Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques

Terminale S

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: Géométrie dans l'espace, sphère, tangente à une sphère, plans et plan médiateur
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Type: Corrigé de devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: Géométrie dans l'espace, sphère, tangente à une sphère, plans et plan médiateur
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, géométrie dans l'espace, sphère, plan, tangente, plan médiateur

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    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage{pslatex}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
\usepackage{multirow}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=15pt
\textheight=27.5cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=17.5cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\voffset=-0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.2cm}


\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$



\bgex 

$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un RON. 
$\mathcal{S}$ est la sph�re de centre $J(0;1;0)$ et de rayon 1. 
$u$ et $v$ sont deux r�els, $M$ et $N$ sont les points d�finis par 
$\V{OM}=u\vec{k}$ et $\Vec{AN}=v\vec{i}$ o� $A(0;2;0)$.

\vsp
\bgit
\item[1.] Donner une �quation de la sph�re $\mathcal{S}$. 
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Quelles sont les coordonn�es des points $M$ et $N$ ? 
    \vsp
  \item[b)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
    $(MN)$. 
  \enit
  \vsp
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que la droite $(MN)$ est tangente � la sph�re
    $\mathcal{S}$ si, et seulement si, $u^2v^2=4$. 
    \vsp
  \item[b)] Dans le cas o� la droite $(MN)$ est tangente �
    $\mathcal{S}$, calculer les coordonn�es du point de contact.
  \enit
\enit
\enex

\vspd
\ul{Correction:}\hrulefill
\bgit
\item[1.] $\mathcal{S}: x^2+(y-1)^2+z^2=1$. 

  \vspd
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] $M(0;0;u)$; $N(v;2;0)$
    \vspd
  \item[b)] La droite $(MN)$ a pour vecteur directeur
    $\V{MN}(v;2;-u)$ et passe par le point $N$: 
    \[(MN): \la\bgar{l} x=vt\\y=2t\\z=u-ut=u(1-t) \enar\right., t\in\R\]
  \enit
  \vspd
\item[3]
  \bgit
  \item[a)] Les coordonn�es du point d'intersection de $(MN)$ et
    $\mathcal{S}$ v�rifient, lorsqu'ils existent, l'�quation
    param�trique de $(MN)$ et l'�quation de $\mathcal{S}$, 
    soit, 
    \[\bgar{ll}
    \mathcal{S}: x^2+(y-1)^2+z^2=1
    &\iff v^2t^2+(2t-1)^2+u^2(1-t)^2=1\\
    &\iff t^2(v^2+u^2+4)-2t(2+u^2)+u^2=0
    \enar\] 

    $(MN)$ est tangente � $\mathcal{S}$ si et seulement si 
    $(MN)$ et $\mathcal{S}$ ont un unique point d'intersection, 
    soit, si et seulement si l'�quation du second degr� pr�c�dente
    admet une unique solution, c'est-�-dire si son discriminant est
    nul:  
    $\Delta=4(2+u^2)^2-4(v^2+u^2+4)u^2=4(4-u^2v^2)=0$

    Ainsi, 
    \ul{$(MN)$ et $\mathcal{S}$ sont tangents si et seulement si 
    $u^2v^2=4$}. 
    \vspd
  \item[b)] On a alors $\Delta=0$ et l'unique solution du trin�me est: 
    $t=\dfrac{2(2+u^2)}{2(u^2+v^2+4)}$. 

    On obtient alors directement les coordonn�es du point de contact
    en rempla�ant cette valeur de $t$ dans l'�quation param�trique  de
    $(MN)$. 
  \enit

\enit


\pagebreak
\bgex {\bf ROC}\ {\it (D'apr�s Bac 2005)}

\vsp
\ul{\bf Partie A.} Soit $[KL]$ un segment de l'espace. 
On note $I$ son milieu. 
On appelle plan m�diateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ �
la droite $(KL)$. 

\vsp
{\bf D�montrer} que le plan m�diateur de $[KL]$ est l'ensemble des
points de l'espace �quidistants des points $K$ et $L$. 

\vspd
\ul{\bf Partie B.} Dans un RON, on consid�re les points 
$A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$, $C(3;-3;-1)$ et $D(0;0;-3)$. 

\bgit
\item[1.] D�montrer que le plan m�diateur de $[AB]$ a pour �quation 
  $4x-4y-10z-13=0$. 

  On admet par la suite que les plans m�diateurs de $[BC]$ et $[CD]$
  ont respectivement pour �quations: 
  \[ 2x-10y-6z-7=0\ \ \mbox{ et,} \ \ 
  3x-3y+2z-5=0
  \]
\item[2.] D�montrer, en r�solvant un syst�me d'�quations lin�aires, 
  que ces trois plans ont un unique point commun $E$ dont on donnera
  les coordonn�es. 

\item[3.] En utilisant la partie A, d�montrer que les points $A$, $B$,
  $C$ et $D$ sont sur une sph�re $\mathcal{S}$ de centre~$E$. 

  $\mathcal{S}$ est la sph�re circonscrite au t�tra�dre $ABCD$. 
  Quel est le rayon de cette sph�re ?
\enit

\enex

\vspd
\underline{Correction:}
\underline{\bf Partie A}\hrulefill

Soit $\mathcal{P}$ le plan m�diateur de $[KL]$, 
et $M$ un point quelconque de $\mathcal{P}$. 

On a alors, 
\[\bgar{ll}
MK^2-ML^2=\V{MK}^2-\V{ML}^2
&=\lp\V{MI}+\V{IL}\rp^2-\lp\V{MI}+\V{IK}\rp^2\\
&=\lp MI^2+2\V{MI}\cdot\V{IL}+IL^2\rp-\lp MI^2+2\V{MI}\cdot\V{IK}+IK^2\rp\\
&=2\V{MI}\cdot\lp\V{IL}+\V{IK}\rp=0
\enar\]
car $I$ est le milieu de $[KL]$. 

Ainsi, $MK^2=ML^2 \iff ML=MK$. 

\ul{On en d�duit donc que tout poit $M$ de $\mathcal{P}$ est �quidistant
de $K$ et $L$}. 

\vspq
\ul{\bf Partie B}

\bgit
\item[1.] Le plan m�diateur de $[AB]$ est orthogonal $(AB)$, donc a
  pour vecteur normal $\V{AB}(-2;2;5)$. 

  Ce plan m�diateur a donc une �quation de la forme: 
  $-2x+2y+5z+d=0$. 

  Le milieu $I$ de $[AB]$ appartient � ce plan, et a pour coordonn�es 
  $I(3;1;-\frac{1}{2})$, et donc, 
  $-2\tm3+2\tm1-5\tm\frac{1}{2}+d=0\iff d=\frac{13}{2}$. 

  Ce plan a donc pour �quation: 
  $-2x+2y+5z+\frac{13}{2}=0$, ou encore, en multipliant par $(-2)$, 
  \ul{$4x-4y-10z-13=0$}.

\vspd
\item[2.] Le point d'intersection $E$ appartient au trois plans, et
  ses coordonn�es v�rifient donc le syst�me: 
  \[\la\bgar{llllllllll}
  4x &-& 4y  &-& 10z &-& 13 &=& 0 \\
  2x &-& 10y &-& 6z  &-& 7  &=& 0\\
  3x &-& 3y  &+& 2z  &-& 5  &=& 0
  \enar\right.\]
  
  qui a pour solution $\lp x=2;y=0;z=-\dfrac{1}{2}\rp$.

\vspd
\item[3.] D'apr�s la partie A, on sait que $E$ est �quidistant de $A$ 
  et $B$, car il est sur le plan m�diateur de $[AB]$. 
  De m�me $E$ est �quidistant de $B$ et $C$, et de $C$ et $D$. 

  On en d�duit que $E$ est �quidistant de $A$, $B$, $C$ et $D$, 
  et donc que $A$, $B$, $C$ et $D$ sont sur une sph�re $\mathcal{S}$
  de centre $E$. 

  Le rayon de la sph�re est 
  $R=AE=\sqrt{(-2)^2+0^2+\lp\dfrac{5}{2}\rp^2}
  =\sqrt{4+\dfrac{25}{4}}=\dfrac{\sqrt{41}}{2}
  $

\enit


\end{document}

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