Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Equations et vecteurs

seconde

Equations et vecteurs

Devoir corrigé de mathématiques en seconde sur les équations et vecteurs et coordonnées.
Six équations à résoudre: équation produit nul, équation avec un carré, ou équations avec des fractions.
Représenter graphiquement des points et des vecteurs avec leurs coordonnées. Calcul de longueur et des coordonnées du miliey d'un segment.

Fichier

Type: Corrigé de devoir

File type: Latex, tex (source)

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Description

Devoir corrigé de mathématiques, 2nde: résolutions d'équations et vecteurs

Niveau

seconde

Mots clé

vecteur, construction somme vecteurs, coordonnées, de résolution d'équations, devoir corrigé de mathématiques, calcul algébrique, fraction, développement, expression algébrique développée et factorisée, identitées remarquables, racines carrées, maths

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs

Devoir corrigé

Calcul algébrique

calcul algébrique: calculs avec des puissance, factoriser des expressions algébriques, et résoudre des premières équations

Devoir corrigé

Résolution d'équations et simplification de puissances

sur la résolution d'équations (produit nul, quotient nul, équation avec un carré) et deux fractions avec des puissances à simplifier

Devoir corrigé

Résolution d'équations, un système et des vecteurs à construire

sur quelques équations à résoudre, systèmes d'équations à deux inconnues, et la construction géométrique graphique de points et vecteurs

Devoir corrigé

Vecteurs, coordonnées et colinéarité, et quelques d'équations et un système

sur les vecteurs et coordonnées: calculs de coordonnées, et montrer l'alignement de points. Quelques équations et un système à résoudre

Devoir corrigé

Systèmes d'équations, vecteurs et fonctions

résolution de systèmes d'équations, les vecteurs (vecteurs colinéaires et alignement de points), et la courbe d'une fonction

Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés

Factorisations

Exercices corrigés

3 équations du 1er degré

Exercices corrigés

Factorisation, développement et résolution d'équations

Exercices corrigés

Vérification de la solution d'une équation - Calcul sur les radicaux et fractions

Exercices corrigés

Vérification de la solution d'une équation - Calcul sur les radicaux et fractions

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

Source Latex $LaTex icone$

Source Latex

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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
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\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-2em}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}



\bgex

$\bgar{ll}(E_1):\ &(x+2)(3x-2)-(x+2)(x+1)=0
  \iff 
  (x+2)(2x-3)=0\\[.7em]
  &\iff\la\bgar{lll} &x+2=0 \\ \mbox{ou, } &2x-3=0\enar\right.
  \iff
  \la\bgar{lll} &x=-2 \\ \mbox{ou, } &x=\dfrac{3}{2}\enar\right.
  \enar$
  \hfill
  $\ul{\mathcal{S}_2=\la -2\,;\, \dfrac{3}{2}\ra}$
  

\medskip
$\bgar{ll}(E_2):\ &(x^2-11)(3x+7)=0 
  \iff 
  \la\bgar{lll} &x^2-11=0 \\ \mbox{ou, } &3x+7=0\enar\right.\\
  &\iff
  \la\bgar{lll} &x^2=11 \\ \mbox{ou, } &x=-\dfrac{7}{3}\enar\right.
  \iff
  \la\bgar{ll} x=-\sqrt{11}\ \mbox{ou, } x=\sqrt{11} \\ \mbox{ou, } x=-\dfrac{7}{3}\enar\right.
  \enar$
  \hfill
  $\ul{\mathcal{S}_3=\la -\dfrac{7}{3}\,;\,-\sqrt{11}\,;\,\sqrt{11}\ra}$


\medskip
$\bgar{ll}(E_3):\ &\dfrac{2}{2x+5}-\dfrac{1}{4x-3}=0
  \iff
  \dfrac{6x-11}{(2x+5)(4x-3)}=0
  \iff
  \la\bgar{ll} &6x-11=0 \\ \mbox{et,}&(2x+5)(4x-3)\not=0\enar\right.\\
  &\iff
  \la\bgar{ll} &x=\dfrac{11}{6} \\ 
  \mbox{et,}&x\not=-\dfrac{5}{2}\ \mbox{et, } x\not=\dfrac{3}{4}\enar\right.
  \hspace*{8.8cm}\ul{\mathcal{S}_5=\la \dfrac{11}{6} \ra}\enar$

\medskip
$\bgar{l}(E_4):\ (2x+3)^2=49
  \iff
  \la\bgar{lll} &2x+3=-7 \\ \mbox{ou, } &2x+3=7\enar\right.
  \iff
  \la\bgar{lll} &x=-5 \\ \mbox{ou, } &x=2\enar\right.
  \enar$
  \hfill
  $\ul{\mathcal{S}_6=\la -5\,;\,2 \ra}$


\medskip
$\bgar{ll}(E_5): &\dfrac{x}{2x+1}=1
\iff
\dfrac{x}{2x+1}-1=0
\iff
\dfrac{x}{2x+1}-\dfrac{2x+1}{2x+1}=0\\
&\iff
\dfrac{-x-1}{2x+1}=0
\iff\la\bgar{ll}
&-x-1=0 \vspd\\
\mbox{et,}\ &2x+1\not=0
\enar\right.
\iff
\la\bgar{ll}
&x=-1 \vspd\\
\mbox{et,}\ &x\not=-\frac{1}{2}
\enar\right.
\enar$, 
\hfill
\ul{$\mathcal{S}_7=\la -1\ra$}. 

\medskip
$\bgar{ll}(E_6):
&\lp x^2-4\rp^2=25
\iff\la\bgar{ll}&x^2-4=\sqrt{25}=5\\\text{ou,} &x^2-4=-\sqrt{25}=-5\enar\right.
\\
&\iff\la\bgar{ll}&x^2=9 \iff x=3 \text{ ou } x=-3\\\text{ou,} &x^2=-1 <0: \text{impossible}\enar\right.
\enar$

\hfill
$\ul{\mathcal{S}_8=\la-3;3\ra}$. 

\enex


\clearpage
\bgex
Dans le rep\`ere orthonorm\'e $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$: 
$A(1;3)$; $B(2;-4)$; $C(3;5)$, $D(-3;-2)$ et $H(22;-12)$. 

\bgen[a)]
\item 
\item 
\[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-5,-5)(7,5)
\psline{->}(-5,0)(7,0)
\psline{->}(0,-5)(0,5)\rput(-.3,-.3){$O$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(.5,-.35){$\V{i}$}
\psline[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-.3,.5){$\V{j}$}
\rput(1,3){$\tm$}\rput(.8,3.2){$A$}
\rput(2,-4){$\tm$}\rput(1.8,-4.2){$B$}
\rput(3,5){$\tm$}\rput(2.8,5.2){$C$}
\rput(-3,-2){$\tm$}\rput(-3.2,-2.2){$D$}
%
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(2,-4)
\rput(1.8,1){\blue{$\V{AB}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(1,3)(3,5)
\rput(2.2,3.8){\blue{$\V{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(2,-4)(4,-2)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](3,5)(4,-2)
\rput(2.8,-2.6){\blue{$\V{AC}$}}
\psline[linewidth=1.4pt,linecolor=blue]{->}(4,-2)(6,0)
\rput(4.8,-.7){\blue{$\V{AC}$}}
\rput(6,0){\red$\tm$}
\rput(6,.3){\red$E$}
\end{pspicture}\]


\item De mani\`ere g\'en\'erale: $\V{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$, 
  donc ici: \\
  $\V{AB}(2-1;-4-3)$ soit $\V{AB}(1;-7)$ \\ 
  $\V{BC}(3-2;5-(-4))$ soit $\V{BC}(1;9)$ \\
  $\V{DA}(1-(-3);3-(-2))$ soit $\V{DA}(4;5)$\\
  $\V{AH}=(22-1;-12-3)$ soit $\V{AH}(21;-15)$

\item De mani\`ere g\'en\'erale, 
  si $\vec{u}(x;y)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$, 
  donc ici, gr\^ace \`a la question pr\'ec\'edente: \\
  $AB=\sqrt{1^2+(-7)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2$, 
  $BC=\sqrt{1^2+9^2}=\sqrt{82}$ 
  et $DA=\sqrt{4^2+5^2}=\sqrt{41}$. 

\item De mani\`ere g\'en\'erale, le milieu $I$ de 
  $[AB]$ est $I\lp \dfrac{x_A+xx_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\rp$, 
  donc ici, 
  $I\lp\dfrac{1+31}{2};\dfrac{3+2}{2}\rp$, 
  soit $I\lp 16;\dfrac52\rp$. 

  $\V{AF}\lp 31-1;2-3\rp$ soit $\V{AF}(30;-1)$ 
  et donc $AF=\sqrt{30^2+(-1)^2}=\sqrt{901}$.  
\enen
\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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