Source Latex: Cours de mathématiques, Fonctions trigonométriques

Terminale S
Fonctions trigonométriques

Cours de mathématiques: fonctions trigonométriques
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques: fonctions trigonométriques
Niveau
Terminale S
Table des matières
Mesure d'un angle en radians
Trigonométrie
- Cercle trigonométrique: cosinus et sinus d'un angle
- Angles et valeurs remarquables
- Équations trigonométriques
Fonctions trigonométriques
Mots clé
Cours de mathématiques, fonctions trigonométriques, cosinus, sinus, sinusoide
Quelques devoirs

Devoir corrigé
Suite et fonctions et limites
Calcul de limites, suites et fonctions, récurrence, étude de fonction, théorème de la bijection (TVI), limites et asymptotes verticales et horizontales
Devoir corrigé
Bac blanc 2019-2020
Bac blanc...
Devoir corrigé
Devoir commun, terminale S
Exponentielle - Fonction avec racine carrée, résolution approchée d'une équation (TVI) - Nombres complexes - Suite récurrente
Devoir corrigé
Suites et fonctions, récurrence, limite et asymptotes
Suite récurrente et suite auxiliaire géométrique. Démonstration par récurrence. Fonctions, étude via une fonction auxiliaire. Résolution approchée d'une équation (TVI). Limite et asymptotes, verticales et oblique.
Devoir corrigé
Suites et fonctions: limites, comportement asymptotique, variation
Suites et fonctions: suite récurrente, limites, comportement asymptotique (dont asymptote oblique), variations
Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
Source Latex $LaTex icone$
Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
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\usepackage[french]{babel}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours math�matiques: produit scalaire},
    pdftitle={Produit scalaire},
    pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S, 
      trigonom�trie, cosinus, sinus, fonction trigonom�trique}
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
  \settowidth{\lprops}{Propri�t�s \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trigonom�trie et fonctions trigonom�triques}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\,- TS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}

\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}


\vspace*{0.2cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}


\section{Mesure d'un angle en radians}

\bgmp{6cm}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
  \psline[linewidth=0.3pt](-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=0.3pt](0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle(0,0){1}
  \psline(0,0)(-0.5,0.85)
  \psarc{->}(0,0){0.4}{0}{120}
  \rput(0.3,0.4){$\alpha$}
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.1,-0.1){$A$}
  \rput(-0.5,0.98){$M$}
  % Orientation:
  \psarc[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{->}(0,0){1.2}{30}{70}
  \rput(1.,1.){\blue\bf\Large$+$}
  \psarc[linecolor=green,linewidth=1.4pt]{<-}(0,0){1.2}{-70}{-30}
  \rput(1.,-1.){\green\bf\Large$-$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
$\bullet$ Un cercle trigonom�trique est un cercle de rayon $1$
orient�. 

\vspt
$\bullet$ Sur un cercle trigonom�trique, la longueur de l'arc 
$\stackrel{\frown}{AM}$ 
est la mesure en radian de l'angle $\alpha$: 
\[
\widehat{AOM}=\stackrel{\frown}{AM}=\alpha\ \text{radians}
\]
\enmp

\vspt
\ct{
\rput(0,0){
  \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(0,0){0.8}{95}{265}
  \rput(-1.5,0){\large$\tm \dfrac{\pi}{180}$}
}
\begin{tabular}{|c|*{10}{p{0.9cm}|}}\hline
  \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$\alpha$ (deg) & 0 & 45 & 60 & 90 & 135 & 180 & 270 & 360 & -60 &
  -120 \\\hline
  \rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$\alpha$ (rad) & &&&&&&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\rput(0,0){
  \psarc[linewidth=1.4pt]{->}(0,0){0.8}{275}{85}
  \rput(1.5,0){\large$\tm \dfrac{180}{\pi}$}
}
}

\vspd
Sur un cercle re rayon $R$, si $\widehat{AOM}=\alpha$ rad, 
alors 
$\stackrel{\frown}{AM}=R\alpha$. 

\vspt
Si $\stackrel{\frown}{AM}=\alpha$, 
alors 
$\stackrel{\frown}{AM}=\alpha+2\pi
\equiv \alpha+4\pi \equiv \dots 
\equiv \alpha-2\pi\equiv \alpha -4\pi \equiv \dots$. 

On note 
$\stackrel{\frown}{AM}\equiv \alpha\ [2\pi]$, 
ou 
$\stackrel{\frown}{AM}=\alpha+k2\pi, k\in\Z$.


\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] On appelle \ul{\bf mesures} de l'angle orient� 
    $\widehat{AOM}=\lp \V{OA},\V{OM}\rp$ tous les r�els de la forme 
    $\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$. 

    \vspd
  \item[$\bullet$] On appelle \ul{\bf mesure principale} de l'angle 
    $\lp \vec{u},\vec{v}\rp=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$, 
    \ul{\ul{la}} mesure de l'angle dans l'intervalle 
    $]-\pi;\pi]$. 
  \enit
}

\bgex
Donner la mesure principale de: 
\vsp

$\bullet$ $-\dfrac{5\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{11\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{11\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{13\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{27\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{2005\pi}{4}$ 
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{37\pi}{6}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{178\pi}{8}$ 

\enex


\section{Trigonom�trie}

\subsection{Cosinus et sinus d'un angle}

\vspace{-1cm}

\noindent
\bgmp{13cm}
\bgdef{
  Soit $x\in\R$ et $M$ le point du cercle trigonom�trique tel que 
  $x$ soit une mesure de l'angle orient� $\lp\vec{i},\V{OM}\rp$. 

  Le cosinus, not� $\cos x$, de $x$ est l'abscisse de $M$; 
  son  sinus, not� $\sin x$, est son ordonn�e. 
}
\enmp\hfill
\bgmp{4.4cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
  \pscircle(0,0){1}
  \psline{->}(-1.1,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-1.1)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.05,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1.05){$1$}
  \psline(0,0)(0.65,1.1258)
  \rput(0.5,0.866){$\bullet$}\rput(0.45,1.05){$M$}
  \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
  \psarc{->}(0,0){1.3}{3}{57}\rput(1.25,0.8){$x$}
  \rput(0.5,-0.1){$\cos x$}
  \rput(-0.22,0.866){$\sin x$}
\end{pspicture}
\enmp


{\bf\ul{Valeurs remarquables}} 
\quad
\begin{tabular}[t]{|*7{p{1cm}|}}\hline
  \rule[-0.4cm]{0cm}{1cm}
  $x$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ 
  & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$ 
  \\\hline
  \rule[-0.4cm]{0cm}{1.2cm}
  $\sin x$ & $0$ & $\dfrac{\bf\red1}{2}$ 
  & $\dfrac{\sqrt{\bf\red2}}{2}$ 
  & $\dfrac{\sqrt{\bf\red3}}{2}$ 
  & 1 & 0
  \\\hline
  \rule[-0.4cm]{0cm}{1.2cm}
  $\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{\bf\red3}}{2}$ 
  & $\dfrac{\sqrt{\bf\red2}}{2}$ 
  & $\dfrac{\bf\red1}{2}$ 
  & 0 & -1
  \\\hline
\end{tabular}


\noindent
\bgmp{5cm}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
  \psline[linewidth=0.3pt](-1.2,0)(1.2,0)
  \psline[linewidth=0.3pt](0,-1.2)(0,1.2)
  \pscircle(0,0){1}
  \psline(0,0)(0.5,0.866)
  \psarc{->}(0,0){0.3}{0}{60}
  \rput(0.35,0.15){$\alpha$}
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  %\rput(1.1,-0.1){$A$}
  \rput(0.55,0.98){$M$}
  %
  \psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
  \rput(0.5,-0.1){$\cos \alpha$}
  \rput(-.25,0.85){$\sin \alpha$}
\end{pspicture}
\enmp\hfill
\bgmp{13cm}
\bgprop{Pour tout r�el $\alpha$: \vspd

  \bgit
  \setlength{\itemsep}{0.3cm}
  \item[$\bullet$] $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$

  \item[$\bullet$] $-1\leqslant \sin\alpha\leqslant 1$ 
    \ ;\ 
    $-1\leqslant \cos\alpha\leqslant 1$ 

  \item[$\bullet$] $\cos\lp-\alpha\rp=\cos\alpha$; 
    $\sin\lp-\alpha\rp=-\sin\alpha$

  \item[$\bullet$] $\cos\lp\pi-\alpha\rp=-\cos\alpha$
    \ ; \ 
    $\sin\lp\pi-\alpha\rp=\sin\alpha$; 

  \item[$\bullet$] $\cos\lp\pi+\alpha\rp=-\cos\alpha$
    \ ; \ 
    $\sin\lp\pi+\alpha\rp=-\sin\alpha$; 
    
  \item[$\bullet$] $\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-\alpha\rp=\sin\alpha$
    \ ; \ 
    $\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-\alpha\rp=\cos\alpha$; 

  \item[$\bullet$] $\cos\lp\dfrac{\pi}{2}+\alpha\rp=-\sin\alpha$
    \ ; \ 
    $\sin\lp\dfrac{\pi}{2}+\alpha\rp=\cos\alpha$; 


  \enit
}
\enmp

\bgex
Donner les valeurs exactes de: 
\vspd

$\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad 
$\sin\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad 
$\cos\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad 
$\sin\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad 
$\cos\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad 
$\sin\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad 
$\cos\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad 
$\sin\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad 

\enex

\bgex
\bgen
\item Soit $x\in\lb0;\pi\rb$ tel que 
  $\cos x = -\dfrac{1}{4}$.  
  D�terminer $\sin x$. 

\item Soit $x\in\lb\dfrac{\pi}{2};\pi\rb$ tel que 
  $\sin x = \dfrac{3}{5}$.  
  D�terminer $\cos x$. 
\enen
\enex

\bgex
On pose $m=\sin\dfrac{\pi}{10}$. 
Exprimer en fonction de $m$: \quad 
$\sin\dfrac{9\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{11\pi}{10}$\ ;\quad
$\cos\dfrac{4\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{6\pi}{10}$
\enex

\bgex
Calculer les expressions suivantes, sans utiliser la calculatrice: 
\[\bgar{llllllll}
A
&=\sin\dfrac{2\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{4\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{6\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{8\pi}{5}\ .
\\[0.3cm]
B
&=\sin\dfrac{3\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{5\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{11\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{13\pi}{8}\ .
\\[0.3cm]
C
&=\cos\dfrac{\pi}{10}
&+&\cos\dfrac{2\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{3\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{9\pi}{10}\ .
\enar\]
\enex

\subsection{Equations trigonom�triques} 

\bgprop{
  \begin{tabular}[t]{p{6.5cm}|p{6.5cm}}
    L'�galit� \ $\cos\alpha=\cos\beta$ 
    �quivaut � 
    $\alpha=\beta+k2\pi$ 
    ou 
    $\alpha=-\beta+k2\pi$. 
    &
    L'�galit� \ $\sin\alpha=\sin\beta$ 
    �quivaut � 
    $\alpha=\beta+k2\pi$ 
    ou 
    $\alpha=\pi-\beta+k2\pi$. 
  \end{tabular}
}


\vspq\noindent
\ul{Exemple:} 
$\cos x=\cos\dfrac\pi3 
\iff
x=\dfrac\pi3+k2\pi 
\text{ ou }
x=-\dfrac\pi3+k2\pi
$

\bgex
\bgen
\item R�soudre dans $\R$ l'�quation $\cos x=\cos\dfrac\pi6$. 
\item R�soudre dans $[0;2\pi[$ l'�quation 
  $\sin x=\sin\dfrac\pi6$ 
  et repr�senter ses solutions sur un cerlce trigonom�trique. 
\item Donner la mesure principale des solutions de l'�quation 
  $\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$. 
\enen
\enex

\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad 
$\cos\lp x+\dfrac{\pi}{6}\rp=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Donner la mesure principale des angles $x$ solutions. 
\enex

\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$2\sin\lp2x+\dfrac{\pi}{2}\rp=1$. 

Donner la mesure principale des angles $x$ solutions. 
\enex

\bgex
D�terminer les racines de 
$P(X)=2X^2-X-1$. 

En d�duire les solutions de l'�quation: \quad
$2\cos^2x-\cos x-1=0$.
\enex

\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad 
$2\cos^2x-3\cos x=2$. 
\enex

\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$4\sin^2\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp
+4\sin\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp=3$.
\enex

\section{Fonctions trigonom�triques}

\bgdef{
  La fonction cosinus est d�finie la fonction d�finie sur $\R$ par 
  $x\mapsto \cos(x)$. 

  La fonction sinus est d�finie la fonction d�finie sur $\R$ par 
  $x\mapsto \sin(x)$. 
}

\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, 
    $\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$. 

    Les fonctions $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ sont 
    {\bf p�riodiques} de p�riode $2\pi$. 

    Les courbes repr�sentatives des fonctions sinus (sinuso�de) et
    cosinus (cosinuso�de) sont inchang�es par translation de vecteur 
    $2\pi\vec{i}$. 

  \item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\cos(-x)=\cos x$. 

    La fonction cosinus est {\bf paire}, sa courbe repr�sentative
    admet l'axe des ordonn�es comme axe de sym�trie. 


  \item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\sin(-x)=-\sin x$. 

    La fonction sinus est {\bf impaire}, sa courbe repr�sentative
    admet l'origine du rep�re comme centre de sym�trie. 
  \enit
}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
  \psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
  \rput(0.2,-0.2){$O$}
  \psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul sin}
  \psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
  \psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
  \psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
  \psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
  \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
  \psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
  \rput(2.7,1.1){$y=\sin x$}
\end{pspicture}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
  \psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
  \rput(0.2,-0.2){$O$}
  \psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul cos}
  \psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
  \psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
  \psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
  \psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
  \psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
  \psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
  \psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
  \rput(1.5,1){$y=\cos x$}
\end{pspicture}


\bgprop{
  Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont d�rivables sur $\R$ avec 
  $\cos'=-\sin$ et $\sin'=\cos$. 
}

\bgex
Calculer la d�riv�e de: 
$\bullet\ f(x)=3\cos(x)$
\quad
$\bullet\ g(x)=\cos^3(x)$

\vspd
$\bullet\ h(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)$
\quad
$\bullet\ k(x)=\cos(2x+1)$
\quad
$\bullet\ l(x)=\sin\lp \dfrac{x^2-3}{x+1}\rp$
\enex


\bgprop{
  \qquad$\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 
  \quad\text{ et } \quad
  \lim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}=0
  $
}

\bgproof{
  Le taux d'accroissement de la fonction $\sin$ en $0$ est: 
  \[\tau(h)=\dfrac{\sin(0+h)-\sin(0)}{h}=\dfrac{\sin(h)}{h}\]

  La fonction $\sin$ est d�rivable sur $\R$ donc aussi en $0$, et en a
  donc, 
  \[
  \lim_{h\to0}\tau(h)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(h)}{h}=\sin'(0)=\cos(0)=1
  \]

  De m�me, 
  \[
  \lim_{x\to0}\dfrac{\cos(h)-\cos(0)}{h}
  =\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}=\cos'(0)=-\sin(0)=0
  \]
}

\bgex
\'Etudier les fonctions d�finies par les expressions: 

$f(x)=\cos x+x\sin x$ \quad , \quad
$g(x)=-\ln\lp\cos x\rp$ \quad ,  \quad et \quad  
$h(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$. 
\enex

\end{document}
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