Source Latex: Devoir de mathématiques,

seconde

Devoir maison de Noël: deux exercices où il faut chercher l'erreur mathématique…
Un peu de logique et de rigueur pour faire apparaître la supercherie…
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Mathématiques: chercher l'erreur, géométrique et algébrique
Niveau
seconde
Mots clé
logique, enigme, mathématiques

Quelques autres devoirs


    Voir aussi:

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    Source Latex 

    \documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques de seconde},
    pdftitle={Devoir de mathématiques de 2nde},
    pdfkeywords={devoir de mathématiques, équations et vecteurs et coordonnées}
}
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    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\medskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
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\renewcommand{\footrulewidth}{.1pt}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/2nde/Mathematiques-2nde.php}{xymaths - 2nde}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2em}

\ct{\bf\Large{DM de No\"el}}

\ct{\bf\large{Chercher l'erreur \dots}}
\setcounter{nex}{0}

\medskip

\bgex \textbf{Peut-on vraiment faire confiance à un dessin ?}\\
De la figure du dessus à celle du dessous, on a simplement déplacé les trois figures B, C et D. \\
Aurait-on ainsi un carré supplémentaire, le carré blanc ? \\
Chercher (et démontrer) l'erreur ! \textit{(avec les outils mathématiques de 2nde)}

\[\psset{fillstyle=solid,linewidth=1.6pt,unit=.6cm}\begin{pspicture}(0,0)(15,7)
  \pspolygon[fillcolor=red](1,1)(9,1)(9,4)
\pspolygon[fillcolor=green](9,1)(14,1)(14,3)(11,3)(11,2)(9,2)
\pspolygon[fillcolor=yellow](9,2)(11,2)(11,3)(14,3)(14,4)(9,4)
\pspolygon[fillcolor=blue](9,4)(14,4)(14,6)
\multido{\i=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](0,\i)(15,\i)}
\multido{\i=0+1}{16}{\psline[linewidth=.5pt](\i,0)(\i,7)}
  \pscircle(6.05,2){0.5}
  \rput(6,2){$B$}
  \pscircle(12.05,2){0.5}
  \rput(12,2){$A$}
  \pscircle(10.05,3){0.5}
  \rput(10,3){$C$}
  \pscircle(13.05,4.8){0.5}
  \rput(13,4.8){$D$}
\end{pspicture}\]

\[\psset{fillstyle=solid,linewidth=1.6pt,unit=.6cm}\begin{pspicture}(0,0)(15,7)
\pspolygon[fillcolor=blue](1,1)(6,1)(6,3)
\pspolygon[fillcolor=red](6,3)(14,3)(14,6)
\pspolygon[fillcolor=green](9,1)(14,1)(14,3)(11,3)(11,2)(9,2)
\pspolygon[fillcolor=yellow](6,1)(8,1)(8,2)(11,2)(11,3)(6,3)
\multido{\i=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](0,\i)(15,\i)}
\multido{\i=0+1}{16}{\psline[linewidth=.5pt](\i,0)(\i,7)}
  \pscircle(5.05,1.8){0.5}
  \rput(5,1.8){$D$}
  \pscircle(12.05,2){0.5}
  \rput(12,2){$A$}
  \pscircle(7.05,2){0.5}
  \rput(7,2){$C$}
  \pscircle(12.05,4){0.5}
  \rput(12,4){$B$}
\end{pspicture}\]


\medskip
\textit{Rermarque: tous les sommets de ces polygones, dans les deux figures, sont exactement à une intersection du quadrillage.}
\enex

\bigskip
\bgex \textbf{Un résultat qui pourrait remettre beaucoup de choses en cause ...}\\
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels égaux à 1,
c'est-à-dire que $a=b=1$.

On alors, en multipliant par $a$ de chaque c\^oté, \[a^2=ab\]

puis, en soustrayant $b^2$ de chaque c\^oté, \[a^2-b^2=ab-b^2\]

On reconna\^it alors une identité remarquable à gauche:
\[(a-b)(a+b)=ab-b^2\]

et, à droite, on peut factoriser par $b$, pour obtenir
\[(a-b)(a+b)=(a-b)b\]

Enfin, en divisant de chaque c\^oté par le terme commun $(a-b)$,
on obtient l'égalité
\[a+b=b\]

Maintenant, comme on l'a annoncé au début, avec $a=b=1$, alors 
$a+b=1+1=2$ et $b=1$

et on a donc obtenu l'égalité remarquable \[\psshadowbox{2=1}\]

\`A partir de là, beaucoup de résultats sont enfin accessibles:
\bgit
\item en soustrayant $1$ de chaque c\^oté, on obtient alors $1=0$
\item en élevant au carré: $2^2=1^2$, soit $4=1$
\item en élevant au cube: $2^3=1^3$, soit $8=1$
\item ...
\enit

Chercher (et démontrer) l'erreur ! \textit{(avec les connaissances mathématiques de 2nde)}

\enex

\clearpage
\setcounter{nex}{0}

\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2em}

\ct{\bf\Large{DM de No\"el}}

\ct{\bf\large{Chercher l'erreur \dots}}
\setcounter{nex}{0}

\medskip

\bgex \textbf{Peut-on vraiment faire confiance à un dessin ?}\\
De la figure du dessus à celle du dessous, on a simplement déplacé les trois figures B, C et D. \\
Aurait-on ainsi un carré supplémentaire, le carré blanc ? \\
Chercher (et démontrer) l'erreur ! \textit{(avec les outils mathématiques de 2nde)}

\[\psset{fillstyle=solid,linewidth=1.6pt,unit=.6cm}\begin{pspicture}(0,0)(15,7)
  \pspolygon[fillcolor=red](1,1)(9,1)(9,4)
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\pspolygon[fillcolor=yellow](9,2)(11,2)(11,3)(14,3)(14,4)(9,4)
\pspolygon[fillcolor=blue](9,4)(14,4)(14,6)
\multido{\i=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](0,\i)(15,\i)}
\multido{\i=0+1}{16}{\psline[linewidth=.5pt](\i,0)(\i,7)}
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  \pscircle(12.05,2){0.5}
  \rput(12,2){$A$}
  \pscircle(10.05,3){0.5}
  \rput(10,3){$C$}
  \pscircle(13.05,4.8){0.5}
  \rput(13,4.8){$D$}
\end{pspicture}\]

\[\psset{fillstyle=solid,linewidth=1.6pt,unit=.6cm}\begin{pspicture}(0,0)(15,7)
\pspolygon[fillcolor=blue](1,1)(6,1)(6,3)
\pspolygon[fillcolor=red](6,3)(14,3)(14,6)
\pspolygon[fillcolor=green](9,1)(14,1)(14,3)(11,3)(11,2)(9,2)
\pspolygon[fillcolor=yellow](6,1)(8,1)(8,2)(11,2)(11,3)(6,3)
\multido{\i=0+1}{8}{\psline[linewidth=.5pt](0,\i)(15,\i)}
\multido{\i=0+1}{16}{\psline[linewidth=.5pt](\i,0)(\i,7)}
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  \rput(5,1.8){$D$}
  \pscircle(12.05,2){0.5}
  \rput(12,2){$A$}
  \pscircle(7.05,2){0.5}
  \rput(7,2){$C$}
  \pscircle(12.05,4){0.5}
  \rput(12,4){$B$}
\end{pspicture}\]


\medskip
\textit{Rermarque: tous les sommets de ces polygones, dans les deux figures, sont exactement à une intersection du quadrillage.}
\enex

\bigskip
\bgex \textbf{Un résultat qui pourrait remettre beaucoup de choses en cause ...}\\
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels égaux à 1,
c'est-à-dire que $a=b=1$.

On alors, en multipliant par $a$ de chaque c\^oté, \[a^2=ab\]

puis, en soustrayant $b^2$ de chaque c\^oté, \[a^2-b^2=ab-b^2\]

On reconna\^it alors une identité remarquable à gauche:
\[(a-b)(a+b)=ab-b^2\]

et, à droite, on peut factoriser par $b$, pour obtenir
\[(a-b)(a+b)=(a-b)b\]

Enfin, en divisant de chaque c\^oté par le terme commun $(a-b)$,
on obtient l'égalité
\[a+b=b\]

Maintenant, comme on l'a annoncé au début, avec $a=b=1$, alors 
$a+b=1+1=2$ et $b=1$

et on a donc obtenu l'égalité remarquable \[\psshadowbox{2=1}\]

\`A partir de là, beaucoup de résultats sont enfin accessibles:
\bgit
\item en soustrayant $1$ de chaque c\^oté, on obtient alors $1=0$
\item en élevant au carré: $2^2=1^2$, soit $4=1$
\item en élevant au cube: $2^3=1^3$, soit $8=1$
\item ...
\enit

Chercher (et démontrer) l'erreur ! \textit{(avec les connaissances mathématiques de 2nde)}

\enex

\label{LastPage}
\end{document}

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