Source Latex: TP de mathématiques, Probabilités, tableur et algorithme

Seconde

Probabilités, tableur et algorithme

Mathématiques en 2nde: Simulation informatique de l'aléatoire. Porgrammation à l'aide d'un tableur puis d'un algorithme
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Type: TP
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Description
Mathématiques en 2nde: Simulation informatique de l'aléatoire. Porgrammation à l'aide d'un tableur puis d'un algorithme
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Simulation numérique du lancer d'un dé
  • Simulation avec un tableur
  • Simulation avec un algorithme
  • Simulation numérique du lancer de deux dés
Mots clé
simulation, tableur, aléatoire, probabilité, mathématiques

Quelques devoirs


Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Simulation et calcul de probabilit�s},
    pdftitle={Simulation et calcul de probabilit�s},
    pdfkeywords={Math�matiques, seconde, 2nde, probabilit�,
      probabilit�s, tableur, lancer de d�, algorithmique, algorithme,
      python} 
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    linkcolor = red,
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    filecolor = red,
    pagecolor = red,
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}
\voffset=-0.4cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\ProgIndent}{\hspace*{0.5cm}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\deftitle}{D�finition}
\newlength{\ldef}\settowidth{\ldef}{\deftitle:}
\nwc{\bgdef}[1]{\paragraph{\ul{\deftitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}

\nwc{\proptitle}{Prop.}
\newlength{\lprop}\settowidth{\lprop}{\proptitle:}
\nwc{\bgprop}[1]{\paragraph{\ul{\proptitle:}} 
  \begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldef-2em}{\it #1}
  \end{minipage}
}


\headheight=0cm
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\nwc{\TITLE}{Simulation informatique de l'al�atoire}

\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/2nde/}}
\rfoot{\TITLE\, - $2^{\text{nde}}$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\\$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\graphicspath{{Simulation-Aleatoire-2nde-FIG/}}


\hfill{\bf \Large{\TITLE}}
\hfill$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$


\bgdef{R�aliser une {\bf simulation} d'un probl�me, c'est remplacer ce
  probl�me par un probl�me �quivalent. 
}

\vspd\noindent
Par exemple, on peut simuler l'exp�rience al�atoire consistant �
lancer une pi�ce par le tirage al�atoire d'un nombre, en convenant
qu'obtenir un "0" �quivaut � "Pile" et obtenir un "1" �quivaut �
"Face". 

Dans le cas o� cette simulation se fait sur un ordinateur, on parle
alors de {\bf simulation num�rique}, 
ou {\bf simulation informatique}. 



\vspq\noindent
\ul{\bf\large{Simulation num�rique du lancer d'un d�}}
\vspt

On lance un d� cubique plusieurs successivement fois et on note le
nombre d'obtention du chiffre~5. 

\bgen
\item On lance ce d� 12 fois. 
  Combien de fois peut on s'attendre � obtenir ce chiffre ? 
  Quelle est la fr�quence (ou proportion) correspondante ?
\item M�mes questions si on lance ce d� 100 fois 
  puis 1000 fois.
\enen

\vspd
Tout syst�me programmable permet de tirer un nombre al�atoire compris
entre $0$ et $1$ (fonction \texttt{rand} ou \texttt{random} sur une
calculatrice).  

On peut utiliser cette fonction pour simuler l'exp�rience consistant � lancer un
d� et � noter le chiffre obtenu sur la face sup�rieure.
On peut alors de plus tirer parti des grandes, et rapides, capacit�s
de calcul d'un ordinateur pour effectuer cette exp�rience un grand
nombre de fois. 

\vspace{-0.3cm}
\paragraph{A l'aide d'un tableur}\ \\

%\psline(\linewidth,2)(\linewidth,-26)
\vspace{-0.5cm}
\bgen
\item \vspace{-3cm}
  \bgmp[t]{11.2cm}
  Indiquer le titre de la $1^{\text{�re}}$ colonne dans la cellule
  \texttt{A1}, et le chiffre 1 dans la cellule \texttt{A2}, 
  puis la formule \texttt{=A2+1} dans la cellule \texttt{A3}. 

  En tirant la cellule \texttt{A3} vers le bas 
  (petit rectangle en bas � droite de la cellule), la formule est
  recopi�e facilement dans toutes les cellules souhait�es de la colonne. 

  Recopier ainsi la formule jusqu'� la cellule \texttt{A11}. 
  \enmp\hspace{0.4cm}\vspace{-3cm}
  \bgmp{8cm}\vspace{3cm}
  \includegraphics[scale=0.8]{Lancer_De_NumeroLancer}
  \enmp

\item 
  \bgmp[t]{8.7cm}
  La $2^{\text{�me}}$ colonne va contenir les r�sultats de chaque lancer et va
  donc utiliser la fonction \texttt{ALEA()} du tableur g�n�rant un
  nombre (r�el) al�atoirement entre 0 et~1. 
 
  \vspd
  Dans la cellule \texttt{B2}, entrer la formule 
  \texttt{=ENT(6*ALEA()+1)}, puis la tirer vers le bas de la colonne
  jusqu'� la cellule \texttt{B11}.
  \enmp\hspace{0.4cm}\vspace{-3cm}
  \bgmp{8cm}  \vspace{3cm}
  \includegraphics[scale=0.9]{Lancer_De_Tirage}
  \enmp

  \vspace{3.2cm}

  La touche \texttt{F9} oblige l'ordinateur � recalculer toutes les
  valeurs, et en particulier, toutes les valeurs al�atoires utilis�es
  sont aussi chang�es al�atoirement. 
  On peut ainsi observer facilement et rapidement un grand nombre de
  r�sultats. 

\item
  On utilise la $3^{\text{�me}}$ colonne pour indiquer si le r�sultat du
  lancer est un 5 (valeur 1) ou non 
  (valeur~0), 

\vspace*{-3.5cm}
  \bgmp[t]{8.5cm}
  en entrant dans la cellule \texttt{C2} la formule 
  \texttt{=SI(B2=5;1;0)}

  Cette formule signifie que  
  le nombre de la cellule \texttt{C2} vaut: 
  \bgit
  \item 1 si le nombre de la cellule \texttt{B2} est �gal �~5
  \item 0 sinon. 
  \enit

  Tirer ensuite cette formule jusqu'� la cellule \texttt{C11}.
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{8cm}  \vspace{3.4cm}
  \includegraphics[scale=0.9]{Lancer_De_Obtention5}
  \enmp

\item 
  Il s'agit maintenant de compter le nombre de 5 obtenus. 
  Pour cela, avec la d�marche pr�c�dente, il suffit de compter le
  nombre de 1 de la 

  \vspace{-3cm}
  \bgmp[t]{6.8cm}
  colonne \texttt{C}, c'est-�-dire d'ajouter les  
  chiffres de cette colonne. 

  On entre pour cela dans la cellule 
  \texttt{D2} la formule 
  \texttt{=SOMME(C\$2:C2)}, puis on tire cette formule jusqu'� la
  cellule \texttt{D11}.
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{8cm}  \vspace{2.5cm}
  \includegraphics[scale=0.9]{Lancer_De_Nombrede5Obtenus}
  \enmp
 

\item
  Enfin, on peut calculer la fr�quence (ou proportion) du nombre de 5
  obtenus, qui est le nombre

  \vspace{-3cm}
  \bgmp[t]{5.7cm}
   de 5 obtenus
 divis� par le nombre total
  de lancers. 

  On entre pour cela dans la cellule \texttt{E2} la formule 
  \texttt{=D2/A2}, que l'on tire ensuite vers le bas de la colonne. 
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{8cm}\vspace{3cm}
  \includegraphics[scale=0.8]{Lancer_De_Frequence}
  \enmp

  \vsp
  (Modifier �ventuellement l'affichage des nombres, en s�lectionnant
  la colonne, puis "format", "format des cellules" et enfin l'onglet
  "nombres")

\item A l'aide de cette simulation (en "tirant" les formules entr�es
  dans chaque colonne vers le bas), 
  quelle proportion de chiffre 5 obtient-on pour 100 lancers du d� ? 
  pour 1000 lancers ? pour 5000 lancers ? 

  Vers quelle proportion se rapproche cette proportion lorsqu'on
  augmente le nombre de lancers ? 
  
\enen


\paragraph{A l'aide d'un algorithme}\ \\

\vspace{-0.3cm}
\noindent
\bgmp{10cm}
On utilise trois variables principales: 
\bgit
\item \texttt{N}: le nombre total de lancers que l'on va
  simuler (100 dans l'algorithme ci-contre); 

\item \texttt{C}: une variable dont la valeur est initialement
  nulle et � laquelle, � chaque lancer, on ajoutera 1 si un 5 est
  obtenu. \texttt{C} est un donc un {\sl compteur} du nombre de 5
  obtenus. 

\item \texttt{D}: une variable dont la valeur sera un chiffre
  al�atoire entre 1 et 6. 
\enit
\enmp\hfill
\bgmp{8.cm}
\fbox{
\bgmp{8cm}
\texttt{100$\to$N}\\
\texttt{0$\to$C}\\
\texttt{Pour I de 1 � N}\\
\ProgIndent\texttt{"Nombre al�atoire entre 1 et 6"$\to$D}\\
\ProgIndent\texttt{Si D=5}\\
\ProgIndent\ProgIndent\texttt{C+1$\to$C}\\
\ProgIndent\texttt{Fin Si}\\
\texttt{Fin Pour}\\
\texttt{Afficher "Nombre de 5 obtenus= ", C}
\enmp
}
\enmp

\vspd\noindent
Modifier cet algorithme pour qu'il affiche la fr�quence 
(ou proportion) globale du nombre de 5 obtenus.


\vsp\noindent
Programmer cet algorithme sur calculatrice. 


\vspt\noindent
\ul{\bf\large{Simulation num�rique du lancer de deux d�s}}
\vspt

On consid�re cette fois l'exp�rience suivante: 
on lance simultan�ment deux d�s cubiques non pip�s, et on note la
somme des chiffres obtenus sur chaque d�. 
On cherche � estimer les chances d'obtenir un nombre sup�rieur
ou �gal � 10. 

\bgen
\item {\bf A l'aide d'une simulation.} Simuler cette exp�rience � l'aide d'un
  tableur ou d'un algorithme (ou les deux). 
  Quelle proportion de nombres sup�rieurs ou �gaux � 10 observe-t-on
  sur un grand nombre de lancers  
  (100, 1000, 10\,000, \ldots) ?

\item {\bf Par le calcul.} 
  Combien de r�sultats diff�rents peut-on obtenir lorsqu'on lance
  deux d�s ? Combien de lancers diff�rents donnent un r�sultat
  sup�rieur ou �gal � 10 ?

  En d�duire la probabilit� d'obtenir un nombre sup�rieur ou �gal �
  10 et comparer ce r�sultat avec les estimations obtenues lors des
  simulations pr�c�dentes. 
\enen

\end{document}

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