Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Nombres complexes

Terminale S

Nombres complexes

Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: nombres complexes, formes algébrique, trigonométrique et exponentielle
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: nombres complexes, formes algébrique, trigonométrique et exponentielle
Niveau
Terminale S
Mots clé
compelxes, nombres complexes, Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS

Sujet du devoir

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Source Latex 

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction de l'interro de mathématiques terminale S: nombres complexes},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: nombres complexes},
    pdfkeywords={complexes, nombres complexes, correction, Mathématiques, TS, terminale S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\hspace*{-1em}{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\Large{Corrigé du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\hspace{-1em}a) $z_1=\dfrac{2(1+i)}2=1+i$ 
\quad 
b) $z_2=2i+\dfrac{-i}{2}=\dfrac32i$
\quad
c) $z_3=\dfrac{(1-i\sqrt3)(\sqrt3+i)}4
  =\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12i$
\enex

\bgex
Soit $z=1+i\sqrt3$, 
alors $|z|=2$ et $\theta=\arg(z)$ tel que 
$\cos\theta=\dfrac12$ et 
$\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2$ d'où $\theta=\dfrac\pi3$ 
et alors, 
$z=2e^{i\pi/3}$. 
On en déduit que $z^6=\lp1+i\sqrt3\rp=\lp2e^{i\pi/3}\rp^6=2^6e^{6\tm i\pi/3}
=64e^{2i\pi}=64$.
\enex


\bgex {\it (D'après baccalaur\'eat France m\'etropolitaine, Septembre 2007, 3 points)}

\begin{enumerate}
\item On a 
$\dsp Z = \frac{z_{1}}{z_{2}} 
= \frac{\sqrt{2} + i\sqrt{6}}{2 + 2i} 
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{1 + i} 
= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \dfrac{(1 + i\sqrt{3})(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} 
= \frac{\sqrt{2}}{4}\left[1 + \sqrt{3} + \text{i}\left(\sqrt{3} - 1\right) \right]$.
\item 
\bgit
\item $\left|z_{1}\right|^2 = 2 + 6 = 8 \Rightarrow |z_{1}| = 2\sqrt{2}$. On a donc $z_{1} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$. Donc arg$(z_{1}) = \dfrac{\pi}{3}~~[2\pi]$.

\item On a de m\^eme   $|z_{2}| = 2\sqrt{2}$, puis $z_{2} =  2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
Donc arg$(z_{2}) = \dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]$.

\item Il suit 
  arg$(Z)=\arg\lp\dsp\frac{z_1}{z_2}\rp=\arg(z_1)-\arg(z_2)=$
  $\dsp\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{12}~~[2\pi]$.
  et $\dsp |Z| = \frac{|z_1|}{|z_2|}=1$.
\enit
\item On en d\'eduit que 
  $Z = \cos \lp \dfrac{\pi}{12}\rp + i\sin \lp
  \dfrac{\pi}{12}\rp$ et par identification avec la forme alg\'ebrique
  du 1):
\[\cos \left( \dfrac{\pi}{12}\right) = 
\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp 1 +\sqrt{3}\rp
~~\text{et}~~
\sin \left( \dfrac{\pi}{12}\right) 
=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\lp \sqrt{3} - 1\rp  \] 



\end{enumerate}\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Avec $z=x+iy$, on a 
$Z=\dfrac{z+1}{z-i}=\dfrac{(x+1)+iy}{x+i(y-1)}$
et donc 
\[Z=\dfrac{\Bigl((x+1)+iy\Bigr)\Bigl(x-i(y-1)\Bigr)}{x^2+(y-1)^2}
=\dfrac{\Bigl(x(x+1)+y(y-1)\Bigl)+i\Bigl(xy-(x+1)(y-1) \Bigr)}{x^2+(y-1)^2}\]

\item Maintenant, $Z$ est réel (pur) si et seulement si 
  $xy-(x+1)(y-1)=0\iff x-y+1=0 \iff y=x+1$. 

  L'ensemble des points $M$ recherchés est donc la droite 
  d'équation $y=x+1$. 

\item Maintenant, $Z$ est imaginaire pur si et seulement si 
  $x(x+1)+y(y-1)=0
  \iff x^2+x+y^2-y=0$ 

  Soit $M$ le point d'affixe $z=x+iy$ et $A$ le point d'affixe $z_A=x_A+iy_A$, 
  alors 
  \[\bgar{ll}AM^2&=\left|z-z_A\right|^2\\[.5em]
  &=\lp x-x_A\rp^2+\lp y-y_a\rp^2 \\[.5em]
  &=x^2-2xx_A+x_A^2+y^2-2yy_A+y_A^2\enar\]
  et on a alors 
  $x^2+x+y^2-y=0
  \iff AM^2=\dfrac12$ 
  avec $x_A=-\dfrac12$ et $y_A=\dfrac12$. 

  Ainsi, l'ensemble des points recherchés est le cercle de centre $A$ 
  et de rayon $\dfrac1{\sqrt2}$. 
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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