Source Latex: Devoir de mathématiques, Dérivées et suites

Première STI2D

Dérivées et suites

Devoir de mathématiques en 1ère STI2D: Étude du sens de variation d'une fonction. Suites arithmétiques et géométriques et somme des termes consécutifs d'une suite.
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir de maths en 1ère STI2D: dérivées et suites numériques
Niveau
Première STI2D
Mots clé
dérivées, suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths

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\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}

\usepackage{array}
\usepackage{color}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\textheight=25cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1.2cm
\evensidemargin=0cm


\setlength{\unitlength}{1cm}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-1cm}

%\ul{Nom:}
\hspace{5cm} 
{\Large Devoir Surveill�}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}\,$STI%3/10/2008
\vspace{0.8cm}


\bgex Soit la fonction $f$ d�finie par 
$\dsp f(x)=x+2-\frac{4}{-x+3}$. 

Dresser le tableau de variation de $f$. 
\enex

\bgex Soit la fonction $g$ d�finie par 
$\dsp g(x)=\frac{x-1}{x^2+3}$. 

Dresser le tableau de variation de $g$. 
\enex


\bgex
Soit la suite $(u_n)$ d�finie par 
$\la\bgar{l} \dsp u_0=1 \\ 
\dsp u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2u_n} \ ,\  \mbox{pour tout entier n. } 
\enar\right.$

On admet que pour tout entier $n$, $\dsp u_n\not= -\frac{1}{2}$. 
\vspd
\bgit
\item[1)] Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$. 

  La suite $(u_n)$ peut-elle �tre arithm�tique ? g�om�trique ? 

  \vspd 

\item[2)] On suppose que pour tout entier $n$, $u_n$ est diff�rent de
  0, et on pose $\dsp v_n=\frac{1}{u_n}$. 

  \bgit
  \item[a)] Calculer $v_0$, $v_1$, $v_2$ et $v_3$. 
    \vsp

  \item[b)] Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$, puis en
    fonction de $u_n$. 

    \vsp

    Exprimer alors $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, et montrer que la
    suite $v_n$ est une suite arithm�tique dont on pr�cisera la raison
    et le premier terme. 

    \vsp

  \item[c)] En d�duire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis
    de $u_n$ en fonction de $n$. 

    \vsp
    Calculer $u_{50}$. 

  \enit

\enit

\enex


\bgex
\bgit
\item[a)] Soit $u_n$ la suite d�finie pour tout entier $n$ par
  $u_n=2n-1$. 

  Montrer que $u_n$ est une suite arithm�tique dont on pr�cisera la
  raison et le premier terme ({\it on pourra calculer la diff�rence
  $u_{n+1}-u_n$}) 

  Calculer alors, en fonction de $n$, la somme 
  $S_n=u_0+u_1+u_2+\dots+u_n$. 

\vspd
\item[b)] Soit $(v_n)$ la suite d�finie par $v_n=2^{u_n}$. 

  Calculer $v_0$, $v_1$ et $v_2$. 

  \vsp
  Exprimer en fonction de $n$, le produit
  $P_n=v_0\tm v_1\tm v_2\tm \dots \tm v_n$.
\enit
\enex

\end{document}

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