Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Statistiques, inéquations (graphique)

seconde

Statistiques, inéquations et fonctions

Devoir corrigé de mathématiques en 2nde: Statistiques, moyenne et écart type, résolution d'inéquations et fonctions
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en 2nde: Statistiques, moyenne et écart type, résolution d'inéquations et fonctions
Niveau
seconde
Table des matières
  • Calcul de la moyenne et de l'écart type d'une série statistique pondérée
  • Résolution d'inéquations
  • Ensemble de définition d'une fonction
  • Fonctions: décomposition, sens de variation, courbe représentative et résolution graphique d'inéquations
Mots clé
devoir corrigé de mathématiques, Statistiques, moyenne, écart type, inéquations, fonctions

Sujet du devoir

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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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%%\selectlanguage{francais}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques de seconde},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques de 2nde},
    pdfkeywords={devoir de mathématiques, inéquations, moyenne, écart type, fonction, fonction affine}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-2em}

\hfill{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}\hfill\fbox{A}

\setcounter{nex}{0}

\bgex\fbox{A}
La moyenne de la s\'erie est: 
\[\overline{x}=\dfrac{3\tm12+2\tm5+1\tm8+4\tm9}{10}
=9\]

La variance de la s\'erie est: 
\[
V=\dfrac{3\tm(12-9)^2+2\tm(5-9)^2+1\tm(8-9)^2+4\tm(9-9)^2}{10}
=6
\]
d'o\`u l'\'ecart-type: $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt6\simeq2,45$

\medskip
\fbox{B}
La moyenne de la s\'erie est: 
\[\overline{x}=\dfrac{3\tm14+2\tm5+1\tm18+4\tm10}{10}
=11\]

La variance de la s\'erie est: 
\[
V=\dfrac{3\tm(14-11)^2+2\tm(5-11)^2+1\tm(18-11)^2+4\tm(10-11)^2}{10}
=15,2
\]
d'o\`u l'\'ecart-type: $\sigma=\sqrt{V}=\sqrt{15,2}\simeq3,9$
\enex

\medskip
\bgex
\bgen[a)]
%\item On dresse le tableau de signe de l'expression: 
%  $(x+3)(-2x+5)$ 
%  \[
%  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
%    $x$ & $-\infty$ && $-3$ && $\frac{5}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
%    $x+3$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
%    $-2x+5$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
%    $(x+3)(-2x+5)$ && $-$ &\zb& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
%  \end{tabular}
%  \]
%
%  Ainsi, $(x+3)(-2x+5)\geqslant 0 \iff x\in\lb-3;\dfrac{5}{2}\rb$.

\item 
  $\bgar[t]{ll}
  (2x-3) > (2-x)(2x-3)
  &\iff 
  (2x-3)-(2-x)(2x-3)> 0 \\ 
  &\iff 
  (2x-3)\Bigl[ 1 - (2-x)\Bigr] > 0 \\
  &\iff 
  (2x-3)(x-1)> 0
  \enar$
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $1$ && $\frac{3}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
    $2x-3$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
    $x-1$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $(2x-3)(x-1)$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  Ainsi, 
  $(2x-3) > (2-x)(2x-3) \iff x\in]-\infty;1[\cup]\frac{3}{2};+\infty[$. 


\item 
  $\dfrac{2}{3x-6}< 3
  \iff \dfrac{2}{3x-6} -3 < 0 
  \iff \dfrac{-9x+20}{3x-6}< 0
  $
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $-\infty$ && $2$ && $\frac{20}{9}$ && $+\infty$ \\\hline
    $-9x+20$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
    $3x-6$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
    $\dfrac{-9x+20}{3x-6}$ && $-$ &\db& $+$ &\zb& $-$ & \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  Ainsi, 
  $\dfrac{2}{3x-6}< 3 
  \iff x\in \Bigl]-\infty;2\Bigr[\cup\Bigl[\frac{20}{9};+\infty\Bigr[$
\enen


\enex

\bgex
$\bullet\ f(x)=\dfrac{x+2}{2x^2-x} 
$. 
On ne doit pas avoir 
$2x^2-x=0\iff x\lp 2x-1\rp=0
\iff 
\la\bgar{ll}
x=0 \\
\text{ou } 2x-1=0
\enar\right.
\iff 
\la\bgar{ll}
x=0 \\
\text{ou } x=\dfrac12
\enar\right.
$. 
Ainsi, $\mathcal{D}_f=\R\setminus\la 0\ ; \ \dfrac12\ra$. 



$\bullet\ h(x)=\sqrt{(2x-1)(x-3)}$. 
On doit avoir $(2x-1)(x-3)\geqslant0$. 

Pour r\'esoudre cette in\'equation, on peut dresser le tableau de signes
de $(2x-1)(x-3)$: 

  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
    $x$ & $-\infty$ & & $\frac12$ && $3$ && $+\infty$ \\\hline
    $2x-1$&  & $-$ & \zb & $+$ & $|$  & $+$& \\\hline  
    $x-3$&  & $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$& \\\hline  
    $(2x-1)(x-3)$ &  & $+$ & \zb & $-$ & \zb  & $+$& \\\hline
  \end{tabular}
  $\mathcal{D}_g=\Bigl]-\infty;\dfrac12\Bigr]\cup\Bigl[3;+\infty\Bigr[$.\enex

\clearpage

\bgex
On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=(x-2)^2-3$ définie sur $[-1;5]$. 
\bgen[a)]
\item 
\[\psset{arrowsize=6pt}\begin{pspicture}(-1,-1)(10,.2)
\rput(0,0){$x$}
\psline{->}(.2,0)(1.2,0)\rput(.6,.3){$-2$}
\rput[l](1.3,0){$x-2$}
\psline{->}(2.4,0)(3.6,0)\rput(3,.3){carré}
\rput[l](3.8,0){$(x-2)^2$}
\psline{->}(5.4,0)(6.6,0)\rput(5.9,.3){$-3$}
\rput[l](6.8,0){$(x-2)^2-3$}
\psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-.3)(0,-1)(8.5,-1)(8.5,-.3)
\rput(3.5,-.7){$f$}
\end{pspicture}\]

\item Soit deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ tels que 
  $-1\leqslant a<b\leqslant 2$\\
  alors 
  $-3\leqslant a-2<b-2\leqslant0$\\
  donc 
  $9\geqslant (a-2)^2>(b-2)^2\geqslant0$: carré de nombres négatifs change l'ordre\\
  d'où 
  $6\geqslant (a-2)^2-3>(b-2)^2-3\geqslant-3$\\
  soit donc  
  $6\geqslant f(a)>f(b)\geqslant-3$\\
  c'est-à-dire que $f$ change l'ordre et est donc décroissante sur $[-1;2]$. 

%  \medskip
%  De m\^eme sur $[2;5]$, 
%  soit deux nombres réels quelconques $a$ et $b$ tels que 
%  $2\leqslant a<b\leqslant 5$\\
%  alors 
%  $0\leqslant a-2<b-2\leqslant3$\\
%  donc 
%  $0\leqslant (a-2)^2>(b-2)^2\leqslant9$\\
%  d'où 
%  $-3\leqslant (a-2)^2-3>(b-2)^2-3\leqslant-3$\\
%  soit donc  
%  $6\geqslant f(a)>f(b)\geqslant-3$\\
%  c'est-à-dire que $f$ conserve l'ordre et est donc croissante sur $[2;5]$. 

On a donc trouvé le tableau de variation
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-1$ && 2 && 5 \\\hline
  &6&&&&6\\
  $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&$-3$&&\\\hline
  \end{tabular}\]


\item Avec éventuellement un tableau de valeurs pour compléter le tableau de variation précédent:
  \[\begin{tabular}{|c|*7{p{2em}|}}\hline
  $x$&$-1$&0&1&2&3&4&5\\\hline
  $f(x)$&6&1&$-2$&$-3$&$-2$&1&6\\\hline
  \end{tabular}\]

  
  \[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-2,-5)(6.5,7.4)
\psline{->}(-2,0)(6,0)
\psline{->}(0,-5)(0,7.4)
\multido{\i=-1+1}{7}{\psline[linestyle=dashed](\i,-4.2)(\i,7.2)\rput(\i,-.3){$\i$}}
\multido{\i=-4+1}{12}{\psline[linestyle=dashed](-1.2,\i)(5.2,\i)\rput[r](-.1,\i){$\i$}}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=red]{-1}{5}{x 2 sub 2 exp 3 sub}
\rput(4,4){\red$\mathcal{C}_f$}
\psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-3}{5}{-1 x mul 1 add}
\rput(-1.5,2){\blue$\mathcal{C}_g$}
\psline[linewidth=1.6pt,linecolor=magenta](-2,1)(7,1)
\end{pspicture*}\]

\item Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant1$ pour $x\in[0;4]$. 
\item Graphiquement on trouve que $f(x)\leqslant g(x)$ pour $x\in[0;3]$
\enen
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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