Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques
Première STI2D
Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
- File type: Latex, tex (source)
- Télécharger le document pdf compilé
- Description
- Devoir de mathématiques et son corrigé: suites numériques
- Niveau
- Première STI2D
- Mots clé
- suite, suites numériques, suite récurrente, construction graphique, étude de fonction, devoir corrigé de mathématiques, maths
- Sujet du devoir
- Voir aussi:
Documentation sur LaTeX
- Source Latex
-
Source Latex
\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Corrigé de l'interrogation de mathématiques en 1STI2D: suites}, pdftitle={Correction du devoir de mathématiques}, pdfkeywords={Mathématiques, suites} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{ \protect\vspace*{\fill}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1cm \textheight=26.8cm \textwidth=18.5cm \topmargin=0cm \headheight=-0.cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.cm \usepackage{ifthen} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}} \rfoot{Corrigé du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}STI2D$ - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \ct{\bf\LARGE{Corrigé du devoir de math\'ematiques}} \bgex \bgen \item $P(x)=-x^2+x-1$ est un trin\^ome du second degré de discriminant $\Delta=-3<0$ et n'admet donc aucune racine réelle. On a donc $P(x)<0$ pour tout $x$ réel. \item On définit la suite $\lp u_n\rp$ par $u_0=1$ puis, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}$. \bgen[a)] \item $u_1=\dfrac{3u_0-1}{u_0+2}=\dfrac23$, $u_2=\dfrac{3u_1-1}{u_1+2}=\dfrac1{\frac23+2}=\dfrac38$ \item On a \[\bgar{ll}u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-u_n\\[1.2em] &=\dfrac{3u_n-1}{u_n+2}-\dfrac{u_n\lp u_n+2\rp}{u_n+2}\\[1.2em] &=\dfrac{-u_n^2+u_n-1}{u_n+2}\\[1.2em] &=\dfrac{P\lp u_n\rp}{u_n+2}\enar\] Or $P\lp u_n\rp<0$ d'après la question 1., et, comme $u_n>-2$, on a $u_n+2>0$. Ainsi, $u_{n+1}-u_n<0\iff u_{n+1}<u_n$, ce qui montre que la suite est décroissante. \enen \item \bgen[a)] \item On a $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=3x-1$, donc $u'(x)=3$ et $v(x)=x+2$ donc $v'(x)=1$, et alors $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit \[\bgar{ll}f'(x)&=\dfrac{3\tm(x+2)-(3x-1)\tm1}{(x+2)^2}\\ &=\dfrac{7}{(x+2)^2}\enar\] On obtient donc le tableau de variation \[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ &$0$&\hspace*{1cm}&$+\infty$ \\\hline 7 && $+$ & \\\hline $(x+2)^2$ && $+$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \\\hline &&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&\\\hline \end{tabular}\] \item et c) \[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-.2,-.8)(1.2,.8) \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-.8)(0,.8) \psline(1,-0.01)(1,0.01)% \psline(-0.01,1)(0.01,1)% \rput(-0.03,1){1}% \rput(1,-0.03){1}% % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{3 #1 mul 1 sub #1 2 add div} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{1.2}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{1.2}{x} % Defintion de la fonction itérée: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{1} \def\nmax{5} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.05){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$} } \end{pspicture*}\] \enen \enen \enex \bgex \bgen \item $f$ est une fonction du second degré, avec $f(x)=3x^2-3x+1$, avec $a=3>0$ et $-\dfrac{b}{2a}=\dfrac12$, donc, $f$ est décroissante sur $\Bigl]-\infty;\dfrac12\Bigr]$ et est croissante sur $\Bigl[\dfrac12;+\infty\Bigl[$. Le minimum de $f$ est de plus $f\lp\dfrac12\rp=3\tm\dfrac12\tm\lp-\dfrac12\rp+1=\dfrac14$. \item Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{D}$, alors, $M\in\mathcal{D}\iff y=x$ et, $M\in\mathcal{C}_f\iff y=f(x)$. On doit donc avoir $y=x=f(x)$, soit en particulier $x=f(x)=3x(x-1)+1\iff 3x^2-4x+1=0$. On peut calculer le discriminant, ou s'apercevoir que ce trin\^ome admet 1 comme racine évidente, et donc trouver que les racines de cette équation sont $x_1=1$ et $x_2=\dfrac13$. \medskip Ainsi, il y a deux points d'intersection: $A(1;1)$ et $B\lp\dfrac13;\dfrac13\rp$. \item \[\psset{unit=10cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture*}(-.2,-.2)(1.2,1.2) \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2) \psline(1,-0.01)(1,0.01)% \psline(-0.01,1)(0.01,1)% \rput(-0.03,1){1}% \rput(1,-0.03){1}% \rput(0.333,0.333){\large\bf$\tm$}\rput(0.37,0.34){$A$} \rput(1,1){\large\bf$\tm$}\rput(1.04,1){$B$} % Definition de la fonction f de u_{n+1}=f(u_n) \newcommand{\f}[1]{3 #1 mul #1 1 sub mul 1 add} % Et son tracer: \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=500]{-.1}{1.2}{\f{x}} % ainsi que le tracer de la droite y=x \psplot{-0.2}{1.2}{x} % Defintion de la fonction itérée: % par ex.: fn{3}{x}=f(f(f(x))) \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } % Valeur initiale (u_0) \def\xinit{0.1} \def\nmax{5} % Initialisation pour u_0 \psline[linestyle=dashed] (\xinit,0) (!\xinit\space\f{\xinit}) (!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.05){$u_0$} % Boucle pour u_1, u_2, ..., u_nmax \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed] (!\fn{\i}{\xinit} \space 0) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit}) (!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) (!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.05){$u_\i$} } \end{pspicture*}\] \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
Télécharger le fichier source