Source Latex: Exercices de mathématiques, Nombres complexes

Terminale S

Nombres complexes

Exercices de mathématiques: Nombres complexes
Fichier
Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques: Nombres complexes
Niveau
Terminale S
Mots clé
Cours de mathématiques, complexes, nombres complexes, i, réels et imaginaires, plan complexe, module, argument

Quelques devoirs


Voir aussi:

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Source Latex 

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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
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  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
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  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Nombres complexes - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents



\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif: 
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$. 

Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex

\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $(2-i)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$
\enex


\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$. 

\bgit
\item[a)] Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$. 
\item[b)] En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item[c)] Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enit
\enex


\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et 
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$. 

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\enex

\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixe
$z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$. 

\bgit
\item[a)] Faire une figure
\item[b)] Montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
  parallélogramme. 
\enit
\enex


\bgex
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{\sqrt{3}+2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1+4i}{1-\sqrt{2}i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\frac{1}{2}+3i\rp^2$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp i^3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^5$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^6$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ Exprimer en fonction de $n\in\Z$,\ \ $\dsp z_n=i^n$
\enex


\bgex Soit $z_1=-1+2i$ et $z_2=1-i$. 
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: 
\[
\bullet z_1^2-2z_2
\qquad
\bullet z_1z_2^2
\qquad
\bullet \dfrac{z_1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{z_2^2}
\]
\enex

\bgex
\bgen
\item Donner la forme algébrique de: 
  $i^{12}$; $i^{2012}$; $i^{37}$; $i^{-13}$
\item Calculer la somme: 
  $S=1+i+i^2+\dots+i^{2014}$
\item On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 
  Calculer $1+j+j^2$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit les nombres complexes: 
$\dsp z_1=\frac{3-i}{5+7i}$ 
et 
$\dsp z_2=\frac{3+i}{5-7i}$ . 

Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en déduire que $z_1+z_2$ est
réel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur. 

\vsp
Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.
\enex

\bgex
Soit $P$ le polynôme défini sur $\C$ par : 
$P(z)=z^3+z^2-4z+6$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout complexe $z$,
  \ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$. 
\item[b)] Vérifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en déduire une
  autre racine complexe de $P$. 
\enit
\enex

\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit réel.
\enex


\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation: 

a)\ \ $5\overline{z}=4-i$ 
\qquad
b)\ \ $(1+i)\overline{z}+1-i=0$ 
\qquad
c)\ \ $3\overline{z}-2iz=5-3i$
\enex

\bgex Montrer que l'équation 
$z^2-3\overline{z}+2=0$ admet quatre solutions dans $\C$. 

\enex




\bgex
Dans le plan complexe, 
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: 
\[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$, puis que
  $\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$. 
\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère 
  $ABKC$ soit un rectangle. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère 
    $AGBC$ soit un parallélogramme. 
  \item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\
$\bullet\ |z-6i|=3$ 
\quad
$\bullet\ |z+3-2i|<2$
\quad
$\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$
\quad
$\bullet\ |2-iz|=|z+5|$
\quad
$\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$
\enex



\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants: 

\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&
$\bullet\ z_2=-4$
&
$\bullet\ z_3=2i$
&
$\bullet\ z_4=-1+i$
&
$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&
$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&
$\bullet\ z_8=5i$
&
$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex



\bgex
Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et
algébrique les nombres complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
\enex


\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres
complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 5$ 
\hspace{0.6cm}
$\dsp\bullet\ 4+4i$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac32 i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$
\enex



\bgex
On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$, 
$\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et 
$\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$. 

\vsp
Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes: 
$z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$, 
$z_2^2$, $z_3^6$.
\enex

\bgex
Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$, 
$\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2
+\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$. 

Etait-ce prévisible sans calcul ?

\enex


\bgex
Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique. 
\enex


\bgex
Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les
écrire sous formes trigonométrique et exponentielle: 

\hspace{3cm}
$\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$
\hspace{3cm}
$\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$
\enex

\clearpage
\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$, 
  et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les
  valeurs exactes de  
  $\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex

\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, 
  et $\dsp Z=z_1 z_2$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$. 
En déduire les valeurs exactes de 
  $\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex


\bgex {\it (Formules trigonométriques)} 
Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques. 

En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$, 
exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction
des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$. 

Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$.
\enex


\bgex
En utilisant la  notation exponentielle complexe, retrouver en
fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de : 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$

\vspd\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$
\enex

\bgex Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : 

\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp
\psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$

\vsp\noindent
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{1}{iz}\rp=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{z+1}{z-2i}\rp=\frac{\pi}{2}$
\enex


\bgex
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes: 

\vspd\noindent
$\bullet\ z^2+z+1=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2-3z+18=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2+9z-4=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ -z^2+(1+\sqrt{3})z-\sqrt{3}=0$
\enex

%%%AAAAAAAAA

\bgex
On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$, 
où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$. 

\bgen[a)]
\item Vérifier que le discriminant de cette équation 
  est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$. 
  \vspd
\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant
  suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes
  exponentielle. 
\enen
\enex

\bgex
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de : 
$z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$. 
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Donner sous forme exponentielle les solutions de 
l'équation : $z^2+z+1=0$. 
\vsp
\item Soit $\alpha$ un réel donné. 
  Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$. 
  \vsp
\item En déduire les solutions de l'équation : 
  $z^4+z^2+1=0$. 
\enen
\enex

\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex


\bgex On considère l'équation du second degré 
$(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$. 

\bgen
\item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation. 
  \'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle. 

\item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$. 
  \'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique. 
\item Vérifier que les formules usuelles du second degré, 
  $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et son conjugué $z_2=\overline{z_1}$ 
  donnent bien deux solutions de $(E)$. 
\enen
\enex


\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-\overline{z}+\frac{1}{4}=0$.
\enex

\vspace{-0.2cm}
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-3\overline{z}+2=0$.
\enex

\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^4+4z^2-21=0$. 
\enex


\vspace{-0.2cm}
\bgex
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par 
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$. 

\bgit
\item[a)] Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ à coefficients réels
  tel que, pour tout nombre complexe $z$, 
  $P(z)=(z^2+1)Q(z)$. 
  \vspd
\item[b)] En déduire toutes les racines dans $\C$ du polynôme $P$. 
\enit
\enex


\bgex
Soit $P$ le polynôme défini par: \quad
$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.

\bgen
\item Calculer $P(i)$. 
\item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que 
  $P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$. 
\item Déterminer alors toutes les racines du polyn\^ome $P$.
\enen
\enex

\bgex
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par : 
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$. 

\vsp
\bgen[a)]
\item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$. 
  \vsp
\item En déduire une factorisation de $P$, et déterminer alors toutes
  les racines de $P$.  
\enen
\enex

\bgex\vspace{-0.5cm}

\bgen
\item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la
  forme exponentielle de 
  $\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$. 

\vspace{-0.2cm}
\item Utiliser la question précédente pour résoudre dans
  $]-\pi;\pi[$ l'équation  
  $\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$.
\enen
\enex


\bgex
\bgen[a)]
\item Déterminer l'équation du cercle de rayon $3$ 
  et de centre $\Omega(3+2i)$. 
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que 
  $x^2+y^2-6x+4y-12=0$.
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que 
  $x^2+y^2+4x-2y+11=0$.
\enen
\enex


\bgex
Soit $p$ et $q$ deux nombres réels. 

\bgit
\item[a)] Factoriser 
  $\dsp e^{i\frac{p+q}{2}}$ dans la somme $e^{ip}+e^{iq}$. 
\item[b)] En déduire une factorisation de $\cos(p)+\cos(q)$ 
  et de $\sin(p)+\sin(q)$. 
\item[c)] Résoudre dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation : 
$\cos(x)+\cos(3x)=0$. 
\enit
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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