Source Latex: Devoir de mathématiques, 2nd degré, études de fonctions

Première S

2nd degré, études de fonctions

Devoir corrigé de mathématiques en 1ère S: second degré, variation de fonctions, fonctions associées, composition de fonctions. Position relative de deux courbes.
Fichier
Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques en 1ère S: second degré, variation de fonctions, fonctions associées, composition de fonctions. Position relative de deux courbes.
Niveau
Première S
Mots clé
second degré, résolution d'équations, tableau de signes, position relative de deux courbes, mathématiques, 1èreS, 1S, première S

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques de première S},
    pdftitle={Devoir de mathématiques de 1ère S, dérivées et tangentes},
    pdfkeywords={fonctions, dérivée, tangente, 2nd degré, trinome du second degré, devoir de mathématiques}
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\voffset=-2cm
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{xymaths - 1ère spécialité}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\hspace{5cm} 
{\Large Devoir surveillé}
\hfill $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}\,$S%3/10/2008
\vspace{0.8cm}

\bgex Résoudre les équations suivantes: 

\vspd
\bgit
\item[1)] $2x^2+5x-3=0$

\vspd
\item[2)] $x^2-5x-4=2$
\enit

\enex


\vspq
\bgex
$h$ est une fonction dont le tableau de variations est donné
ci-dessous: 

\vspd
\ct{
\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$ & $0$ &            &5 &&9        \\\hline
    & $9$ &            &  &&         \\
    &     & $\searrow$ &  &&          \\
$h$ &     &            &0 &&      \\
    &     &            &  &$\searrow$& \\
    &     &            &  &&$-1$ \\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
$f$ et $g$ sont les fonctions définies par $f(x)=\sqrt{x}$ et
$g(x)=x^2$. 
On note $u=f\circ h$ et $v=g\circ h$. 

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? (justifier
votre réponse). 

\vspd
\bgit
\item[1)] $u$ est définie sur $[0;9]$. \vspd
\item[2)] $u$ est décroissante sur $[0;5]$.  \vspd
\item[3)] $v$ est définie sur $[0;9]$.  \vspd
\item[4)] $v$ est décroissante sur $[0;9]$. 
\enit
\hfill{\it D'après BAC ES, 2004}
\enex


\vspq
\bgex On considère la fonction $f$ définie par l'expression 
$\dsp f(x)=\frac{-5x+1}{2x^2+x+1}$. 

\vspd
\bgit
\item[1)] Déterminer l'ensemble de définition de $f$. 

  \vspd
\item[2)] Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f(x)=1$ ?
\enit
\enex

\vspq
\bgex On considère la fonction $f$ définie sur $I=[-1;+\infty[$ par
    l'expression $f(x)=\sqrt{1+x}$. 

    On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction
    $f$. 

\vspt
\bgit
\item[1)] Préciser $f(-1)$, $f(0)$ et $f(1)$. 

\vspd
\item[2)] Dresser le tableau de variation de $f$. 

\vspd
\item[3)] Sur l'intervalle $I$, comparer 
  $\sqrt{1+x}$ et $\dsp 1+\frac{x}{2}$ (on pourra penser, par exemple,
  à comparer les carrés de ces deux expressions). 

  \vsp
  En déduire la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ par
  rapport à la droite $(\mathcal{D})$ d'équation 
  $\dsp y=1+\frac{x}{2}$.

\vspd
\item[4)] Tracer sur un même graphique $(\mathcal{C}_f)$ et
  $(\mathcal{D})$. 
\enit

\enex


\vspq
\bgex
 Soit $f$ et $g$ deux fonctions positives et croissantes sur $I$. 

Démontrer que la fonction produit $h=fg$ est croissante sur $I$. 

\enex

\end{document}

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