Source Latex: Exercices de mathématiques, Géométrie dans l'espace

Terminale générale, spécialité mathématiques
Géométrie dans l'espace

Exercices de mathématiques: géométrie dans l'espace, produit scalaire
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Type: Exercices
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Description
Exercices de mathématiques: géométrie dans l'espace, produit scalaire
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Mots clé
Exercices de mathématiques, géométrie dans l'espace, produit scalaire, terminale générale, spécailité mathématiques
Quelques devoirs

Devoir corrigé
Géométrie plane et exponentielle
maison de géométrie plane: géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, exponentielle, tangente
Devoir corrigé
Géométrie plane, équation de droites
géométrie plane analytique, vecteurs et équations de droites, géométrie avec une hyperbole et ses tangentes, courbe représentative de la fonction inverse
Devoir corrigé
Géométrie dans l'espace, tangente à une courbe, étude de fonction avec exponentielle
géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle
Devoir corrigé
Géométrie dans l'espace - Étude d'une fonction rationnelle
géométrie dans l'espace, vecteurs et équations de plan, représentation paramétrique d&une droite de l'espace, tangente à une courbe, exponentielle - Analyse: étude d'une fonction: variations, limites, TVI, asymptotes, ...
Devoir corrigé
Convexité et géométrie dans l'espace
étude de la convexité de fonctions (et variations, tangentes, limites, ...) et géométrie dans l'espace
Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
Révisions dans le plan
Exercices corrigés
Bac 2024 (19 juin): Un peu de tout dans un tétraèdre
Exercices corrigés
Bac 2023 (20 mars): Un peu de tout dans l'espace
Exercices corrigés
Bac 2022 (12 mai): Un peu de tout dans l'espace
Exercices corrigés
Bac 2022 (11 mai): Un peu de tout dans l'espace
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[french]{babel}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de math�matiques: G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire},
    pdftitle={G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire - Exercices},
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      G�om�trie, espace, Produit scalaire
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\ga{\gamma}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{D�monstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}





\headheight=0cm
\textheight=26cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\alph{subsubsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercices de g�om�trie}
\author{Y. Morel}
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\usepackage{fancyhdr}

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\lfoot{Y. Morel \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - sp� maths en terminale g�n�rale}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-1em}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill{\bgmp{9em}Terminale g�n�rale\\sp�cialit� maths\enmp}

%\vspace{-.5em}

\section{G�om�trie du plan}
\vspace{-1em}

\noindent
\bgmp{12.6cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un carr�, et $I$ et $J$ les points tels que 
$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$. 

\vsp
D�montrer que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendicualires.
\enex
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
  \rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$}
  \rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$}
  \psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
  \psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.3){$J$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=3$ cm. 
\bgen[a)]
\item D�terminer l'ensemble $E_1$ des points $M$ du plan tels que   
  $\V{AM}\cdot\V{AB}=0$. 
\item Donner un point $H$ de $(AB)$ tel que 
  $\V{AH}\cdot\V{AB}=-6$. 

  D�terminer l'ensemble $E_2$ des points $M$ du plan tels que  
  $\V{AM}\cdot\V{AB}=-6$. 
\enen
\enex





\bgex
Soit un triangle de c\^ot�s 3cm, 5cm et 7cm. 
D�terminer les trois angles de ce triangle. 
\enex


\bgex
Reprendre l'exercice 1, et donner dans le rep�re orthonormal 
$(D;\V{DC},\V{DA})$ les coordonn�es de tous les points de la figure. 
D�montrer alors que les vecteurs $\V{AI}$ et $\V{BJ}$ sont
orthogonaux. 
\enex


\bgex
Dans un RON, on consid�re les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et
$C(-3;0)$. 
Donner une valeur de $\widehat{ABC}$ � $0,1$ degr� pr�s.
\enex

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Dans un RON (rep�re orthonormal), on consid�re les points 
$A(1;1)$, $B(-1;2)$ et $C(-3;0)$. 
Soit de plus $H$ le projet� orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$. 

\bgen
\item Calculer l'angle $\widehat{ABC}$. 

\item Calculer les coordonn�es de $H$. \\
  En d�duire la longueur $BH$.
\enen
\enex
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=.9cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-4,-0.3)(4,3.8)
  \rput(1,1){$\tm$}\rput(1.2,1.2){$A$}
  \rput(-1,2){$\tm$}\rput(-1.2,2.2){$B$}
  \rput(-3,0){$\tm$}\rput(-3.05,-0.3){$C$}
  \psline{->}(-5.2,0)(2.3,0)
  \multido{\i=-5+1}{8}{\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)}
  \psline{->}(0,-1.3)(0,4.2)
  \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)}
  \psline(-4,-1)(1,4)
  \psline[linestyle=dashed](-0.5,2.5)(1,1)%\rput(-0.5,2.5){$\tm$}
  \rput(-0.7,2.7){$H$}
\end{pspicture}
\enmp

\medskip
\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$. 

\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la m�diatrice du segment $[AB]$. 
\item D�terminer une �quation de la hauteur issue de $C$ dans le
  triangle $ABC$.
\enen
\enex

\bgex
Dans un RON, on consid�re les points 
$A(-3;0)$, $B(3;-1)$ et $C(1;5)$. 
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation de la droite $d_1$ perpendiculaire � 
$(AB)$ et passant par $C$. 
\item D�terminer une �quation de la droite $d_2$ parall�le �
  $(AB)$ et passant par $C$ 
  (on pourra tout d'abord d�terminer un vecteur $\vec{n}$ normal 
  � $\V{AB}$). 
\enen
\enex


\bgex
$ABC$ est un triangle tel que 
$A(1;-2)$, $B(4;3)$ et $C(-2;1)$. \\
Calculer les coordonn�es de l'hortocentre du triangle $ABC$.
\enex



\bgex
On consid�re la droite $d$ passant par $A(-2;3)$ et $B(5;2)$. 
\bgen
\item Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$. 
\item Donner alors une repr�sentation param�trique de la droite $d$. 
\item Les points $M(-9;4)$, $N(12;1)$, $P(-23;5)$ appartiennent-ils � cette
  droite ?
\enen
\enex


\bgex
On consid�re les droites $d_1:x+2y+3=0$ et $d_2:3x-y+2=0$ et $d_3:-6x+2y+6=0$. 
\bgen[a)]
\item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles parall�les ? s�cantes ? 
\item D�terminer les intersections �ventuelles des droites $d_1$ et $d_2$, puis $d_2$ et $d_3$. 
\enen
\enex

\bgex
Les droites $d_1$ et $d_2$ de repr�sentations param�triques 
\[d_1:\la\bgar{ll}x&=1+2t\\y&=3+4t\enar, t\in\R\right.
\text{ et } 
d_2:\la\bgar{ll}x&=-2+t\\y&=1-2t\enar, t\in\R\right.
\]
sont-elles s�cantes ? D�terminer les coordonn�es de leur point d'intersection. 
\enex


\bgex
Dans un RON, on consid�re la droite $d$ d'�quation $x+2y-2=0$ et 
le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$, 
avec $A(-3;5)$ et $B(1;-1)$.
\bgen
\item Repr�senter graphiquement $\mathcal{C}$ et $d$. 
\item Donner une �quation cart�sienne de $\mathcal{C}$. 
\item Calculer les coordonn�es des deux points d'intersection de
  $\mathcal{C}$ et $d$.
\enen
\enex


\bgex
Soit dans un RON, le point $I(3;-1)$ et la droite $d$ d'�quation 
$-x+y+1=0$. 

\bgen[a)]
\item Calculer la distance du point $I$ � la droite $d$. 
\item D�terminer une �quation du cercle $\mathcal{C}$ 
  de centre $I$ est tangent � $d$.
\enen
\enex




%\clearpage
\bigskip
\setcounter{nex}{0}
\ct{\bf\Large G�om�trie dans l'espace}

\psline(-1,.6)(4.8,.6)
\psline(12.7,.6)(18.5,.6)

\bigskip
\bgex $ABCDEFGH$ est un cube. 


\bgmp{12cm} 

\bgit
\item[1)] D�terminer dans le rep�re 
  $(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les coordonn�es de tous les points. 
  \vsp
\item[2)] D�terminer les longueurs $AC$, $OG$ et $BG$. 
  \vsp
\item[3)] Le triangle $HAF$ est-il rectangle en $A$ ?
\enit
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,2.5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(2.95,3.18){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
  \rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex

\bigskip

\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, 
les points 
$A(1;5;2)$, 
$B(-2;3;4)$, 
$C(-2;-2;0)$ et 
$D(7;-3;1)$. 

\bgen
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$. 
  Ces vecteurs sont-ils colin�aires ?
\item Calculer les longueurs $AB$ et $AC$. 
\item D�terminer les coordonn�es des milieux des segments $[AB]$ et
  $[CD]$. 
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs 
  $\vec{u}=\dfrac12\V{AB}+3\V{CD}$ 
  et 
  $\vec{v}=-\dfrac13\V{AD}-2\V{BC}$.
\item D�terminer les coordonn�es du point $K$ tel que 
  $ABCK$ soit un parall�logramme. 
\item Calculer les coordonn�es du point $A'$ sym�trique de $A$ par
  rapport � $B$. 
\enen
\enex

\bgex 
Les vecteurs 
$\vec{u}\lp\bgar{c} 3\\6\\0\enar\rp$, 
$\vec{v}\lp\bgar{c} 1\\2\\2\enar\rp$ et 
$\vec{w}\lp\bgar{c} 1\\2\\-1\enar\rp$ 
sont-ils coplanaires ? 
\enex


\bgex 
Les vecteurs 
$\vec{u}\lp\bgar{c} 4\\-2\\0\enar\rp$, 
$\vec{v}\lp\bgar{c} 6\\-1\\2\enar\rp$ et 
$\vec{w}\lp\bgar{c} 2\\0\\-1\enar\rp$ 
sont-ils coplanaires ?
\enex


\clearpage
\bgex
On consid�re la droite $d$ passant par $A(-2;3;1)$ et $B(5;2;-2)$. 

\bgen
\item Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$. 
\item Donner alors une repr�sentation param�trique de la droite $d$. 
\item Les points $M(-9;4;4)$ et $N(12;1;1)$ appartiennent-ils � cette
  droite ?
\enen
\enex


\bgex
Dans un RON, on donne les points $A(1;-2;3)$ et $B(0;0;1)$. 
\bgit
\item[a)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
  $(AB)$. 

\vsp
\item[b)] Les points $C(-3;6;-5)$ et $D(2;-5;5)$ appartiennent-ils �
  cette droite ?
\enit
\enex

\bgex
Les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques suivantes sont-elles orthogonales ? 
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&2t &-& 1 \\
y&=&-3t &+& 2\\
z&=&t &&
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \ 
\la\bgar{cccccl}
x&=&3t &&  \\
y&=&t &+& 2\\
z&=&-3t &-& 2
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex

\bgex 
D�montrer que les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques suivantes sont s�cantes: 
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&5 &+& 3t \\
y&=&2 &+& t\\
z&=&1 &-& 4t
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \ 
\la\bgar{cccccl}
x&=&-11 &+& 2t \\
y&=&10 &-& 2t\\
z&=&4 &+& t
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex



\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, 
$A(-1;1;2)$, $\vec{u}(1;0;1)$ et $\vec{v}\lp\dfrac12;-1;1\rp$. 

\bgen
\item Ecrire une repr�sentation param�trique du plan $(A;\vec{u},\vec{v})$
\item Les points $B(1;2;3)$  et $C(0;-1;4)$ appartiennent-il � ce plan ?
\item D�terminer l'intersection $d$ de ce plan et du plan
  $(O;\vec{i},\vec{j})$. 

  Pr�ciser un point et un vecteur directeur de $d$. 
\enen
\enex


\bgex
$SABCD$ est une pyramide � base carr�e de sommet $S$ et dont toutes
les ar�tes ont la m�me longueur $a$. 

\noindent\bgmp[t]{12cm}
Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires suivants:
\[a)\ \V{SA}\cdot\V{SB} \hspace{1.5cm}
b)\ \V{SA}\cdot\V{SC}\]
\[c)\ \V{SA}\cdot\V{AC} \hspace{1.5cm}
d)\ \V{SC}\cdot\V{AB}\]
\medskip
Quel est le volume de cette pyramide ? 
\enmp
\bgmp[t]{6cm} \ 

\psset{unit=.96cm}
\begin{pspicture}(-0.6,1)(3.5,2.6)
  \psline(0,0)(3,0)(4,1)
  \psline[linestyle=dashed](4,1)(1,1)(0,0)
  \psline(2,3)(0,0)
  \psline(2,3)(3,0)
  \psline(2,3)(4,1)
  \psline[linestyle=dashed](2,3)(1,1)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.2,1){$C$}
  \rput(1,0.8){$D$}
  \rput(2,3.2){$S$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex



\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un cube de centre $O$ et d'ar�te~$a$. 

\bgit

\item[1)] Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires: 

\[ a)\, \V{AE}\cdot\V{BG} \hspace{0.4cm}
b)\, \V{HB}\cdot\V{BA} \hspace{0.4cm}
c)\, \V{AB}\cdot\V{AO} \hspace{0.4cm}
\]

\item[2)] D�terminer dans le rep�re $(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les
  coordonn�es de tous les points et retrouver a).
\item[3)] D�terminer une mesure de l'angle $\widehat{HOG}$. 
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,4)(4,4.5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(3.2,2.8){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
  \rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp


\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un parall�l�pip�de rectangle tel que 
$AD=AE=1$ cm et $AB=2$ cm

\vsp
$I$ est le centre du carr� $ADHE$ et $J$ le milieu du segment $[GH]$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Donner, dans le RON 
  $\lp A;\dfrac{1}{2}\V{AB},\V{AD},\V{AE}\rp$, 
  les coordonn�es des points $I$, $J$ et $F$. 
  \vsp
  En d�duire le produit scalaire $\V{JI}\cdot\V{JF}$. 
  \vsp
\item[b)] D�terminer l'angle, au dixi�me de degr� pr�s, $\widehat{IJF}$.
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[t]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,1.5)(4,5)
  \pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(7,0.5)(7,3.5)
  \psline(7,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(6,3)(7,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(7,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](6,0)(7,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(6.2,-0.2){$B$}
  \rput(7.3,0.6){$C$}
  \rput(.7,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(6.2,2.8){$F$}
  \rput(7.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](0,0)(1,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](0,3)(1,.5)
  \rput(0.25,1.7){$I$}
  \psline[linestyle=dashed](0.5,1.75)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](4,3.5)(6,3)
  \rput(4,3.8){$J$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspace{-0.8cm}
\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex 
$ABCDEFGH$ est un cube d'ar�te~$a$. 

$J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[FB]$ et $[GH]$. 

Calculer $JK$.
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=.85cm}
\begin{pspicture}(-0.5,.5)(4,4.5)
  \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
  \psline(4,0.5)(4,3.5)
  \psline(4,3.5)(1,3.5)
  \psline(0,3)(1,3.5)
  \psline(3,3)(4,3.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
  \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
  \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
  \rput(-0.2,-0.2){$A$}
  \rput(3.2,-0.2){$B$}
  \rput(4.3,0.6){$C$}
  \rput(1.2,0.7){$D$}
  \rput(-.2,3){$E$}
  \rput(3.2,2.8){$F$}
  \rput(4.3,3.7){$G$}
  \rput(.7,3.7){$H$}
  \psline[linestyle=dashed](3,1.5)(2.5,3.5)
  \rput(3,1.5){$\tm$}\rput(3.2,1.5){$J$}
  \rput(2.5,3.5){$\tm$}\rput(2.5,3.8){$K$}
\end{pspicture}
\enmp

\bigskip

\bgex
Les droites suivantes sont-elles orthogonales ? perpendiculaires ? 
\[d_1:\la\bgar{ll}
x&=1+2t\\
y&=2+4t\\
z&=3-t
\enar, t\in\R\right.
\text{ et } 
d_2:\la\bgar{ll}
x&=-2+2t\\
y&=1-t\\
z&=1
\enar, t\in\R\right.
\]
\enex

\bgex
On consid�re dans un RON, les points 
$A(-1;-1;-1)$, 
$B(0;-2;0)$ et 
$C(-2;1;0)$. \\
Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;2;-1)$ est un vecteur normal au plan
$(ABC)$, et d�terminer une �quation de ce plan.
\enex


\bgex 
L'espace est muni d'un RON $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 
$A$ %et $M$ sont les points de coordonn�es respectives 
est le point de coodonn�es 
$(1;-5;7)$.% et $(1;1;1)$. 

$\mathcal{L}$ est le plan d'�quation cart�sienne: 
$-2x+y+z-4=0$. 

\vspd
\bgen[a)]
\item D�terminer une �quation cart�sienne du plan $\mathcal{P}$
  tel que le projet� orthogonal de l'origine $O$ sur $\mathcal{P}$
  soit le point $A$. 
\item Montrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont
  perpendiculaires. 
%  \vspd
%\item[c)] Calculer les distances du point $M$ au plan $\mathcal{L}$ et
%  du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
%  \vspd
%\item[d)] D�duire des questions pr�c�dentes la distance du point $M$
%  � la droite $\Delta$ intersection des plans $\mathcal{L}$ et
%  $\mathcal{P}$. 
\enen
\enex

\bgex
Dans un RON on consid�re les points $A(1;2;3)$ et $B(-1;2;5)$. 

D�terminer l'�quation du plan m�diateur de ces deux points 
{\it(on utilisera deux m�thodes diff�rentes: en terme d'orthogonalit� ou de distances aux points $A$ et $B$). }
\enex

\bgex
Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation 
$2x-y+3z-1=0$, et le point $A$ a pour coordonn�es 
$A(0;-1;-4)$. 
On note de plus $H$ le projet� orthogonal du point $A$ sur le plan
$\mathcal{P}$.

\vsp
\bgen[a)]
\item D�terminer les coordonn�es d'un vecteur $\vec{n}$ normal �
  $\mathcal{P}$. 
\item Justifier l'existence d'un r�el $k$ tel que 
  $\V{AH}=k\vec{n}$. 

  Traduire cette relation en termes de coordonn�es. 

\item D�terminer $k$ en exprimant que $H$ appartient �
  $\mathcal{P}$. 

  En d�duire les coordonn�es de $H$ et la distance $AH$ 
  de $A$ au plan $\mathcal{P}$.
\enen
\enex

\clearpage
\bgex
\bgit
\item[a)] Le syst�me 
$\la\bgar{rccccrrcc}
  2x &-& y &+& 3z &-& 1 &=& 0 \vspd\\
  x &+& y &-& 4z &-& 6&=& 0
  \enar\right.
$
est-il un syst�me d'�quations cart�siennes d'une droite $d$ ? 

\vspd
\item[b)] D�terminer $x$ et $y$ en fonction de $z$, puis en d�duire une �quation
param�trique de $d$, en introduisnat le param�tre $t=z$.  

Donner alors un point et un vecteur directeur de $d$.
\enit
\enex


\bgex Dans un RON, les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$ et
$\mathcal{R}$ ont pour �quations cart�siennes 
\[\mathcal{P}:\ x+y+z+3=0\,, 
\ \ \mathcal{L}:\ 2x+2y+2z+7=0\,, 
\ \mbox{ et }\ \ \mathcal{R}:\ 3x-y+2=0\]

Etudier l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$, puis
des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$.

\enex


\bgex Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation 
$5x+y-z+3=0$ et la droite $d$ pour repr�sentation param�trique 
$\la\bgar{ll}
x=t\\
y=1-6t \\
z=3-t
\enar\right.,\ t\in\R$. 

\vspd
D�terminer l'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$.
\enex


\bgex
Les points $A$ et $B$ ont pour coordonn�es respectives 
$(2;-1;5)$ et $(-1;2;3)$. 

Etudier l'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $\mathcal{P}$
d'�quation $5x-3y-z=1$.
\enex


\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$, 
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives: 
\[3x+3y+z+2=0\ \ ,\ \  
y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \ 
2z-8=0\,.\]
\enex


\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$, 
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives: 
\[4x+3y+z+2=0\ \ ,\ \  
x+2y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \ 
3x+5y+2z-9=0\,.\]
\enex


\bgex {\it (D'apr�s Bac 2003)}

L'espace est rapport� � un rep�re orthonormal 
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. 
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonn�es respectives 
$A(3;-2;2)$, 
$B(6;1;5)$, 
$C(6;-2;-1)$ et 
$D(0;4;-1)$.


\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle. 
  \vspd
\item[2.] Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan 
  $(ABC)$. 
  \vspd
\item[3.] Calculer le volume du tr�tra�dre $ABCD$. 
  \vspd
\item[4.] Montrer que l'angle g�om�trique $\widehat{BDC}$ a pour
  mesure $\dfrac{\pi}{4}$ en radians. 
  \vspd
%\item[5.] 
%  \bgit
%  \item[a.] Calculer l'aire du triangle $BDC$.
%    \vsp
%  \item[b.] En d�duire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$.
%  \enit
\enit
\enex

\bgex {\bf ROC}\ {\it (D'apr�s Bac 2005)} 

\vsp
\ul{\bf Partie A.} Soit $[KL]$ un segment de l'espace. 
On note $I$ son milieu. 
On appelle plan m�diateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ �
la droite $(KL)$. 

\vsp
{\bf D�montrer} que le plan m�diateur de $[KL]$ est l'ensemble des
points de l'espace �quidistants des points $K$ et $L$. 

%{\sl (Indication: on pourra s'int�resser � $KM^2-LI^2$)}

\vspd
\ul{\bf Partie B.} Dans un RON, on consid�re les points 
$A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$.%, $C(3;-3;-1)$ et $D(0;0;-3)$. 

%\bgit
%\item[1.] 
D�montrer que le plan m�diateur de $[AB]$ a pour �quation 
$4x-4y-10z-13=0$. 

%  On admet par la suite que les plans m�diateurs de $[BC]$ et $[CD]$
%  ont respectivement pour �quations: 
%  \[ 2x-10y-6z-7=0\ \ \mbox{ et,} \ \ 
%  3x-3y+2z-5=0
%  \]
%\item[2.] D�montrer, en r�solvant un syst�me d'�quations lin�aires, 
%  que ces trois plans ont un unique point commun $E$ dont on donnera
%  les coordonn�es. 
%
%\item[3.] En utilisant la partie A, d�montrer que les points $A$, $B$,
%  $C$ et $D$ sont sur une sph�re $\mathcal{S}$ de centre~$E$. 
%
%  $\mathcal{S}$ est la sph�re circonscrite au t�tra�dre $ABCD$. 
%  Quel est le rayon de cette sph�re ?
%\enit
\enex

\clearpage
\bgex 
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un RON. 
$\mathcal{S}$ est la sph�re de centre $J(0;1;0)$ et de rayon 1. 
$u$ et $v$ sont deux r�els, $M$ et $N$ sont les points d�finis par 
$\V{OM}=u\vec{k}$ et $\Vec{AN}=v\vec{i}$ o� $A(0;2;0)$.

\vsp
\bgit
\item[1.] Donner une �quation de la sph�re $\mathcal{S}$. 
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Quelles sont les coordonn�es des points $M$ et $N$ ? 
    \vsp
  \item[b)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
    $(MN)$. 
  \enit
  \vsp
\item[3.] 
%  \bgit
%  \item[a)] 
Montrer que la droite $(MN)$ est tangente � la sph�re
    $\mathcal{S}$ si, et seulement si, $u^2v^2=4$. 
%    \vsp
%  \item[b)] Dans le cas o� la droite $(MN)$ est tangente �
%    $\mathcal{S}$, calculer les coordonn�es du point de contact.
%  \enit
\enit
\enex

\label{LastPage}
\end{document}
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