Calcul de limites, suites et fonctions, récurrence, étude de fonction, théorème de la bijection (TVI), limites et asymptotes verticales et horizontales
Devoir corrigé
Fonction exponentielle
Calculs de dérivées de fonction avec exponentielle. Étude, variations et racines, d'une fonction polynôme de degré 3 (TVI). Étude, variations et limites, d'une fonction avec exponentielle
Devoir corrigé
Fonctions exponentielle et logarithme (ln)
Fonctions exponentielle et logarithme népérien, dérivée, étude de fonction, calcul de limites, théorème de la bijection (TVI). Suite récurrente définie à partir d'une fonction avec un logarithme népérien
Voir aussi:
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques TS: Suites},
    pdftitle={Suites - limites et récurrence},
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      suite, limite, récurrence
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\nwc{\tm}{\times}
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\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
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%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
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  \vspd\noindent
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  \hfill$\square$
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\newcommand{\TITLE}{Limites de suites - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE{} - $T^\text{ale}$, spé maths - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace*{2cm}\TITLE\ - $T^\text{ale}, spé maths$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

%\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^\text{ale}$, spécialité maths


\bgex 
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n\in\N$ par 
$u_n=n^2+n-1$. 
\bgen
\item Donner $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 
\item Exprimer en fonction de $n$: 
  a)\ \ $u_{n-1}$
  \qquad
  b)\ \ $u_{n+1}$ 
  \qquad
  c)\ \ $u_{n+1}-u_n$

\item La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ? 
\item Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?
\enen
\enex

\vspace{-.6em}

\bgex
Préciser si les suites suivantes $(u_n)$ sont arithmétiques,
géométriques, ou ni l'un~ni~l'autre. 

\bgen[a.] 
\item Pour tout $n\in\N$, $u_n=n^2$. 
\item $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$, 
  $u_{n+1}=u_n-5$. 
\item Pour tout $n\in\N$, 
  $u_n=\dfrac{2n^2+5n+3}{n+1}$.
\item Pour tout $n\in\N^*$, 
  $u_n=\dfrac{3^{2n+1}}{2n}$.
\item $u_0=3$ et pour tout entier naturel $n$, 
  $u_{n+1}=-\dfrac23 u_n+4$. 
\enen
\enex

\vspace{-.6em}

\bgex
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non
nul par  $u_n=\dfrac{n+1}{n^2+1}$. 

\bgen
\item Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n=f(n)$. 
\item Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de
  $(u_n)$. 
\item Calculer $u_{10}$, $u_{100}$, $u_{10\,000}$, $u_{10^8}$ 
  et $u_{10^{16}}$. 

  Que peut-on dire des valeurs de $u_n$ lorsque $n$ devient de plus en
  plus grand ?
\enen
\enex


\bgex
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies pour 
tout entier naturel $n$ par 

1)\ \  $u_n=\dfrac{n^2-1}{n^2+1}$. 
\qquad
2)\ \  $u_n=3n^2+4n-5$. 
\qquad
3)\ \ $u_n=-n^3+6n^2-9n+5$. 
\enex

\bgex
Soit la suite  $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{1}{u_n}+1$. \\
Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$. 
Tracer $\Cf$ et placer $u_0$, $u_1$, \dots, $u_4$ sur
l'axe des abscisses. 
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$. 
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 

\item  Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite. 
  \textit{Ces résultats seront démontrés plus tard...}
\enen
\enex

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$. 

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$. 

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique. 
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
  $n$.   
\enen
\enex

\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac23 u_n-\dfrac16$.

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=2u_n+1$.

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique. 
\item En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction
  $n$.   
\enen
\enex

\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$. 

Montrer que, pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$. 
\enex

\bgex Montrer que, pour tout $n\geq 10$, $2^n\geq 100n$. 
\enex


\bgex
Soit la suite $v$ définie par $v_0=2$, puis pour tout entier $n$,\ \ 
$\dsp v_{n+1}=1+\frac{1}{v_n}$. 

Montrer que pour tout entier naturel $n$,\ \ 
$\dsp\frac{3}{2}\leq v_n\leq 2$.
\enex

\bgex \textsl{Somme des premiers entiers, de leurs carrés, de leurs cubes.}
\bgen
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
  $1+2+3+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
$\dsp 1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. 

\item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, 
$1^3+2^3+3^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$.
\enen
\enex

\vspace{-1em}

\bgex
Soit $n$ un entier naturel non nul, et $S_n$ la somme: 
\quad$\dsp S_n=\sum_{p=1}^n \frac{1}{p(p+1)}
$. 

\bgen
\item Ecrire un algorithme permettant de calculer $S_n$ où $n$ est un
  entier choisi par l'utilisateur.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 0$,\ \ 
  $\dsp S_n=\frac{n}{n+1}$
\item
  \bgit
  \item[a)] Vérifier que pour tout entier $p$ non nul, 
    $\dsp\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$
    \vsp
  \item[b)] Retrouver alors le résultat du 1. par une autre méthode.
  \enit
\enen
\enex

\bgex
Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que
pour tout entier naturel $n$,\ \  $(1+a)^n\geq 1+na$ 
\quad(inégalité de Bernoulli).
\enex

\bgex
Soit $u$ la suite définie par $u_0=3$, et pour tout entier $n$ par 
\ \ $u_{n+1}=2(u_n-1)$. 

Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une
expression de $u_n$. 

Démontrer alors cette conjecture.
\enex

\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=5$ et, pour tout entier $n$,\ \ 
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$. 

Démontrer que cette suite est monotone.
\enex




\bgex
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite
$(u_n)$: 

a)\ \ $u_n=n^3+\dfrac{1}{n}$ 
\qquad
b)\ \ $u_n=(3n+1)(-7n+5)$
\qquad
c)\ \ $u_n=\dfrac{3-\dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
\qquad
d)\ \ $u_n=n^3-n^2+3n-1$

e)\ \ $u_n=\dfrac{2n^2+1}{-n^2+6}$
\quad
f)\ \ $u_n=\dfrac{n^2+3n-5}{n^3-6n^2+1}$
\quad
g)\ \ $u_n=n\sqrt{n}-n$
\quad
h)\ \ $u_n=(-2n+3)\dfrac{n+3}{-n^2+n+6}$

\vspd
i)\ \ $u_n=\dfrac{n}{n+\sqrt{n}}$ 
\quad
j)\ \ $u_n=\dfrac{9-n^2}{(n+1)(2n+1)}$
\quad
k)\ \ $u_n=\dfrac13-\dfrac{n}{(2n+1)^2}$
\quad
l)\ \ $u_n=\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2+3}{3n^2+n+1}$
\enex




\bgex {\sl D'après BAC}

$(u_n)$ est une suite définie par $u_0=1$ et,
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+3$. 

\bgen[a.]
\item Etudier le sens de variation de $(u_n)$. 
\item Démontrer par récurrence que, 
  pour tout entier $n$, $u_n=(n+1)^2$. 
\item En déduire que, pour tout entier $n$, 
  $u_n\geqslant n^2$.
\item La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? majorée ? 
  Justifier. 
\item Donner la limite de $(u_n)$. 
\enen
\enex

\vspace{-1em}

\bgex
Soit $(a_n)$ la suite définie par $a_0=1$ et, pour tout entier $n$, par $a_{n+1}=\dfrac13a_n+n-2$. 
\bgen
\item\bgmp[t]{12cm}\vspace{-1em}\bgen[a)]\item Quelle est la valeur retournée lors de l'appel \textit{fonction(3)} de la fonction python ci-contre ? 
  \item Qu'affiche l'instruction suivante ?\\ \hspace*{1em}\textit{for i in range(10)\!:\,print(fonction(i))}
  \enen
  \enmp
  \hfill
  \fbox{\bgmp[t]{4cm}
    def fonction(n):\\
    \hspace*{1em}a=1\\
    \hspace*{1em}for p in range(n):\\
    \hspace*{2em}a=1/3*a+p-2\\
\hspace*{1em}return(a)
  \enmp}
  
\vspace{-1em}
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant7$, on a 
$a_n\geqslant n-3$. 
\item En déduire la limite de la suite $(a_n)$. 
\enen
\enex




\bgex Soit la suite $u$ définie  par $u_0=5$ et
$u_{n+1}=\sqrt{3u_n+1}$ 

\bgen
\item Montrer que $(u_n)$ est décroissante. 

\item Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée. 

\item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+5}$. 

\bgit
\item[1)] Montrer que cette suite est croissante.
\item[2)] Montrer que pour tout entier $n$, $0\leq u_n\leq 3$. 
  En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\item[3)] Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$.
\enit
\enex



\bgex On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac32x$, et la suite $(u_n)$ définie par 
$u_0=3$, puis pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen
\item Appliquer le théorème du point fixe à la suite $(u_n)$. 
\item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ et conjecturer l'expression de
  $u_n$ en fonction de $n$. 

  Démontrer cette conjecture. 
  Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Quelle est sa limite ?
\enen
\enex


\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$, par \ \ $\dsp u_{n+1}=4-\frac{3}{u_n}$. 

\vsp
\bgit
\item[1.] 
  \bgit
  \item[a)] Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer
    la droite $\Delta$ d'équation $y=x$ et la courbe $\Cf$
    représentant la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par
    l'expression \ \ $\dsp f(x)=4-\frac{3}{x}$. 
  \item[b)] Placer sur l'axe des abscisses, et sans effectuer aucun
    calcul, les termes $u_0$, $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 
  \item[c)] Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$. 
  \enit
  \vspd
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\N$,\ \ 
    $2\leq u_n\leq 3$.
  \item[b)] Démontrer que la suite $u$ est croissante, et en déduire
    qu'elle converge.
  \item[c)] Déterminer alors la limite de la suite $u$. 
  \enit
\enit
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=xe^{-x}$ ainsi que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1}=f(u_n)$. 

\bgen
\item\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ et tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$. 
\item Construire sur le graphique précédent les points $A_0$, $A_1$ et $A_2$ d'ordonnées nulles et d'abscisses repsectives $u_0$, $u_1$ et $u_2$. 

\item  Conjecturer le sens de variation de la suite et sa limite. 
\enen
\item \bgen[a)]
  \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, on a $u_n>0$. 
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. 
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$. 
    Déterminer $l$. 
  \enen 
\item On considère la somme 
  $\dsp S_n=\sum_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n$. \\[-.2em]
  \'Ecrire un algorithme/programme qui permet de calculer $S_n$ pour $n$ quelconque donné. 

  Calculer $S_{100}$. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $(S_n)$ et $(T_n)$ les deux suites définies, pour tout entier naturel $n$, par \vspace{-.9em}
\[S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac1{3^k}=1+\dfrac13+\dots+\dfrac1{3^n}
\qquad et \qquad 
T_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{3^k}=\dfrac13+\dfrac2{3^2}+\dots+\dfrac{n}{3^n}\]
\vspace{-1.5em}
\bgen
\item\bgen[a.]
  \item Pour tout entier $n$, exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
  \item En déduire $\dsp\lim_{n\to+\infty}S_n$
  \enen
\item \bgen[a.]
  \item Montrer que la suite $(T_n)$ est croissante. 
  \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, 
    $T_{n+1}=\dfrac{S_n+T_n}3$.
  \item Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\geqslant1$, on a $T_n\leqslant1$. 
  \item En déduire que la suite $(T_n)$ converge vers un réel $l$. 
    Déterminer $l$. 
  \enen
\enen
\enex



\bgex
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0=3$ et, pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac{3u_n}{3+2u_n}$. 

\vspace{-.4em}

Pour tout entier $n$, on pose $v_n=\dfrac{3}{u_n}$. 

\vspace{-.4em}

\bgen
\item Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique. 
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. 
\enen
\enex


\vspace{-1em}
\bgex
\bgen
\item Soit $a$ un réel strictement positif. 

  Démontrer par récurrence que pour tout entier $n$, 
  \quad
  $(1+a)^n\geqslant 1+na$. 
\item Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0>0$ et
  de raison $q>1$. 

  Montrer que\quad  $\dsp\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ . 
\enen
\enex


\vspace{-1em}
\bgex
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, 
pour tout entier $n$, 
$u_{n+1}=\dfrac14 u_n+6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\N$ par 
$v_n=u_n-8$. 

\bgen
\item Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. 
\item En déduire l'expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de
  $n$. 
\item Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$. 
\enen
\enex

\vspace{-1em}
\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier
$n$,\ \ $\dsp u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}$. 

\vspace{-0.8cm}
\paragraph{$1^{\scriptsize{\mbox{ère}}}$ méthode} 
a) vérifier que pour tout $n\in\N$, 
  $\dsp u_{n+1}=5-\frac{16}{u_n+3}$. 
\bgit
\item[b)] Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n\in[1;2]$.
\item[c)] Etablir la relation 
  $\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-1)^2}{u_n+3}$, et en déduire le sens
  de variation de $u$. 
\item[d)] Démontrer que $u$ converge et déterminer sa limite $l$. 
\enit

\vspace{-0.3cm}
\paragraph{$2^{\scriptsize{\mbox{ème}}}$ méthode} 
On considère la suite $v$ définie pour tout $n\in\N$ par \ \ 
$\dsp v_n=\frac{1}{u_n-1}$. 
\bgit
\item[a)] Prouver que $v$ est une suite arithmétique de raison
  $\dsp\frac{1}{4}$. 
\item[b)] Exprimer pour tout $n$, $v_n$ puis $u_n$ en fontion de $n$. 
\item[c)] En déduire la convergence de $u$ et sa limite.
\enit
\enex



\label{LastPage}
\end{document}
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