Exercice Bac STI2D & STL - juin 2016
Suite géométrique et algorithme
Exercice corrigé du bac STI2D / STL - Métropole juin 2016 - suite, algorithmique et suite géométrique
Un centre de vacances possède une piscine de
![$600\,\text{m}^3$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/1.png)
Le taux de chlore disponible dans l'eau est alors de 1,25 mg/L (milligrammes par litre).
Document
![$${|*{3}{c|}}
\multicolumn{3}{c}{\textbf{R\'eglementation des piscines publiques}}
\\\hline
Param\`etres contr\^ol\'es
& Seuils de qualit\'e r\'eglementaire
&Incidences sur la qualit\'e de l'eau \\
\hline
& Au minimum 2 mg/L & $< 2$ mg/L : sous-chloration\\
&&Risque de prolif\'eration\\
&&bact\'erienne dans l'eau \\ \hline
Pr\'esence de Chlore &Au maximum 4 mg/L& $> 4$ mg/L:
surchloration \\
&&Irritation de la peau\\ \hline
\multicolumn{3}{r}{\textbf{Source : Agence R\'egionale de Sant\'e}}
$$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/2.png)
À partir du
![$1^\text{er}$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/3.png)
Pour le bien-être et la sécurité des usagers, le responsable souhaite savoir si cet apport journalier en chlore permettra de maintenir une eau qui respecte la réglementation donnée par l' Agence Régionale de Santé pour les piscines publiques.
Partie A
- Pour tout entier naturel
on note
la quantité de chlore disponible, exprimée en grammes, présente dans l'eau du bassin le
-ième jour suivant le jour de l'analyse, immédiatement après l'ajout de chlore. Ainsi
est la quantité de chlore le 31 mai à 9 h et
est la quantité de chlore le 1
juin à 9h après l'ajout de chlore.
- Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans
l'eau du bassin le 31 mai à 9h est
.
Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, le responsable pouvait-il donner l'accès à la piscine le 31 mai ? - Montrer que
.
- Justifier que pour tout entier naturel
,
.
- La suite
est-elle géométrique ?
- Montrer que la quantité de chlore, en grammes, présente dans
l'eau du bassin le 31 mai à 9h est
- Soit l'algorithme ci-dessous :
- Quel est le rôle de cet algorithme ?
- Recopier et compléter le tableau suivant, par des
valeurs exactes, en exécutant cet algorithme
« pas à pas » pour
.
Au regard des recommandations de l'agence régionale de santé, au bout de combien de jours la piscine peut-elle être ouverte ? - Calculer une valeur approchée à
près de la quantité de chlore le 15
jour juste après l'ajout de chlore.
Partie B
Au fil du temps, la quantité de chlore évolue. On note
![$d_n$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/20.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/21.png)
![$d_n = u_{n+1}- u_n$](/Generateur-Devoirs/TSTI/Suites/ex2016-Metropole/22.png)
-
- Calculer
et
. On donnera une valeur exacte.
- Justifier que
et
semblent être les termes d'une suite géométrique.
- Calculer
- Vérifier que
.
- On admet que pour tout entier naturel
, on a
.
- Justifier que
.
- En déduire que pour tout entier naturel
, on a
.
- Déterminer la limite de la suite
. Interpréter le résultat trouvé.
- Justifier que
Autres ressources, exercices, cours, …