Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, Probabilités, suites et intégrales

Terminale S

Probabilités, suites et intégrales

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - suite de probabilités: probabilité d'avoir au moins un billet gagnant selon le nombre de billets achetés. Intégrales et encadrement
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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S - suite de probabilités: probabilité d'avoir au moins un billet gagnant selon le nombre de billets achetés. Intégrales et encadrement
Niveau
Terminale S
Mots clé
probbailités, suite, intégrale, devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={DS de math�matiques: Nombres complexes},
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      exerices, bac, baccalaur�at, type BAC}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\oddsidemargin=-1cm

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\newcounter{ntheo}
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\newlength{\ltheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
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\vspace*{-0.5cm}

\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$


\bgex
Dans une foire, une publicit� annonce: 
{\it\og Un billet sur deux est gagnant, achetez deux billets !\fg}.

Dans cet exercice, on suppose qu'effectivement, sur le nombre de
billets en vente, exactement un billet sur deux est gagnant. 
Xavier est toujours le premier acheteur de la journ�e. 


\vspd\noindent
{\bf Partie A}
Un jour, cents billets sont mis en vente. 
Xavier en ach�te deux. 

Calculer la probabilit� qu'il ait au moins un billet gagnant 
(donner le r�sultat sous forme de fraction). 

\vspd\noindent
{\bf Partie B} 
Un autre jour, $2n$ billets sont mis en vente 
($n$ est un entier naturel). 

Xavier ach�te deux billets. 

\bgen
\item D�montrer que la probabilit� $p_n$ qu'il ach�te au moins un
  billet gagnant est: 
  $p_n=\dfrac{3n-1}{4n-2}$. 

\item Calculer $p_1$ et expliquer ce r�sultat. 
\item D�montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, 
  $\dfrac34\leqslant p_n\leqslant 1$.
\enen

\vspd\noindent
{\bf Partie C} 
Tous les jours, $2n$ billets sont mis en vente 
($n$ est un entier naturel non nul). 

Xavier revient chaque jour, pendant 3 jours, acheter deux billets. 

\bgen
\item Quelle est la probabilit� $q_n$ qu'il obtienne, au cours de ces
  3 jours, au moins un billet gagnant ? 
\item Etudier la limite de la suite $(q_n)$. 
\enen
\enex

\bgex
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ d�rivable sur
$\R$: 
\[
\begin{tabular}{|c|*9{c}|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
  &0&&&&&&2&&\\
  $f$ &&\psline{->}(-0.6,0.5)(0.6,-0.3)&&
  \rput(0.6,0.1){$0$}
  \psline{->}(-0.3,-0.3)(1.5,0.5)&&&&
  \psline{->}(-0.3,0.5)(0.7,-0.3)&\\
  &&&$-1$&&&&&&1\\\hline
\end{tabular}
\]

\bgen
\item On consid�re les int�grales suivantes: 
  \[
  I=\int_0^3 f(t)\,dt\ ;\quad
  J=\int_{-5}^{-2} f(t)\,dt\ ;\quad
  K=\int_{-1}^{1} f(t)\,dt
  \]
  Pour une seule de ces int�grales on peut affirmer qu'elle est
  positive, et pour une seule on peut affirmer qu'elle est n�gative. 

  Pr�ciser ces deux int�grales et justifier ce choix. 

\item A l'aide des informations contenues dans le tableau de variation
  de $f$, donner un encadrement par des nombres entiers des int�grales
  suivantes: 
  \[
  A=\int_0^1 f(t)\,dt\ ;\quad
  B=\int_1^2 f(t)\,dt 
  \]

\item On d�finit, pout tout r�el $x$, 
  la fonction $F$ par $\dsp F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$. 

  \bgen[a.]
  \item D�terminer deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que 
    $a\leqslant F(2)\leqslant b$.

  \item Etudier la limite de $F$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. 
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $F$. 
  \enen
\enen
\enex

\clearpage
\bgex
Le plan $(P)$ est rapport� au rep�re orthonormal $\lp
O;\vec{e_1};\vec{e_2}\rp$. 
L'unit� graphique est~4cm. 

\bgen
\item On consid�re dans $\C$ l'�quation suivante: 
  $(E): z^3-8z^2+24z-32=0$. 

  \bgen[a.]
  \item V�rifier que $z_0=4$ est une solution de $(E)$. 
    D�terminer trois r�els $a$, $b$ et $c$ tels que 
    $(E)$ s'�crive: 
    $(z-4)(az^2+bz+c)=0$. 
  \item R�soudre l'�quation $(E)$. 
    On notera $z_0$, $z_1$ et $z_2$ ses solutions, $z_1$ �tant sa
    solution ayant une partie imaginaire positive et $z_2$ sa solution
    ayant une partie imaginaire n�gative. 

    D�terminer la forme exponentielle de $z_1$ et $z_2$. 
  \item D�montrer que les images respectives $M_0$, $M_1$ et $M_2$ de
    $z_0$, $z_1$ et $z_2$ sont sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre
    $\Omega$ d'affixe $\omega=2$ et de rayon $R=2$. 
    Illustrer. 
  \enen

\item On consid�re la transformation $f$ du plan qui � tout point
  $M(z)$, distinct de $O$, associe le point $M'(z')$ tel que 
  \[
  z'=\dfrac{1}{\overline{z}}\ .
  \]
  \bgen[a.]
  \item D�terminer l'ensemble des points $M$ invariants par $f$. 
  \item D�montrer que, pour tout point $M$ distincts de $O$, les
    points $O$, $M$ et $M'$ sont align�s et que $OM\tm OM'=1$. 
  \item Calculer les affixes des points $M_0'$, $M_1'$ et $M_2'$
    images par $f$ des points $M_0(4)$, $M_1(2+2i)$ et $M_2(2-2i)$. 

    Placer les points $M_0'$, $M_1'$ et $M_2'$ sur la figure. 
  \enen

\item Le but de cette question est d'�tudier l'image du cercle
  $\mathcal{C}$ par la transformation $f$. 

  \bgen[a.]
  \item D�montrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul, on a:
    \[
    |z-2|=2 \iff \left|\dfrac12-z'\right|=\left| z'\right|\ .
    \]
  \item En d�duire l'image $\mathcal{D}$ du cercle $\mathcal{C}$ par
    la transformation $f$. 

    On donnera une �quation de $\mathcal{D}$ et on la tracera. 
  \enen
\enen
\enex


\end{document}

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