Source Latex: Cours de mathématiques, Fonctions dérivées

Terminale STMG
Fonctions dérivées

Cours de mathématiques en terminale STMG - étude de fonctions et drivées
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en terminale STMG - étude de fonctions et drivées
Niveau
Terminale STMG
Table des matières
Rappels: tangentes, droites, courbe représentative d'une fonction
Calcul de la fonction dérivée
Équation de la tangente
Sens de variation d'une fonction
Exercice
Mots clé
fonction, étude, dérivée, cours de mathématiques, TSTMG
Quelques devoirs

Devoir corrigé
Fonctions et dérivées
Calculs de fonctions dérivées
Équations de droites à tracer. Rentabilité d'une entreprise et recherche du bénéfice maximal
Devoir corrigé
Bac blanc
Baccalauréat blanc: taux d'évolution, statistiques à deux variables, suites et algorithme, probabilités conditionnelles et fonctions dérivées
Devoir corrigé
Bac blanc
Baccalauréat blanc en terminale STMG, et son corrigé, sur les chapitres: taux d'évolution, statistiques à deux variables, suites et algorithme, probabilités conditionnelles et fonctions dérivées
Devoir corrigé
Dérivées et probabilités
sur les dérivées et probabilités: étude d'une fonction grâce à sa dérivée. Rentabilité d'une machine. Pièces fabriquées par une machine de production. Divers poissons dans un lac
Devoir corrigé
Bac STMG corrigée: Nouvelle Calédonie, mars 2019
Annale Bac STMG corrigée: Nouvelle Calédonie, mars 2019
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TSTMG: fonctions, dérivées et étude},
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    pdfkeywords={fonction, dérivée, étude de fonction, mathématiques, STMG, terminale STMG, TSTMG}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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%\parindent=0.2cm


\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \medskip\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/TSTG/Mathematiques-Terminale-STG.php}{xymaths - Terminale STMG}}
\rfoot{\TITLE\ - TSTMG - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

\psset{arrowsize=8pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}


\section{Rappels: tangentes, droites et courbes}


\vspace{-1em}

\noindent 
\bgmp[t]{13cm}
\bgex On considère le demi-cercle $\mathcal{C}$ ci-contre. 
\\
Tracer les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisse $-0,5$, 
$0$ et $0,5$. 
\enex
\enmp
\bgmp[t]{6.5cm} \ 

\psset{unit=2.6cm}
\begin{pspicture}(-1.1,-.2)(1.3,.5)
  \psline{->}(-1.2,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$0$}
  \rput(-0.06,0.92){$1$}
  \psline(-1,0.05)(-1,-0.05)\rput(-1,-0.15){$-1$}
  \psline(-0.5,0.05)(-0.5,-0.05)
  \psline(0.5,0.05)(0.5,-0.05)
  \psline(1,0.05)(1,-0.05)\rput(1,-0.15){$1$} 
  \psplot{-1}{1}{1 x 2 exp sub sqrt}
  \rput(-1.05,0.25){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
\bgmp[t]{7cm}
\bgex

La courbe $\mathcal{C}_f$, représentative d'une fonction $f$, est donnée
ci-dessous. 

\medskip
Construire les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses 
$-5$; $-4$; $-1$; $0$; $2$, $4$ et $5$. 
\enex
\enmp
\bgmp[t]{10cm}  \ 

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-5.5)(6.5,6.7)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(-6.4,0)(6.4,0)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,-5.4)(0,6.4)
  \multido{\i=-5+1}{12}{
    \psline[linestyle=dashed](-6.2,\i)(6.2,\i)
    \rput(-0.3,\i){$\i$}
    \psline[linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,6.2)
    \rput(\i,-0.3){$\i$}
  }
  \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=500]{-6.4}{6.3}{
    x 180 mul 3.1415 div sin 
    x abs 1.1 exp mul 
    0.85 mul
    1 add
  }
  \rput(-6.6,1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Un apiculteur produit du miel. 
Le co\^ut de production hebdomadaire de $x$ kilogramme de miel 
est donné, en euros, par l'expression 
$C(x)=0,04x^2+x+150$. 
\bgen
\item Quel est le montant des co\^uts fixes ? 
\item Calculer le co\^ut de production pour 40 kg de miel, 
  puis celui pour 60 kg. 
\item Calculer $C(61)-C(60)$. Que représente cette valeur ? 
\item La courbe représentative de la fonction $C$ est donnée ci-dessous. 

  Retrouver les co\^uts précédents par lecture graphique. 

\[\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.01cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-20)(100,620)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(110,0)
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,670)
\multido{\i=10+10}{10}{
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.4pt](\i,0)(\i,650)
  \rput(\i,-30){$\i$}
}
\multido{\i=100+100}{6}{
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=.4pt](0,\i)(105,\i)
  \rput[r](-2,\i){$\i$}
}
\psplot{0}{102}{0.04 x 2 exp mul x add 150 add}
\end{pspicture}\]

\item On note $A$ le point de la courbe d'abscisse $61$ 
  et $B$ celui d'abscisse $60$. 

  Placer les points $A$, $B$ et la droite $(AB)$. 

  Tracer la tangente à la courbe au point $A$. 
  Que remarque-t'on ? 
\enen 
\enex


\bgex
Tracer dans un repère les droites $D_1$ d'équation $y=2x-1$ 
et $D_2$ d'équation $y=-x+2$. 
\enex

\bgex
La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion 
destiné aux PME. 
Cette société a mené une enqu\^ete auprès de 300 entreprises 
afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises 
accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau
logiciel. 
L'enqu\^ete a donné les résultats suivants:
\[\begin{tabular}{|c|*9{c|}}\hline
\bgmp{5cm}\ \\[.2em]Prix proposé $x_i$\\
(en centaines d'euros)
\enmp
&
30 & 25 & 20 & 15 & 10 \\[1.2em]\hline
\bgmp{5cm}\ \\[.2em]
nombre d'entreprises $y_i$ \\
disposées à acheter
le logiciel à ce prix
\enmp&
90 & 120 & 170 & 200 & 260\\\hline
\end{tabular}\]

\bgen
\item Représenter graphiquement le nuage de points de la série 
  $\lp x_i ; y_i\rp$ dans un repère orthogonal 

\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, 
  l'équation de la droite $D$ d'ajustement affine de $y$ en $x$
  sous la forme $y = ax + b$.
  Arrondir les résultats au besoin au dixième.

  Tracer $D$ sur le graphique précédent.  

\item On prendra pour la suite la droite d'équation 
  $y=-8,4x+336$ comme droite d'ajustement. 

  En utilisant cet ajustement, 
  préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer
  que les 300 entreprises contactées acceptent d’acquérir ce logiciel.

\item On note $R(x)$ la recette, exprimée en centaines d'euros, 
  dégagée par la vente de $y$ logiciels au prix de $x$
  centaines d'euros.
  \bgen[a)]
  \item En utilisant la relation entre $y$ et $x$ donnée par 
    l'ajustement affine donner l'expression de $R(x)$ pour 
    $x$ variant entre 5 et 30.
  \item \'Etudier les variations de la fonction $R$ sur 
    $[5 ; 30]$ et tracer l'allure de la courbe de $R$. 
    
    En déduire le prix de vente du logiciel, 
    exprimé en euros, pour que la recette $R(x)$ soit maximale. 

    Déterminer alors le montant de cette recette ainsi
    que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.
  \enen
\enen
\enex



\bgex
Chaque jour, une entreprise fabrique $x$ centaines de cartons d'emballage, 
$x$ compris entre 0 et 12. 
\\
Le co\^ut total de la fabrication journalière de ces cartons, en euros, 
est exprimé par 
$f(x)=x^3-12x^2+50x+126$. 

La recette journalière totale, en euros, pour $x$ centaines de cartons vendues 
est donnée par la fonction $r$. 

On donne ci-après un tracé des courbes représentatives de $f$ et $r$. 

\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.008cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(0,-30)(14,820)
\psline{->}(0,0)(13.2,0)
\psline{->}(0,0)(0,850)
\multido{\i=1+1}{12}{\psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,810)\rput(\i,-30){$\i$}}
\multido{\i=100+100}{8}{\psline[linestyle=dashed](0,\i)(12.4,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{0}{12}{x 3 exp -12 x 2 exp mul add 50 x mul add 126 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.4pt]{0}{12}{x 50 mul}
\rput(11.6,540){\red $r$}
\rput(11.3,650){\blue $f$}
\end{pspicture}\]

\bgen
\item Déterminer le montant des charges fixes. 
\item Quel est le prix de vente de 100 cartons ?
\item Exprimer $r(x)$ en fonction de $x$. 
\item \'Etablir à partir du graphique le tableau de variation 
  de la fonction $f$. 
\item déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir le 
  nombre de cartons que l'entreprise doit fabriquer et vendre 
  pour réaliser un bénéfice. 
\item On suppose que tout carton fabriqué est vendu, et on note $b(x)$ 
  le bénéfice journalier. 

  \bgen[a)]
  \item Exprimer $b(x)$ en fonction de $x$. 
  \item Tracer la courbe du bénéfice $b$, par exemple à l'aide de la 
    calculatrice, et dresser son tableau de variation. 
  \item En déduire le nombre de cartons à fabriquer chaque jour pour 
    réaliser le bénéfice maximal. 
  \enen
\enen
\enex

\section{Calcul de la fonction dérivée}

On calcule la fonction dérivée d'une fonction quelconque à partir 
des deux tableaux suivants: 

\bigskip
\bgmp[t]{11cm}
\ct{\Large{Dérivées des fonctions usuelles}}

\[\begin{tabular}{|l|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction $f$} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée}
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=k$ (constante)} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=0$} 
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f(x)=x$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.6cm]{$f'(x)=1$}  
\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^2$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=2x$} 
\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f(x)=x^n$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$f'(x)=nx^{n-1}$}  
\\\hline
\raisebox{0.25cm}[1.cm]{$f(x)=\dfrac{1}{x}$} & 
\raisebox{0.25cm}[1cm]{$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$}  
\\\hline
\end{tabular}\]
\enmp
\bgmp[t]{8cm}
\ct{\Large{Opérations sur les dérivées}}

\[\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Fonction} &
\raisebox{0.4cm}[1.2cm]{Dérivée} 
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku$, $(k \text{constante})$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$ku'$} 
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u+v$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'+v'$}  
\\\hline
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$uv$} & 
\raisebox{0.1cm}[0.7cm]{$u'v+uv'$}  
\\\hline
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u}{v}$} & 
\raisebox{0.3cm}[1.1cm]{$\dsp\frac{u'v-uv'}{v^2}$}  
\\\hline 
\end{tabular}\]
\enmp

\bgex
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des
cas: 

\begin{tabular}{llll}
  a) $f(x)=3$
  &b) $f(x)=x^2$ 
  &c) $f(x)=x^7$
  &d) $f(x)=\dfrac1x$
  \\[0.4cm]
  e) $f(x)=4x^2$ 
  &f) $f(x)=5x^3$
  &g) $f(x)=-3x^2$
  &h) $f(x)=7x$
  \\[0.4cm]
  i) $f(x)=x^3+\dfrac1x$
  &j) $f(x)=2x^3+x$
  &k) $f(x)=-4x^3+2x+3$
  &l) $f(x)=-x+3$
  \\[0.4cm]
  m) $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$
  &n) $f(x)=\dfrac{x+2}{8+x}$ 
  &o) $f(x)=(3x+2)x^2$
  &p) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$
  \\[0.4cm]
  q) $f(x)=\dfrac{x+2}{3x}$
  &r) $f(x)=-x^3+4x$ 
  &s) $f(x)=\dfrac{-x^3+4x}{x}$
  &t) $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x^2}$
\end{tabular}
\enex

\bgex
Une entreprise fabrique chaque semaine $x$ hectolitres d'un certain produit. 
Le co\^ut de fabrication, en euros, de ces $x$ hectolitres de produit est donné 
par 
$C(x)=x^3-90x^2+2700x$, pour $x\geqslant0$. 

On suppose que toute la production est vendue 
au prix de 900 euros l'hectolitre. 

La recette hebdomadaire est alors, en euros, 
donnée par $R(x)=900x$. 

\bgen
\item Exprimer en fonction de $x$ le bénéfice hebdomadaire $B(x)$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item On appelle co\^ut marginal du x-ième hectolitre 
  le co\^ut de ce x-ième hectolitre, seul, produit. 

  Quele est le co\^ut marginal du 10ème hectolitre ? du 20ème ?


  \medskip
  On utilise généralement l'expression de la dérivée $C'(x)$ 
  pour exprimer le co\^ut marginal. 

  Donner l'expression de $C'(x)$, 
  puis calculer $C'(10)$ et $C'(20)$. 
  Comparer avec les cou\^uts marginaux calculés précédemment. 
  
  \item De m\^eme, la recette marginale du x-ième hectolitre 
  est la recette apportée par le x-ième hectolitre, seul. 

  On utilise là aussi généralement l'expression de la dérivée $R'(x)$ 
  pour exprimer la recette marginale. 

  Donner l'expression de $R'(x)$ puis calculer les recettes marginales 
  pour 10 hectolitres, puis 20 hectolitres. 
  \enen

\item On admet qu'il est renatble pour une entreprise d'augmenter 
  sa production tant que $C'(x)<R'(x)$ et $B(x)>0$. 

  Analyser la rentabilité d'une augmentation de la production de l'entreprise 
  pour les valeurs $x$ suivantes: 
  $x=20$; $x=35$, $x=40$; $x=55$; $x=70$. 

\enen
\enex

\section{\'Equation de la tangente}

\noindent
\bgmp{12cm}
Au point d'abscisse $a$, la tangente a pour coefficient 
directeur~$f'(a)$. 

\medskip
L'équation de la tangente est 
\[y=f'(a)(x-a)+f(a)\]
\enmp
\bgmp{8cm}  \ 

\[\psset{unit=3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.4,-0.2)(2.4,1.1)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-0.4,0)(2.1,0)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.3)(0,1.7)
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.4}{1.55}{x x mul x mul -1. x mul x mul add 0.5 add}
  \psplot[linewidth=1.pt]{0.2}{2}{x -0.5 add}
  \psline{->}(1.2,0.7)(1.5,0.7)\rput(1.3,.6){$1$}
  \psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)\rput[l](1.54,.8){$f'(a)$}  
  %
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.,0)(1.,.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,.5)(1.,.5)
  \rput(1,-0.1){$a$}\rput(-0.2,0.55){$f(a)$}
  \rput(1.3,1.3){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\]
\enmp

\bgex \hspace{-.5em}
Soit $f(x)=3x^2+5$. 
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point 
d'abscisse~$a=1$. 
\enex

\bgex \hspace{-.5em}
Soit $f(x)!=\!\dfrac{1}{2x}$. 
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point 
d'abscisse~$a\!=\!1$. 
\enex

\bgex \hspace{-.5em}
Soit $f(x)!=\!5x+\dfrac{4}{x}$. 
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point 
d'abscisse~$a\!=\!2$. 
\enex


\bgex \hspace{-.7em}
Soit $f(x)\!=\!\dfrac{2x+1}{x+2}$. 
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point 
d'abscisse~$a\!=\!2$. 
\enex


\section{Sens de variation} 

Le sens de variation d'une fonction est donné par le signe de sa dérivée: 
\bgprop{Si, sur un intervalle $I$, 
\bgen[$\bullet$]
\item $f'(x)\geqslant0$, alors $f$ est croissante
\item $f'(x)\leqslant0$, alors $f$ est décroissante
\enen
}

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $[-0,5;9]$ 
par $f(x)=\dfrac{-3x}{x+1}$. 

\'Etudier le sens de variation de $f$. 
Préciser ses éventuels extremums. 
\enex

\bgex
\'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ définie 
sur $[-6;5]$ par 
$f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$. 
\enex

\bgex
\'Etudier le sens de variation de chacune des fonctions suivantes: 
\bgen[a)]
\item $f(x)=-3x^3+2$ sur $[-2;3]$
\item $f(x)=-x^3+2,25x^2+3x+1$ sur $[-1;3]$
\item $f(x)=\dfrac{2}{1+x^2}$ sur $[-1;2]$
\item $f(x)=\dfrac{-2x+3}{x-2}$ sur $]2;+\infty[$
\item $f(x)=4x-\dfrac{16}{x}$ sur $[0,5;10]$
\item $f(x)=x+2+\dfrac{4}{x}$ sur $]0;+\infty[$
\item$f(x)=\dfrac{x^2+9}{x}$ sur $[1;4]$
\enen
\enex



\section{Exercices}

\bgex \textbf{(BAC)} 
Un artisan fabrique et vend des objets en bois. 
Pour chaque mois, il estime que le co\^ut de production de $x$ objets 
est donné, en euros, par: 
$C(x)=x^2+60x+121$, 
pour $1\leqslant x\leqslant 30$. 

\bgen
\item Calculer le co\^ut de production de 10 objets, puis de 30 objets. 

  Donner alors le co\^ut moyen de production de 10 objets, puis de 30 objets. 

\item Plus généralement, le co\^ut moyen de production 
  est donné par $f(x)=\dfrac{C(x)}{x}$. 

  \bgen[a)]
  \item Montrer que $f(x)=x+60+\dfrac{121}{x}$. 
  \item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{x^2-121}{x^2}$. 
    Dresser alors le tableau de variation de $f$. 
    
  \item Quel est le co\^ut moyen minimum ? pour combien d'objets produits ? 
  \enen

\item L'artisan vend chaque objet 110 euros. 
  \bgen[a)]
  \item Expliquer pourquoi le bénéfice mensuel réalisé par la fabrication 
    et la vente de $x$ objets est égal~à: 
    $B(x)=-x^2+50x-121$.

  \item Dresser le tableau de signes de $B(x)$. 
    Combien d'objets faut-il fabriquer au minimum pour \^etre rentable ? 

  \item Calculer $B'(x)$ et étudier son signe. 

    En déduire le nombre d'objets à fabriquer et à vendre pour que ce bénéfice 
    soit maximal. 
    Donner ce bénéfice maximal. 
  \enen

\enen
\enex


\bgex \textbf{Vrai-Faux}

Un tracé de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ 
définie sur l'intervalle $[0;10]$ par 
$f(x)=x^3-48x+600$ est donné ci-dessous. 

La droite $D$ d'équation $y=99x$ est aussi représentée. 
\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.008cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(0,-30)(12,1250)
\psline{->}(0,0)(11.2,0)
\psline{->}(0,0)(0,1250)
\multido{\i=1+1}{11}{\psline[linestyle=dashed](\i,0)(\i,1220)\rput(\i,-30){$\i$}}
\multido{\i=100+100}{12}{\psline[linestyle=dashed](0,\i)(11.4,\i)\rput[r](-.2,\i){$\i$}}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{0}{10}{x 3 exp -48 x mul add 600 add}
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.4pt]{0}{10}{x 99 mul}
\rput(10.2,960){\red $\mathcal{C}$}
\rput(10.18,1140){\blue $f$}
\end{pspicture}\]

Répondre par vrai ou faux en justifiant. 

\bgen
\item On peut conjecturer que $f$ est strictement croissante sur $[0;10]$. 
\item $f(0)=600$
\item $f(7)=600$ 
\item $f'(x)=3(x-4)(x+4)$
\item Pour tout $x$ de $[4;10]$, $f'(x)\geqslant0$
\item $f$ a un minimum en $x=4$
\item Pour tout $x$ de $[0;10]$, $f(x)\geqslant472$
\item La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 2 
  a un coefficent directeur positif
\item L'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point 
  d'abscisse 6 est $y=60x+168$
\item Pour tout $x$ de $[4;9]$, $f(x)\leqslant 99x$. 
\enen
\enex


\bgex
Le ministère de la santé charge une agence de publicité de faire 
une campagne de promotion pour un nouveau remède. 
Une étude prouve que la fréquence $f(t)$ de personnes connaissant 
le nom de ce remède après $t$ semaines de publicité est donnée 
par $f(t)=\dfrac{3t}{3t+2}$, où $t\geqslant0$. 

\textbf{Partie A.} 
\bgen
\item Calculer $f(2)$. 
\item En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom 
  de ce remède au bout de deux semaines. 
\item Comment peut-on interpréter la valeur de $f(0)$ ? 
\enen

\textbf{Partie B.}
\bgen
\item Calculer $f'(t)$. 

  \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur 
  l'intervalle $[0;18]$; 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Tracer l'allure courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$. 
  \item Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ 
    au point $A$ d'abscisse 1.
  \item Ajouter au graphique précédent la droite $T$. 
  \item Ajouter au graphique précédent les droites 
    $D$ d'équation $y=0,90$ et $D'$ d'équation $y=0,95$. 
  \enen
\enen

\textbf{Partie C.}
\bgen
\item Déterminer graphiquement:
  \bgen[a)]
  \item le nombre de semaines de campagne nécessaires pour que 90\% 
    de la population connaisse le nom du remède;
  \item combien de semaines sont nécessaires pour passer de 90\% 
    à 95\%
  \enen
\item le ministère a décidé d'arr\^eter la campagne au bout de six semaines. 
  Justifier ce choix. 
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}
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