Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques

Terminale S

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suite récurrente, récurrence
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suite récurrente, récurrence
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, suites, suite récurrente, récurrence, démonstration par récurrence, principe de récurrence, étude de fonctions

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrig� du devoir de math�matiques},
    pdftitle={Corrig� du devoir de math�matiques: Suites},
    pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale S, suites 
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=27.8cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\newcounter{ncorol}
\setcounter{ncorol}{1}
\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ncorol}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire \arabic{ncorol}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}


\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition \arabic{ndef}}\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ndef}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

%\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{}%\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.8cm}

%\hspace{2cm}
\hfill{\bf \Large{\TITLE}}\hfill{\bf\Large$T^{\text{ale}}S$}

\bgex
$u_n=\dfrac{2n+1}{4n(n+1)}
=\dfrac{2n\lp1+\dfrac{1}{2n}\rp}{4n^2\lp1+\dfrac{1}{n}\rp}
=\dfrac{1+\dfrac{1}{2n}}{2n\lp1+\dfrac{1}{n}\rp}
$

$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp1+\dfrac{1}{2n}\rp=1$
et 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp1+\dfrac{1}{1n}\rp=1$, 
d'o� $\dsp\lim_{n\to+\infty} 2n\lp1+\dfrac{1}{1n}\rp=+\infty$, 
d'o�, par quotient des limites, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=0$. 

\vspd
$v_n=
\dfrac{2n^2\lp1+\dfrac{1}{2n^2}\rp}{n^2\lp1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac{1}{n^2}\rp}
=2\dfrac{1+\dfrac{1}{2n^2}}{1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac{1}{n^2}}
=2\dfrac{1+\dfrac{1}{2n^2}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n^2}}
$

$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp 1+\dfrac{1}{2n^2}\rp=1$, 
et 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp1+\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{n^2}\rp=1$.

Ainsi, par quotient et produit des limites, 
$\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=2$. 
\enex

\bgex 
On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par: 
$\la\bgar{l}
u_0=1 \\[0.3cm]
u_{n+1}=\dfrac{5u_n+3}{u_n+3}
\enar\right.$

\bgen
\item 
  $v_{n+1}
  =\dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}+1}
  =\dfrac{\dfrac{5u_n+3}{u_n+3}-3}{\dfrac{5u_n+3}{u_n+3}+1}
  =\dfrac{\dfrac{2u_n-6}{u_n+3}}{\dfrac{6u_n+6}{u_n+3}}
  =\dfrac{2\lp u_n -3\rp}{6\lp u_n+1\rp}
  =\dfrac13 v_n
  $. 

  Ainsi, la suite $(v_n)$ est une suite g�om�trique de raison 
  $q=\dfrac13$. 

\item Comme $v_0=\dfrac{u_0-3}{u_0+1}=\dfrac{1-3}{1+1}=-1$, 
  on a alors, pour tout entier $n$, 
  $v_n=v_0 q^n=-\lp\dfrac13\rp^n=\dfrac{-1}{3^n}$
\item 
  $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}
  \iff
  v_n\lp u_n+1\rp=u_n-3
  \iff
  u_n\lp v_n-1\rp=-v_n-3
  \iff
  u_n=-\dfrac{v_n+3}{v_n-1}
  $. 

  On a donc aussi, d'apr�s la question pr�c�dente, 
  $u_n=-\dfrac{-\lp\dfrac{1}{3}\rp^n+3}{-\lp\dfrac{1}{3}\rp^n-1}$

\item $\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp\dfrac{1}{3}\rp^n=0$, 
  car $0\leqslant \dfrac13<1$. 
  Ainsi, $\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp-\lp\dfrac{1}{3}\rp^n+3\rp =3$, 
  \mbox{$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp-\lp\dfrac{1}{3}\rp^n-1\rp =-1$}, 
  et, par quotient des limites, 
  $\dsp\lim_{n\to+\infty} u_n=3$.
\enen
\enex

\bgex
On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par:\quad
$u_0\in\R$ et $u_{n+1}=k u_n\lp 1- u_n\rp$. 

\bgen
\item Dans cette question, on donne $u_0=0,4$ et $k=1$, 
  soit $u_{n+1}=u_n\lp1-u_n\rp$.
  \bgen[a] 
  \item $u_{n+1}-u_n=u_n\lp1-u_n\rp-u_n=-u_n^2$. 

    Ainsi, pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n\leqslant 0$, 
    soit $u_{n+1}\leqslant u_n$, et 
    la suite $(u_n)$ est donc d�croissante. 

  \item D�montrons par r�currence la propri�t�: 
    $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

    \noindent
    \ul{Initialisation:} Pour $n=0$, $u_0=0,4$, et on a donc bien 
    $0\leqslant u_0\leqslant 1$. 

    \noindent
    \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un entier $n$, 
    on ait $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

    Alors, 
    $-1\leqslant -u_n\leqslant 0\iff 
    0\leqslant 1-u_n\leqslant 1$. 
    Ainsi, comme $0\leqslant u_n\leqslant 1$, on a donc en multipliant
    ces deux derni�res in�galit�s 
    $0\leqslant u_n\lp1-u_n\rp\leqslant 1$, 
    soit $0\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$. 

    La propri�t� est donc encore vraie au rang $(n+1)$. 

    \noindent
    \ul{Conclusion:} D'apr�s le principe de r�currence, 
    on a donc, pour tout entier $n$, 
    $0\leqslant u_n\leqslant 1$. 

  \item La suite $(u_n)$ est donc d�croissante et minor�e par $0$. 
    On en d�duit donc qu'elle converge vers une limite $l$. 

  \item La limite $l$ v�rifie n�cessairement (point fixe) 
    $l=l(1-l)\iff l=0$. 

    Ainsi, la suite $(u_n)$ converge vers $0$. 
  \enen

\item Dans cette question, on donne $u_0=0,3$ et $k=1,8$, 
  soit $u_{n+1}=1,8 u_n(1-u_n)$.
  \bgen[a.]
  \item \bgmp[t]{8cm}
    Pour tout $x\in[0;1]$, $f'(x)=1,8(-2x+1)$. 
    
    \vspt
    De plus, $f\lp\dfrac12\rp=0,45\in\lb0;\dfrac12\rb$. 
    \enmp
    \bgmp[c]{8cm}
    \[
    \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $0$ && $\dfrac12$ && 1 \\\hline
      $-2x+1$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
      $f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
      &&&$0,45$&& \\
      $f$&& \Large{$\nearrow$}& &\Large{$\searrow$} &\\
      &0&&&&0 \\\hline
    \end{tabular}
    \]
    \enmp

    \item 

      \ul{Initialisation:} Pour $n=0$, 
      $u_0=0,3$ et $u_1=1,8\tm0,3\lp 1-0,3\rp=0,378$. 
      
      On a bien ainsi $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac12$. 
      
      \noindent
      \ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un entier $n$, on ait 
      $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$. 

      Comme la fonction $f$ est croissante sur 
      $\lb 0;\dfrac12\rb$, on a donc 
      $f(0)
      \leqslant f\lp u_n\rp
      \leqslant f\lp u_{n+1}\rp
      \leqslant f\lp\dfrac12\rp$. 

      Or, $f(0)=0$, $f\lp u_n\rp=u_{n+1}$, 
      $f\lp u_{n+1}\rp=u_{n+2}$ et $f\lp\dfrac12\rp=0,45\leqslant \dfrac12$.

      Ainsi,  $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant
      0,45\leqslant \dfrac12$, 
      et la propri�t� est encore vraie au rang $(n+1)$. 

      \noindent
      \ul{Conclusion:} D'apr�s le principe de r�currence, 
      pour tout entier $n$, 
      $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$. 

    \item La suite $(u_n)$ est donc croissante est major�e par $\dfrac12$. 
      On en d�duit qu'elle converge vers une limite $l$. 
    \item La limite $l$ v�rifie n�cessairement 
      $l=1,8l(1-l)$
      $\iff$
      $1,8l^2-0,8l=0$
      $\iff$
      \mbox{$l\lp 1,8l-0,8\rp=0$}
      $\iff l=0 \text{ ou } l=\dfrac{0,8}{1,8}=\dfrac49
      $. 

      Or $(u_n)$ est croissante avec $u_0=0,3>0$, et donc, pour tout
      entier $n$, $u_n\geqslant 0,3$. 

      La limite de la suite ne peut donc �tre que $l=\dfrac49$.
  \enen
\enen
\enex



\end{document}

    Télécharger le fichier source Latex