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Terminale S

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - Probabilités: loi Gamma et loi exponentielle
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - Probabilités: loi Gamma et loi exponentielle
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, probabilité, probabilités continues, loi à densité, loi Gamma, loi exponentielle, maths, TS, terminale S

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      intégration, intégrale, probabilité, probabilités, loi exponentielle}
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\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}


\bgex {\bf Loi Gamma}, de densité 
$f(x)=\dfrac12 x^2 e^{-x}$ sur $\R_+$. 

\bgen
\item En $+\infty$: par croissances comparées de l'exponentielle et des
  polynômes en l'infini: $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x}=0$ 
  et donc $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$. 

  En $0$: $f$ est continue en $0$, avec donc 
  $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=0$. 

\item $f=\dfrac12 u\,v$, 
  avec 
  $\la\bgar{ll}
  u(x)=x^2 \\
  v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}, \ w(x)=-x
  \enar\right.$, 
  et donc 
  $\la\bgar{ll}
  u'(x)=2x \\
  v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}
  \enar\right.$. 

  Ainsi, 
  $f'=\dfrac12\lp u'v+uv'\rp
  =\dfrac12\lp 2xe^{-x}+x^2\lp -e^{-x}\rp\rp
  =\dfrac12 xe^{-x}\lp 2-x\rp$. 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $2$ && $+\infty$ \\\hline
    $x$ & \zb & $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
    $e^{-x}$ & & $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
    $2-x$ & & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
    $f'(x)$ & & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
    &&&$2e^{-2}$&& \\
    $f(x)$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,-.3)(.5,.5)&&
    \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.4,.5)(.6,-.3)& \\
    &0&&&&0 \\
    \hline
  \end{tabular}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=8cm,arrowsize=7pt}
\newcommand{\f}[1]{0.5 #1 2 exp mul 2.718 -1 #1 mul exp mul}
\begin{pspicture}(-1.2,.2)(7.5,.1)
  \psline{->}(-0.2,0)(7.5,0)
  \psline{->}(0,-0.05)(0,0.36)
  \psplot[plotpoints=100]{0}{7}{\f{x}}
  \rput(5,0.12){$\mathcal{C}_f$}
  \psline[linestyle=dashed](2,0)(! 2 \space \f{2})(! 0 \space \f{2})
  \psline[linewidth=1.2pt]{<->}(! 1 \space \f{2})(! 3 \space \f{2})
  \rput(2,-0.04){$2$}
  \rput(-0.35,0.28){$2e^{-2}$}
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(0.8,0)
\end{pspicture}
\]

\item On a $F=u\,v$ avec 
  $\la\bgar{ll}
  u(x)=ax^2+bx+c \\
  v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}, \ w(x)=-x
  \enar\right.$, 
  et donc 
  $\la\bgar{ll}
  u'(x)=2ax+b \\
  v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}
  \enar\right.$. 

  Ainsi, 
  $F'=u'v+uv'
  =(2ax+b)e^{-x}+\lp ax^2+bx+c\rp\lp -e^{-x}\rp
  =\lp -ax^2+ (2a-b)x+(b-c)\rp e^{-x}
  $. 

  Ainsi, $F$ est une primitive de $f$ si $F'=f$, 
  soit 
  $\la\bgar{ll}
  -a=\dfrac12 \\
  2a-b=0 \\
  b-c=0
  \enar\right.
  \iff
\la\bgar{ll}
  a=-\dfrac12 \\
  b=2a=-1 \\
  c=b=-1
  \enar\right.$

  Ainsi, 
  $F(x)=-\dfrac12\lp x^2+2x+2\rp e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur
  $\R_+$. 

\item Comme pour tout $x\geqslant 0$, $x^2\geqslant 0$ et $e^{-x}>0$, 
  on a $f(x)\geqslant 0$. 

  De plus, 
  $\dsp\int_0^{+\infty}f(x)\,dx
  =\lim_{A\to+\infty} \int_0^A f(x)\,dx
  =\lim_{A\to+\infty} \Bigl( F(A)-F(0)\Bigr)
  $. 

  Or 
  $\dsp\lim_{A\to+\infty} F(A)
  =\lim_{A\to+\infty} -\dfrac12\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2+2x+2}}
  =0
  $, par croissances comparées en $+\infty$ de l'exponentielle et des
  polynômes. 

  On a donc, 
  $\dsp\int_0^{+\infty}f(x)\,dx=-F(0)=1$. 

  En résumé, $f$ est bien une densité de probabilité sur $\R_+$. 

\item 
  $P\lp 1\leqslant X\leqslant 3\rp
  =\int_1^3 f(x)\,dx
  =F(3)-F(1)
  =5e^{-2}-\dfrac{17}{2}e^{-3}$.

  $\dsp P\lp X\geqslant 2\rp
  =1-\int_0^2 f(x)\,dx
  =1-\Bigl( F(2)-F(0)\Bigr)
  =5e^{-2}$ . 

\enen
\enex


\bgex {\bf Nouvelle Calédonie, novembre 2011}

\begin{enumerate}
\item La densité de probabilité d'une loi exponentielle de paramètre
  $\lambda>0$ est la 
  fonction définie sur $\R_+$ par l'expression 
  $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$.

  On a alors, $\dsp P\lp X\leqslant t\rp=\int_0^t f(x)\,dx$
\item On a donc 
  $0,6 = \dsp\int_{0}^7 \lambda e^{- \lambda x}\,dx 
  \iff 0,6 = \lb-e^{- \lambda x}\rb_{0}^7
  \iff 0,6 = -e^{- 7\lambda} + 1
  \iff  e^{- 7\lambda} = 0,4
  \iff $ (par croissance de la fonction logarithme népérien 
  $- 7\lambda= \ln (0,4) 
  \iff \lambda = \dfrac{\ln (0,4)}{-7} \approx 0,1308
  \approx 0,131$  
  à $10^{-3}$ près. 
\medskip
 
\item On a 
  $p\lp X > 5\rp 
  = 1 - p\lp X \leqslant 5\rp 
  = 1 - \dsp\int_{0}^t 0,131 e^{- 0,131 x}\,dx 
  = 1 - \lb- e^{- 0,131 x}\rb_{0}^5 
  = 1 + e^{- 0,131 \times 5}  - 1 
  \approx 0,519 \approx 0,52$ à $10^{-2}$ près. 
\item Puisqu'on a une loi sans vieillissement:
  $p_{\lp X > 4\rp}\lp X > 9\rp
  =\dfrac{P\Bigl( \lp X>4\rp\cap \lp X\>9\rp\Bigr)}{P\lp X>4\rp}
  =\dfrac{P\lp X>9\rp}{P\lp X>4\rp}$, 
  soit, en réutilisant le résultat de la question précédente, 
  $p_{\lp X > 4\rp}\lp X > 9\rp
  =\dfrac{e^{-0,131\tm9}}{e^{-0,131\tm4}}
  =e^{-0.131\tm5}\approx 0,52$.
\item On a 
  $p(6 \leqslant \text{X} \leqslant 10) 
  = p(X \leqslant 10) - p(X \leqslant 6) 
  = \lp 1 - e^{- 0,131 \times 10}\rp - \lp 1 - e^{- 0,131 \times 6}\rp  
  = e^{- 0,131 \times 6} - e^{- 0,131 \times 10} \approx 0,19$.
\item 
  \bgen[a)]
  \item Les temps sont supposés indépendants de durée supérieure ou
    égale à 5 heures (avec une probabilité égale à 0,52) ou inférieure
    à 5 heures (avec une probabilité égale à $1 - 0,52 = 0,48$). 

    La variable Y suit donc une loi binomiale de paramètres 
    $p = 0,52$ et $n = 8$. 
  \item On a 
    $\dsp p(Y = 3) = \binom{8}{3} \times 0,52 ^3 \times 0,48^{8 - 3} 
    = 56 \times 0,52 ^3 \times 0,48^{5} \approx 0,20$.  
  \item On a E(Y) $= n \, p = 8 \times 0,52 = 4,16 \approx 4$. 
\enen
\enen
\enex




\label{LastPage}
\end{document}

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