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Seconde

Fiche de cours de mathématiques en 2nde: Statistiques descriptives
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Type: Cours
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Description
Fiche de cours de mathématiques en 2nde: Statistiques descriptives
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Description d'une série par les quantiles
  • Description par la moyenne et son écart type
Mots clé
statistiques, quantiles, quartiles, médiane, diagrammme en boite, boite à moustaches, moyenn écart type, mathématiques

Quelques devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
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\usepackage{pst-func}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{colortbl}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Statistiques},
    pdftitle={Statistiques descriptives},
    pdfkeywords={statistiques, descriptives, moyenne, m�diane, �cart
      type, quantile, quartile, d�cile, bo�te � moustache} 
}
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    linkcolor = red,
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    citecolor = blue,
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}
\voffset=-2.2cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=27.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\parindent=0.2cm

\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspq\noindent
  \ul{D�monstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{Objectif\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
  \begin{flushright}%
  \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
  \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
  \bgmp{17.1cm}
  \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
    \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
  \enmp
  \end{flushright}
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Statistiques descriptives}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE}
\title{\TITLE}

\pagestyle{fancy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}



\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill\vspace{-0.4cm}


\section{Description d'une s�rie par les quantiles }
\vspace{-0.7cm}

\bgdef{\ul{Caract�ristiques de position, ou de tendance centrale}}\vspd

On consid�re une s�rie statistique d'effectif total $N$.

{\it\bgit
  \item[$\bullet$] La {\bf m�diane} $M_e$ est une valeur qui partage la
    s�rie ordonn�e en deux s�ries de m�me effectif. 

    \vsp
    Si $N$ est impair, $N=2n+1$, alors la m�diane est la 
    $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur de la s�rie ordonn�e. 

    Si $N$ est pair, $N=2n$, alors la m�diane est la moyenne de la 
    $n^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ et de la 
    $(n+1)^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$ valeur.
    \vsp
  \item[$\bullet$] Le {\bf premier quartile} $Q_1$ est la plus petite
    valeur de la s�rie telle qu'au moins un quart des donn�es de la
    s�rie sont inf�rieures ou �gales � $Q_1$. 

    Le {\bf trosi�me quartile} $Q_3$ est la plus petite valeur de 
    la s�rie telle qu'au moins les trois quarts des donn�es de la
    s�rie sont inf�rieures ou �gales � $Q_3$. 
    %\vsp
    %On appelle {\bf interquartile} le nombre $Q_3-Q_1$. 
    %C'est une caract�ristique de dispersion de la s�rie. 
    %\vspd
    %\item[$\bullet$] Les {\bf d�ciles} $D_1$, $D_2$, $D_3$, \dots $D_9$
    %  sont des valeurs de la s�rie telles que $10\,\%$, $20\,\%$, 
    %  $30\,\%$, \dots, $90\,\%$ des termes de la s�rie lui sont
    %  inf�rieurs. 
  \enit
}

\bgdef{\ul{Caract�ristiques de dispersion}} \vspd

\bgit
\item[$\bullet$] {\bf L'�tendue} d'une s�rie est la diff�rence entre
  sa plus grande et sa plus petite valeur. 
\item[$\bullet$] L'{\bf �cart inter-quartile} est la diff�rence entre
  le troisi�me et le premier quartile: $Q_3-Q_1$. 
\enit


\paragraph{\ul{Diagrammes en bo�te} (boites � moustaches)}
On peut alors repr�senter les donn�es de la s�rie statistique par un
diagramme en bo�te, aussi connu sous le nom de "bo�te � moustaches": 

\psset{arrowsize=5pt,unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,0)(10,6)
  \psline{->}(-2,0)(12,0)
  \rput(14,0.2){Echelle des valeurs}
  \rput(14,-0.2){de la s�rie}
  \multido{\i=-1+1}{13}{\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)}
  \psline[linewidth=1.4pt](0.5,2)(3.9,2)
  % quartiles
  \psline[linewidth=1.4pt](3.9,1)(7.3,1)(7.3,3)(3.9,3)(3.9,1)
  \psline{->}(3.5,4.5)(3.9,3.2)
  \rput(3.5,5.1){$1^{\text{er}}$ quartile}
  \rput(3.6,4.7){$Q_1$}
  \psline{->}(7.5,4.5)(7.3,3.2)
  \rput(7.8,5.1){$3^{\text{�me}}$ quartile}
  \rput(7.9,4.7){$Q_3$}
  %
  \psline[linewidth=1.4pt](7.3,2)(10.2,2)
  % mediane
  \psline[linewidth=1.4pt](5.9,0.6)(5.9,3.4)
  \psline{->}(5.9,4.2)(5.9,3.5)
  \rput(5.7,4.8){m�diane}
  \rput(6,4.4){$M_e$}
  % deciles
  %\psline(2,1.7)(2,2.3)
  %\psline{->}(2,3.5)(2,2.5)
  %\rput(2,3.7){$1^{\text{er}}$ d�cile}
  %\psline(8.8,1.7)(8.8,2.3)
  %\psline{->}(8.8,3.5)(8.8,2.5)
  %\rput(8.8,3.7){$9^{\text{�me}}$ d�cile}
  % min
  %\pscircle[linewidth=1.4pt](0.5,2){0.1}
  \psline[linewidth=1.4pt](0.5,1.8)(0.5,2.2)
  \psline{->}(0.,4)(0.5,2.4)
  \rput(0,4.2){minimum}
  % max
  %\pscircle[linewidth=1.4pt](10.2,2){0.1}
  \psline[linewidth=1.4pt](10.2,1.8)(10.2,2.2)
  \psline{->}(10.5,4)(10.2,2.4)
  \rput(10.5,4.2){maximum}
\end{pspicture}




\vspd
\bgex Le tableau suivant donne les notes des �l�ves d'une classe. 
\vspd

\begin{tabular}{|*{18}{c|}}\hline
  El�ves & A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q\\\hline
  Notes & 15&10&12&8&10&18&12&8&8&15&10&8&6&18&12&8&12\\\hline
\end{tabular}


\vspd
On ordonne la s�rie: \vspd

\begin{tabular}{|c|*6{p{1.2cm}|}}\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Notes $x_i$} &  &  &  &  &  &  \\\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Effectifs $n_i$} &  &  &  &  &  &  \\\hline
  \raisebox{0.2cm}[1cm]{Effectifs cumul�s croissants} & & & & & & \\\hline
\end{tabular}

\vspd
L'effectif total de la s�rie: $N=\ \dots\ $

\vspd
La m�diane de la s�rie: $M_e=\ \dots\ $

\vspd
Les $1^{\text{er}}$ et $3^{\text{�me}}$ quartiles sont: 
$Q_1=\ \dots\ $ \quad ,\quad $Q_3=\ \dots\ $

\vspd
L'�tendue de la s�rie est: \quad \dots 

\vspd
L'�cart inter-quartile est: \quad \dots 
\enex


\vspd
\bgex
On compare les temp�ratures moyennes (en $^{\circ}$ C) de chaque mois
de l'ann�e pour deux communes de Haute-Savoie situ�es � 1000 m
d'altitude: Chamonix et La Clusaz. 
\vspt

\begin{tabular}{|c|*{15}{p{0.8cm}|}}\hline
  Mois & 1 &2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12 \\\hline
  Chamonix &1,5&4&7,5&12&15,5&20&23&22&19&14&6,5&2\\\hline
  La Clusaz &2,5&3,5&6&9,5&14&17&20,5&20,0&17&13&7&3,5\\\hline
\end{tabular}

\vspt
D�terminer pour ces deux communes la m�diane et les quartiles des
temp�ratures. 

Tracer ensuite les diagrammes en bo�te de ces deux s�ries en utilisant
la m�me �chelle, de mani�re � pouvoir les comparer. 
\enex

\section{Description par la moyenne et son �cart type}

On consid�re une s�rie statistique g�n�rale: \vsp

  \begin{tabular}{|*6{c|}}\hline
    Valeur & $x_1$&$x_2$&$x_3$&\dots&$x_p$\\\hline
    Effectifs & $n_1$&$n_2$&$n_3$&\dots&$n_p$\\\hline
  \end{tabular}\hspace{0.5cm}
  d'effectif total : $N=n_1+n_2+\dots+n_p$.


  
  \bgdef{
    La moyenne de la s�rie est: 
    $\dsp \overline{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\dots+n_px_p}{N}
     % =\frac{\dsp\sum_{i=1}^p n_i x_i}{N}
    $
  }


\bgex D�terminer la moyenne des s�ries suivantes: 

\vspd
\begin{tabular}{p{6cm}l}
\ul{$S_1$:}\ \  1; 8 ; 10 ; 10 ; 12; 19  &$\overline{x}=\ \dots\ $. \vspd\\

\ul{$S_2$:}\ \ 9; 9,5; 10; 10,5; 11  &$\overline{x}=\ \dots\ $.\vspd\\

\ul{$S_3$:}\ \  10; 10; 10; 10; 10;  &$\overline{x}=\ \dots\ $.\vspd\\

\ul{$S_4$:}\ \ 10  & $\overline{x}=\ \dots\ $.

\end{tabular}

\vspd
La moyenne suffit-elle, � elle-seule, � d�crire une sr�ie de donn�es ? 

\enex

  \bgdef{
    $\bullet$ La variance de la s�rie est la moyenne des carr�s des
    �carts � la moyenne: 

    \[ V=\frac{n_1(x_1-\overline{x})^2+n_2(x_2-\overline{x})^2
      +\dots+n_p(x_p-\overline{x})^2}{N}
    %=\frac{\dsp\sum_{i=1}^p n_i(x_i-\overline{x})^2}{N}
    \]

    $\bullet$ L'�cart type d'une s�rie est la racine carr�e de la
    variance: $\sigma=\sqrt{V}$.  
  }

  %\bgprop{La variance est la moyenne des carr�s des valeurs de la
  %  s�rie moins le carr� de la moyenne de la s�rie: 
  %  \[ V\ =\ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^p n_ix_i^2-\overline{x}^2
  %      \ =\ \overline{x^2}-\overline{x}^2
  %  \]
  %}

\vspd\noindent
\ul{Exemple:} Soit la s�rie statistique: 
  \begin{tabular}{|*5{c|}}\hline
    Valeurs $x_i$   & $5$ & $9$ & $12$& $18$\\\hline
    Effectifs $n_i$ & $2$ & $4$ & $3$& $1$ \\\hline
  \end{tabular}\hspace{0.5cm}

  \vspd
  L'effectif total de cette s�rie est: $N=2+4+3+1=10$. 

  \vspd
  La moyenne de cette s�rie est: 
  $\overline{x}=\dfrac{2\tm5+4\tm9+3\tm12+1\tm18}{10}=10$
  
  \vspd
  Sa variance est alors: 
  $V=\dfrac{2\tm(5-10)^2+4\tm(9-10)^2+3\tm(12-10)^2+1\tm(18-10)^2}{10}
  =13
  $, et son �cart type: 
  $\sigma=\sqrt{13}\simeq 3,6$. 

\vspd
\bgex
Calculer l'�cart type de chacune des s�ries $S_1$, $S_2$, $S_3$ et
$S_4$ de l'exercice pr�c�dent. 
\enex


\bgex
Le tableau suivant donne les tailles de 30 �l�ves d'une classe. 

\vspd
\begin{tabular}{|c|*{15}{c|}}\hline
  taille(cm) & 145 & 146 & 151 & 152 & 155 & 160 & 165 & 170 & 172 &
  176 & 180 & 186 & 188 & 190 & 193 \\\hline
  effectif  & 1 & 1 & 1 & 2 & 3 & 3 & 5 & 2 & 6 & 3 & 3 & 2 & 1 & 1 &
  1 \\\hline
\end{tabular}

\vsp
Calculer la moyenne et l'�cart type de cette s�rie. 
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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