Source Latex: Cours de mathématiques, Résolution d'inéquations

Seconde

Résolution d'inéquations

Cours de mathématiques en 2nde: résolution d'inéquations, tableaux de signes
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en 2nde: résolution d'inéquations, tableaux de signes
Niveau
Seconde
Table des matières
  • Résolution d'inéquations
  • Méthode générale pour résoudre une inéquation
  • Utilisation des tabelaux de signes
Mots clé
inéquations, tableaux de signes, cours de mathématiques, 2nde
Voir aussi:

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Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
%\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\headheight=0cm
\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}


\vspace*{-2.2cm}
$2^{\mbox{\scriptsize{nde}}}$\ct{\bf \Large{R�solution d'in�quations}}
%\vspd

\paragraph{M�thode g�n�rale pour r�soudre une in�quation}\ \\

On se ram�ne � une in�quation de la forme 
$A(x)\leq0$, ou $A(x)<0$, ou $A(x)\geq 0$ ou $A(x)>0$, 
en prenant garde � l'ordre (c'est-�-dire au sens de l'in�quation) �
chaque op�ration effectu�e, 
et avec $A(x)$ une expression alg�brique ne contenant \ul{que} des
produits et/ou quotients de termes du premier degr� 
(de la forme $ax+b$). 

\vspd
On peut alors dresser un tableau de signes et appliquer la r�gle des
signes pour les produits et quotients. 

\vspt
\ul{Remarque/Rappel:} 
\bgmp[t]{13.6cm}Chercher le signe de l'expression alg�brique
$A(x)$ signifie r�soudre les in�quations $A(x)<0$, $A(x)>0$ et
$A(x)=0$. 
\enmp

\vspt
\ul{Exemple:} 
R�soudre l'in�quation: $(I)\,:\ x(x+2)\geq (2x+1)(x+2)$.

\vspd
On transforme tout d'abord l'in�quation pour se ramener � une �tude de
signes de facteurs du premier degr�: 

\[\bgar{ll}
(I)\,:\ &\iff x(x+2)-(2x+1)(x+2)\geq0\vspd\\
&\iff (x+2)\Big[ x - (2x+1)\Big] \geq 0 \vspd\\
&\iff (x+2)\lb -x-1\rb \geq 0
\enar
\]

On peut alors dresser le tableau de signes de l'expression 
$(x+2)(-x-1)$: 

\vspd
\ct{
\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1$ && $+\infty$\\\hline
$x+2$ && $-$ &\zb&$+$&$|$&$+$& \\\hline 
$-x-1$ && $+$ & $|$ & $+$ &\zb& $-$& \\\hline
$(x+2)(-x-1)$ && $-$ &\zb&$+$ &\zb&$-$& \\\hline
\end{tabular}
}

\vspd
On veut que ce produit soit positif ou nul; 
les solutions de l'in�quation sont donc: 
\ul{$\mathcal{S}=[-2;-1]$}.

\vspq
\bgprop{(Signe d'une expression du premier degr�)\\
  Soit $a$ et $b$ deux nombres r�els quelconques, avec $a\not=0$, alors 

  \vspd
  \ct{
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
    \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$x$} & 
    \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$-\infty$} && 
    \raisebox{0.1cm}[0.6cm]{-$\frac{b}{a}$} && 
    \raisebox{0.1cm}[0.5cm]{$+\infty$} \\\hline
    $ax+b$ && Signe de -$a$ & \zb & Signe de a & \\\hline
  \end{tabular}
  }
}


\vspq
\ul{Exercices:} 
R�soudre les in�quations: \vspd

$(I_1)\,:\ (2x+3)(-3x+2)>0$ \vspd

$(I_2)\,:\ x(3x+1)<(2x+3)x$ \vspd

$(I_3)\,:\ (2x+4)^2\geq (2x+4)(x-3)$ \vspd

$(I_4)\,:\ x^2\geq 9$ \vspd

$(I_5)\,:\ 1+\dfrac{1}{x+2}\leq 0$  \vspd

$(I_6)\,:\ \dfrac{2x+3}{5x-20}\geq 3$ \vspd

$(I_7)\,:\ 8-\dfrac{11x+12}{2x-3}\geq 2$\vspd

$(I_8)\,:\ \dfrac{3}{2x+1}<\dfrac{4}{x-3}$\vspd



\end{document}

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