Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{multirow}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours mathématiques: Suites numériques},
pdftitle={Suites numériques},
pdfkeywords={Mathématiques, 1STI, 1STI2D, première, STI, STI2D,
suites, suites numériques,
suite arithmétique, suite géométrique,
limite, limite d'une suite}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = blue,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
%pagecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-.8cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vspd}{\vspace{.2cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\headheight=0cm
\textheight=26cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\bigskip\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Suites numériques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/1STI/}}
\rfoot{\TITLE\ - $1^{\text{ère}}STI2D$\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $1^{\text{ère}}STI2D$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $1^{\text{ère}}STI2D$
\vspace{0.4cm}
\vspace{2em}
\hrulefill
\vspace{-1em}
{\setlength{\baselineskip}{2.2em}
\tableofcontents}
\hrulefill
\vspace{2em}
\section{Introduction - Généralités}
\vspace{-1.5em}
\bgdef{Une suite numérique est une liste de nombres réels, ordonnée, et
indéxée par les entiers naturels (ou numérotée).}
\bgex
Compléter les suites "logiques" suivantes.
Donner, si possible, le $10^\text{ème}$ nombre de la suite,
puis le $20^\text{ème}$.
\bgen[a)]
\item 1;2;3;4;5;\dots
\item 2;4;6;8;10;\dots
\item 3;7;11;15;19;\dots
\item 2;4;8;16;32;\dots
\item 2;3;5;9;17;\dots
\item 0;1;8;27;64;125;\dots
\item 1;1;2;3;5;8;13;21;\dots
\enen
\enex
\bgdef{
On note $u$ ou $(u_n)$ la suite constituée par \textbf{tous} ses termes.
On note $u(n)$, ou $u_n$ le n-ième terme de la suite.
$u(n)$ ou $u_n$ est le terme de rang $n$, ou d'indice $n$, de la suite.
}
\bigskip
Par exemple, avec la dernière suite de l'exercice précédent,
on note $u$ ou $\lp u_n\rp$ la suite,
c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de la suite:
$u=\bigl\{1;1;2;3;5;8;13;21;\dots \bigr\}$.
\medskip
On a, par exemple, en commen\c cant à compter à 0:
le premier terme $u_0=1$,
puis $u_1=1$, \dots , $u_6=8$, \dots
\clearpage
\section{Modes de génération d'une suite}
On peut définir une suite de deux façons:
\textbf{explicitement} ou
\textbf{par récurrence} (ou implicitement).
\bigskip
\bgit
\item[$\bullet$] \textbf{\blue\large Explicitement:} à partir d'une fonction $f$:
le terme général de la suite est alors
$u_n=f(n)$.
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.4cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-1,-5)(5.5,11.2)
\psline{->}(-1,0)(6,0)\rput(6.2,-0.3){$n$}
\psline{->}(0,-4)(0,10)\rput(-0.2,10.2){$u_n$}
\nwc\f[1]{#1 3 exp 0.52 mul #1 2 exp 2.5 mul sub 4.8 add}
\psplot{0}{5.12}{\f{x}}\rput(4.2,4){$\Cf$}
\multido{\i=0+1}{6}{
\rput(! \i \space \f{\i}){\blue $\bullet$}
%\psdot(! \i \space \f{\i})
\psline[linestyle=dashed](! \i \space \f{\i})(\i,0)
\rput(\i,-0.4){$\i$}
\psline[linestyle=dashed](! 0 \space \f{\i})(! \i \space \f{\i})
\rput(! -0.4 \space \f{\i}){$u_\i$}
}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8.4cm}
On parle aussi d'{\bf échantillonnage}:
la suite $(u_n)$ est constituée d'échantillons de la fonction~$f$:
\[u_0=f(0)\ ; \ u_1=f(1)\ ;\ u_2=f(2)\ ; \ \dots \]
\vspd
{\sl On parle aussi de {\bf numérisation d'un signal}.}
\enmp
\item[$\bullet$] \textbf{\blue\large Par récurrence}, ou implicitement:
comme chaque
terme de la suite est numéroté, chaque terme a un prédécesseur et un
successeur; on peut donc définir une suite en indiquant son premier
terme $u_0$ et une relation permettant de connaître un terme
connaissant son (ou ses) prédecesseur.
\vspd\noindent
Par exemple: Soit la suite $(u_n)$ définie par
$u_0=1$ et $u_{n+1}=u_n^2+1$.
Alors,
$u_1=u_0^2+1=1^2+1=2$,
$u_2=u_1^2+1=2^2+1=5$,
$u_3=u_2^2+1=5^2+1=26$,
\dots
\enit
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac12n^2+1$.
\bgen
\item Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$, $u_{100}$ et
$u_{1000}$.
\item Donner l'expression de la fonction $f$ telle que
$u_n=f(n)$.
\item \`A l'aide de la calculatrice, tracer l'allure de la courbe
représentative de $f$ et la représentation des premiers valeurs de
la suite $\lp u_n\rp$.
\enen
\enex
\bgex
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec
$(u_n)$ définie par $u_n=\dfrac{n-1}{n^2+1}$.
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par
$u_0=2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=3u_n-1$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$, puis $u_{10}$, $u_{100}$ et $u_{1000}$.
\enen
\enex
\bgex
Reprendre les questions de l'exercice précédent avec la suite
$\lp v_n\rp$ définie par $v_0=3$
et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=\dfrac{2v_n^2-1}{v_n^2+2}$.
\enex
\section{Suites arithmétiques}
\vspace{-1.4em}
\bgdef{Une suite $(u_n)$ est arithmétique si pour passer d'un terme au
suivant on ajoute toujours le même nombre $r$, qu'on appelle alors
la raison de la suite.
On a ainsi,
\[\bgar{ll}
(u_n) \text{ arithmétique }
&\iff \text{ Pour tout entier } n, u_{n+1}=u_n+r\\[.6em]
&\iff \text{ Pour tout entier } n, u_{n+1}-u_n=r=Constante
\enar\]
}
\medskip
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=u_n^2+3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ?
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=3n-2$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle être arithmétique ?
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique.
\item Représenter graphiquement les premiers points de la suite.
\enen
\enex
\bgex
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0=3$ et de raison
$r=5$.
Calculer les valeurs $u_1$, $u_2$, $u{10}$ et $u_{100}$.
\enex
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r$,
alors, pour tout entier $n$,
\[u_n=u_0+nr\]
La représentation graphique d'une suite arithmétique est
un ensemble de points alignés,
sur la droite d'équation $y=u_0+rx$.
}
\section{Suites géométriques}
\vspace{-1.4em}
\bgdef{Une suite $(v_n)$ est géométrique si pour passer d'un terme au
suivant on multiplie toujours par le même nombre $q$, qu'on appelle alors
la raison de la suite.
On a ainsi,
\[\bgar{ll}
(u_n) \text{ géométrique }
&\iff \text{ Pour tout entier } n, u_{n+1}=qu_n\\[1em]
&\iff \text{ Pour tout entier } n, \dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q=Constante
\enar\]
}
\medskip
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et, pour tout entier $n$,
$u_{n+1}=u_n^2+3$.
Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle être géométrique ?
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n=3^n$.
\bgen
\item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
La suite $(u_n)$ peut-elle être géométrique ?
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ par
$u_n=\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.
Démontrer que cette suite est géométrique.
\enex
\bgex
$(u_n)$ est géométrique de raison $q=-2$.
Sachant que $u_5=12$, calculer $u_6$, $u_7$ et $u_{10}$.
\enex
\bgex
Soit la suite $(u_n)$ géométrique de raison $q=3$ et de premier terme
$u_0=4$.
Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$, $u_{10}$ et $u_{30}$.
\enex
\bgex
Un capital $C=10\,000$ euros est placé au taux de 4\,\%: à la fin de
chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital.
\bgen
\item Quel est le capital $C_1$ à la fin de la première année ?
Le capital $C_2$ à la fin de la deuxième~année ?
\item Soit $C_n$ le capital au bout de $n$ années.
Quel est la nature de la suite $C_n$ ?
\item Au bout de combien d'année le capital aura-t'il doublé ?
\enen
\enex
\bgprop{Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$,
alors, pour tout entier $n$,
\[
u_n=u_0\tm q^n .
\]
}
\bgex
Une ville compte 100\,000 habitants en 2010.
Chaque année sa population baisse de 2\,\%.
Soit $P_n$ sa population l'année $2010+n$.
\bgen
\item Calculer $P_1$, $P_2$ et $P_3$.
\item Quelle est la nature de la suite $(P_n)$ ?
Donner alors l'expression de $P_n$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
\section{Exercices}
\bgex
Un service commercial a constaté que, chaque année, 1000 nouveaux
abonnés sont enregistrés mais que la moitié des abonnés de l'année
précédente ne renouvèlent pas leur abonnement.
En 2010, 4000 personnes étaient abonnées.
On note $a_n$ le nombre d'abonnés l'année $2010+n$,
ainsi, $a_0=4000$.
\bgen
\item Déterminer le nombre d'abonnés en 2011 puis 2012.
\item Déterminer $a_1$, $a_2$, $a_3$ et $a_4$.
\item Exprimer le nombre d'abonnés $a_{n+1}$ en fonction du nombre
d'abonnés $a_n$.
\item Calculer à l'aide de la calculatrice le nombre d'abonnés en
$2025$.
\item Vers quelle valeur semble se stabiliser la suite $a_n$ ?
\enen
\enex
\bgex
En Inde, un roi, à qui un mathématicien venait de présenter le jeu
d'échec, fut si émerveillé qu'il lui proposa de choisir lui-même sa
récompense.
Le mathématicien demanda au roi de le récompenser en grains de blé de la façon
suivante:
\bgit
\item sur la 1ère case de l'échiquier, 1 grain de blé
\item sur la 2ème case, 2 grains de blé,
\item sur la 3ème case, 4 grains de blé,
\item et ainsi de suite, en déposant sur chaque case le
double de grains de celui de la case précédente.
\enit
\noindent
Un échiquier comporte 64 cases.
On note $u_n$ le nombre de grains de blé sur la n-ième case.
\bgen
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ?
\item On note $S$ la somme des grains de blé sur l'échiquier.
Ecrire un algorithme qui permet de calculer $S$.
Le programmer et donner la valeur de $S$.
\item Si un grain de riz pèse $0,2$g, donner, en tonnes, le poids de
blé sur l'échiquier.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $(v_n)$ définie par
$v_0=1$ et, pour tout entier $n$, $v_{n+1}=\dfrac12 v_n+3$.
\bgen
\item Calculer $v_1$, $v_2$ et $v_3$.
La suite $(v_n)$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
\item Calculer $v_{10}$ et $v_{100}$.
\item On définit la suite $(w_n)$ par $w_n=v_n-6$.
\bgen[a)]
\item Donner l'expression de $w_{n+1}$ en fonction de $v_n$, puis de
$w_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $(w_n)$ ?
Exprimer alors $w_n$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $w_n$, puis en fonction de $n$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $u$ définie par $u(0)=1$ et,
pour tout entier $n$, $u(n+1)=2u(n)+2n-1$.
\bgen
\item Calculer les premiers termes $u(1)$, $u(2)$ et $u(3)$.\\
La suite $u$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
\item On pose $v(n)=u(n)+2n+1$ pour tout $n$.
Calculer les premiers termes $v(1)$, $v(2)$ et $v(3)$ et
démontrer que cette suite $v$ est géométrique.
En déduire l'expression de $v(n)$ en fonction de $n$,
puis de $u(n)$ en fonction de $n$.
\enen
\enex
\bgex
Soit la suite $w$ définie par
$\la\bgar{ll} w(0)=-1 \\ w(n+1)=\dfrac9{6-w(n)} \enar\right.$.
\bgen
\item Calculer $w(1)$, $w(2)$ et $w(3)$.
\item La suite $w$ est-elle arithmétique ? géométrique ?
\item On définit la suite $z$ par $z(n)=\dfrac1{w(n)-3}$.
\bgen[a)]
\item Donner l'expression de $z(n+1)$ en fonction de $w(n)$, puis de
$z(n)$.
\item Quelle est la nature de la suite $z$ ?
Exprimer alors $z(n)$ en fonction de $n$.
\item Exprimer $w(n)$ en fonction de $z(n)$, puis en fonction de $n$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
