Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Logarithme et nombres complexes

Terminale S

Logarithme et nombres complexes

Sujet d'oral de rattrapage de mathématiques, en terminal S: fonction logarithme et nombres complexes
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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Sujet d'oral de rattrapage de mathématiques, en terminal S: fonction logarithme et nombres complexes
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Etude d'une fonction avec logarithme
  • Nombres complexes
Mots clé
logarithme, nombres complexes, oral, baccalauréat, rattrapage, mathématiques, maths

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs

    Devoir corrigé
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    Calculs de dérivées de fonction avec exponentielle. Étude, variations et racines, d'une fonction polynôme de degré 3 (TVI). Étude, variations et limites, d'une fonction avec exponentielle

    Devoir corrigé
    Fonctions exponentielle et logarithme (ln)
    Fonctions exponentielle et logarithme népérien, dérivée, étude de fonction, calcul de limites, théorème de la bijection (TVI). Suite récurrente définie à partir d'une fonction avec un logarithme népérien

    Devoir corrigé
    Nombres complexes
    Nombres complexes, formes algébrique, trigonométrique et exponentielle

    Devoir corrigé
    Nombres complexes
    Nombres complexes, sujets de bac, formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, Bac S. Géométrie du plan complexe: un triangle isocèle rectangle - Bac S, Amérique du nord 2019, Vrai/Faux - Métropole 2018 (extrait), Suite géométrique complexe - Antilles, Guyane, septembre 2014: Fonction du second degré complexe et équation de cercle

    Devoir corrigé
    Intégrales et nombres complexes
    Intégrales et nombres complexes - annales de bac S: métropole 21 juin 2019 et Nouvelle Calédonie 2012


Voir aussi:

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%                                      %
%   Generateur automatique de devoir,  %
%   par Y. Morel                       %
%   http://xymaths.free.fr             %
%                                      %
%      Genere le:                      %
%   lundi 22 juin 2015                 %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\usepackage{array}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

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\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e}}


\bgex
\bgen
\item Pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac2x=\dfrac{1-2x}{x^2}$.
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $0$ &&$\dfrac12$&& $+\infty$ \\\hline
  $1-2x$ && $+$ &\zb& $-$ &\\\hline
  $x^2$ &\db& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline
  $f'(x)$ &\db& $-$ &\zb& $+$ &\\\hline
  &&&$-1+2\ln(2)$&&\\
  $g$ && \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.4)(.6,.4)&&
  \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,.4)(.6,-.4)&\\
  &$-\infty$&&&&$-\infty$\\\hline
  \end{tabular}\]

  \textbf{Limite en 0:} $f(x)=1-\dfrac1x\lp 1+2x\ln(x)\rp$, 
  avec, par croissances compar\'ees, 
  $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0$, donc 
  $\dsp\lim_{x\to0^+}\dfrac1x\lp1+2x\ln(x)\rp=+\infty$, 
  et alors, 
  $\dsp\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$. 

  \vspd
  \textbf{Limite en $+\infty$:} $\dsp\lim_{x\to+\infty}1-\dfrac1x=1$ 
  et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. 

  Ainsi, par addition des limites, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$. 
\enen

\enex


\bgex
\bgen
\item $\omega^5=\lp e^{^{\dsp2i\frac{\pi}{5}}}\rp^5=e^{^{\dsp5\tm2i\frac{\pi}{5}}}=e^{2i\pi}=1$. 
\item $S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4$ est la somme des
  premiers termes d'une suite g\'eom\'etrique de raison $\omega\not=1$. 
  Ainsi,
  $S=1+\omega+\omega^2+\omega^3+\omega^4=\dfrac{1-\omega^5}{1-\omega}=0$. 
\item  
  \[\bgar{ll}
  u+v&=\omega+\omega^4+\omega^2+\omega^3=S-1=-1 \\[0.6cm]
  uv&=\lp\omega+\omega^4\rp\lp\omega^2+\omega^3\rp
  =\omega^3+\omega^4+\omega^6+\omega^7\\[0.4cm]
  &=\omega^3\lp 1+\omega+\omega^3+\omega^4\rp
  =\omega^3\lp S-\omega^2\rp\\[0.4cm]
  &=\omega^3\lp -\omega^2\rp=-\omega^5=-1
  \enar\]
\item On a donc $v=-1-u$ et donc, 
  $uv=-1\iff u(-1-u)=-1\iff u^2+u-1=0$. 

  Cette \'equation du second degr\'e a pour discriminant $\Delta=5>0$ 
  et admet donc deux solutions r\'eelles: 
  $u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$ et $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$. 

  Comme $u=\omega+\omega^4$ est un r\'eel positif, on a n\'ecessairement 
  $u=\dfrac{-1+\sqrt5}{2}$, et donc 
  $v=-1-u=\dfrac{-1-\sqrt5}{2}$.
\item $\omega^4=\dfrac{\omega^5}{\omega}=\dfrac{1}{\omega}=e^{-2i\pi/5}
  =\overline{\omega}$. 
  Ainsi, $u=\omega+\overline{\omega}=2\Re e\lp \omega\rp
  =2\cos\dfrac{2\pi}{5}$. 

  D'apr\`es le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente, on a donc, 
  $\cos\dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{-1+\sqrt5}{4}$.
\enen

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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