbe représentative de $f$ ? 

    {\sl (Indication: Considérer les points 
      $M(x;f(x))$, $M(-x,f(-x))$ et $I(0;3)$)}
  \enen
\enen

\noindent
{\bf Partie C.} 
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 
$g(x)=f\lp|x|\rp=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}$. 

\bgen
\item Déterminer la limite de $g$ en moins l'infini. 
\item expliquer comment obtenir la courbe représentative de $g$ à
  partir de celle de $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Déterminer les limites: 
\quad
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp \sqrt{x^2+2x+3}+x\rp$
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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