Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques

seconde

Devoir corrigé de mathématiques, 2nde: généralités sur les fonctions, ensemble de définition d'une fonction, courbe représentative, détermination du bénéfice maximal d'une entreprise. Résolution d'inéquations et tabelaux de signes
Fichier
Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, 2nde: généralités sur les fonctions, ensemble de définition d'une fonction, courbe représentative, détermination du bénéfice maximal d'une entreprise. Résolution d'inéquations et tabelaux de signes
Niveau
seconde
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, fonction, courbe représentative d'une fonction, résolution d'apos;inéquations, ensemble de définition, bénéfice maximal d'une entreprise

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    \documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=23cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}


$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$
\hspace{2cm}{\bf \Large{Devoir surveill� de math�matiques}}
\vspd\vspd


\bgex D�terminer l'ensemble de d�finition des fonctions

\vspd

a) $\dsp f:x\mapsto \frac{1}{x^2-16}$ \hspace{1cm} 
b) $\dsp g:x\mapsto \frac{\sqrt{3x-6}}{(x+3)(2x-5)}$ \hspace{1cm} 
c) $\dsp h:x\mapsto \sqrt{(x-3)(5-x)}$

\enex

\bgex
R�soudre les in�quations : 

\vspd\hspace{1cm}
$\dsp(I_1) :\ (x+3)(2x-5)\leq 0$ 
\hspace{2cm}
$\dsp(I_2) :\  \frac{2}{2x-3}\geq 1$
\enex


\bgex
On consid�re les fonctions 
$\dsp f:x\mapsto \frac{1}{2}x^2$ 
et $\dsp g:x\mapsto \frac{1}{x+1}$.

\vsp
Le but de l'exercice est de comparer les positions des courbes
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ repr�sentatives des fonctions $f$
et $g$. 

\vspd
\bgit
\item[1)] D�terminer l'ensemble de d�finition des fonctions $f$ et
  $g$. 

  \vspd
\item[2)] Montrer que, pour tout nombre $x$ r�el, 
  $x^3+x^2-2=(x-1)(x^2+2x+2)$. 

  \vspd
\item[3)] Montrer que pour tout nombre $x$ r�el, 
  $x^2+2x+2=(x+1)^2+1$. 

  En d�duire le signe de l'expression $x^2+2x+2$. 

  \vspd
\item[4)] A l'aide de ce qui pr�c�de, d�terminer la position relative
  des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. 
\enit

\enex


\bgex
Monsieur Dupr�, PDG d'une soci�t� fabriquant du mobilier urbain,
s'int�\-resse au b�n�fice r�alis� par sa soci�t�. 

Il fabrique et vend, par semaine, $x$ lots de mobilier. 

Le co�t unitaire de production, en euros, $f(x)$ (co�t de production
pour un lot de 
mobilier) s'exprime en fonction du nombre de lots $x$ par
l'expression: 
$f(x)=x+72$. 

A ce co�t unitaire s'ajoute des frais de fonctionnement de l'usine de
production s'�levant � 3\,952 euros par semaine, quelle que soit la
quantit� de lots produite. 

\vspd
\bgit
\item[1)] 
  Chaque lot �tant vendu 200 euros, montrer que le b�n�fice r�alis� pour
  $x$ lots produits et vendus est: 
  \[ B(x)=-x^2+128x-3952 = (x-52)(76-x)
  \]
  
  D�terminer alors le nombre de lots que doit produire et fabriquer la
  soci�t� pour �tre rentable (pour avoir un b�n�fice positif \dots). 
  
  \vspd
\item[2)] Montrer que $B(x)=-(x-64)^2+144$. 

  Etudier alors les variations de $B$ sur $[0;64]$ et sur
  $[64;+\infty[$. 
  Dresser le tableau de variations de $B$. 

  Quel est le b�n�fice maximal que peut esp�rer Monsieur Dupr� ? 
  Pour combien de lots fabriqu�s et vendus ?
\vspd
\enit

\enex


\end{document}

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