Chaîne de production de vêtements avec des défauts

Exercice corrigé - maths en seconde générale

Énoncé

Une chaîne de production d'une usine fabrique des vêtements. Une étude statistique a montré que:
  • 12% des vêtements ont un défaut de couleur,
  • parmi les vêtements ayant un défaut de couleur, 20% ont un défaut dans la forme,
  • parmi les vêtements n'ayant pas de défaut de couleur, 8% présentent un défaut dans la forme.
On prélève un vêtement au hasard à la sortie de la chaîne de production.
On note par la suite les événements $C$: "le vêtement présente un défaut de couleur" et $F$: "le vêtement présente un défaut dans la forme".
  1. Compléter l'arbre pondéré suivant décrivant la situation:
    \[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm} \begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.6) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$} \end{pspicture}\]


    1. Calculer la probabilité que le vêtement prélevé ait un défaut de couleur et un défaut dans la forme.
    2. Calculer la probabilité que le vêtement prélevé ait un défaut de forme.
  3. Le directeur de l'usine affirme que 92% des vêtements fabriqués ne présentent aucun défaut. Cette affirmation est-elle correcte ? Expliquer.
  4. Les employés de l'usine peuvent acheter des vêtements à tarif préférentiel. L'un d'entre eux achète 8 vêtements.
    Quelle est la probabilité pour qu'aucun des vêtements achetés ne présente de défaut ?



Correction

Correction


  1. \[\psset{xunit=1.cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(-2,-1.5)(5,1) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$C$}\rput(0.7,1.2){$12\%$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$F$}\rput(2.9,2.2){$20\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{F}$}\rput(2.9,0.7){$80\%$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{C}$}\rput(0.7,-1.2){$88\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$F$}\rput(2.9,-0.7){$8\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{F}$}\rput(2.9,-2.2){$92\%$} \end{pspicture}\]

    1. $P(C\cap F)=12\%\tm20\%=2,4\%$
    2. $P(F)=12\%\tm20\%+88\%\tm8\%=9,44\%$
  3. La probabilité qu'un vêtement ne présente aucun défaut est $P\lp\overline{C}\cap\overline{F}\rp=88\%\tm92\%=80,96\%$.
    Le directeur de l'usine se trompe donc.
  4. On note l'événement A: "le vêtement n'a pas de défaut" qui a la probabilité $p\simeq81\%$.
    On a alors l'arbre, en prenant successivement 8 vêtements:
    \[\psset{xunit=1.cm,yunit=.5cm} \begin{pspicture}(0,-3)(9,3.5) \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.75,1.5){$A$}\rput(0.7,1.2){$81\%$} \psline(2,1.5)(3.5,2.25)\rput(3.75,2.25){$A$}\rput(2.9,2.2){$81\%$} \psline(2,1.5)(3.5,0.75)\rput(3.75,0.75){$\overline{A}$}\rput(2.9,0.7){$19\%$} % \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.75,-1.5){$\overline{A}$}\rput(0.7,-1.2){$19\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)\rput(3.75,-0.75){$A$}\rput(2.9,-0.7){$81\%$} \psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)\rput(3.75,-2.25){$\overline{A}$}\rput(2.9,-2.2){$19\%$} % \rput(5,0){$\dots$}\rput(5,-2){$\dots$} % \psline(5.5,2)(4,2.25)(5.5,2.5)\rput(5.75,2.5){$A$}\rput(5,2.75){\small$81\%$}\rput(5.9,1.8){$\dots$} \psline(6,2.5)(6.8,2.75)\rput(7.2,2.75){$\dots$} \psline(7.6,2.75)(8.5,3)\rput(8.8,3.2){$A$}\rput(8,3.25){\small$81\%$} \end{pspicture}\]

    Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à l'événement "aucun des 8 vêtements n'a un défaut" dont la probabilité est donc de
    \[p\simeq(81\%)^8\simeq0,185=18,5\%\]



Tag:Probabilités

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