Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Dérivée des fonctions, position relative

Terminale générale, spécialité mathématiques

Dérivée des fonctions, position relative

Devoir corrigé de mathématiques de premirèe S: étude de fonctions, fonction dérivée pour l'étude du sens de variation et position relative de deux courbes
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques de premirèe S: étude de fonctions, fonction dérivée pour l'étude du sens de variation et position relative de deux courbes
Niveau
Terminale générale, spécialité mathématiques
Table des matières
  • Étude d'une fonction rationnelle
  • Position relative des courbes d'une fonction rationnelle et d'une fonction affine
  • Une inégalité à démontrer grâce à une étude de fonction et dérivée seconde
Mots clé
dérivée, étude de fonction, dérivée seconde, position relative de deux courbes, 1èreS, première S

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs



Quelques exercices corrigés

Exercices corrigés
2 limites à calculer


Exercices corrigés
Calculs de dérivées


Exercices corrigés
Étude complète de fonction


Exercices corrigés
Étude complète de fonction


Exercices corrigés
Limites, asymptotes, variation


Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques: dérivée},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={dérivée, fonction dérivée, courbe représentative, position relative, mathématiques, 1èreS, 1S, première S, 
    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths.fr - 1ère S}}
\rfoot{Correction du devoir de math\'ematiques - $1^{\text{ère}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

$1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$\ct{\bf \Large{Correction du devoir surveillé}}
\vspd
%\vspd

\bgex
Soit $\dsp f:x\mapsto \frac{x+5}{x^2-9}$. 

Les fonctions $u:x\mapsto x+5$ et $v:x\mapsto x^2-9$ sont dérivables
sur $\R$. De plus $v(x)=x^2-9=0$ pour $x=3$ et $x=-3$. 
La fonction $f$, quotient des fonctions $u$ et $v$ est donc dérivable
sur $\R\setminus\la-3;3\ra$. 

\[
\mbox{Pour tout } x\in\R\setminus\la-3;3\ra, 
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}=-\frac{x^2+10x+9}{(x^2-9)^2}
\]

Soit $P(x)=x^2+10x+9$. $-1$ est une racine évidente de $P$, et comme
le produit des racines est $9$, on en déduit que la deuxième racine
est $9$. 

\vsp
\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-9$&&$-3$&&$-1$&&$3$&&$+\infty$\\\hline
$x^2+10x+9$&&$+$&\zb&$-$&$|$&$-$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$(x^2-9)^2$&&$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$-$&\zb&$+$&\db&$+$&\zb&$-$&\db&$-$&\\\hline
      &&&&&&&$-\frac{1}{2}$&&&&\\
$f(x)$&&\Large{$\searrow$} &&\Large{$\nearrow$}
  &
  \psset{xunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0.1,0.1)
    \psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
    \psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
    \end{pspicture}
  &\Large{$\nearrow$}
  &&\Large{$\searrow$}
  &
  \psset{xunit=1cm}
  \begin{pspicture}(0.1,0.1)
    \psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
    \psline[linewidth=0.4pt](0.05,-.7)(0.05,.9)
    \end{pspicture}
  &\Large{$\nearrow$}&\\
      &&& $\frac{-1}{18}$&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-10,-5)(4,5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(7,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-5)(0,4)

%\multido{\i=0+1}{10}{
%  \psline[linewidth=0.4pt](\i,-0.2)(\i,8.5)
%}
%\multido{\i=1+1}{9}{
%  \rput(\i,-0.3){\i 0}
%}

%\multido{\i=0+1}{9}{
%  \psline[linewidth=0.4pt](-0.15,\i)(9.5,\i)
%}
%\multido{\i=1+1}{8}{
%  \rput(-0.5,\i){\i 00}
%}
%\rput(-0.3,-0.3){0}

\psplot[linewidth=1pt]{-10}{-3.1}{
  x 5 add 
  x x mul 9 sub 
  div
}
\psplot[linewidth=1pt]{-2.9}{2.7}{
  x 5 add 
  x x mul 9 sub 
  div
}
\psplot[linewidth=1pt]{3.35}{7}{
  x 5 add 
  x x mul 9 sub 
  div
}
\psline[linewidth=0.4pt](-3,-4.5)(-3,4)
\psline[linewidth=0.4pt](3,-4.5)(3,4)

\rput(4,3){$\mathcal{C}_f$}
\rput(-3.2,-0.2){$-3$}
\rput(3.2,-0.2){$3$}

\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-2.8,-0.5)(1,-0.5)
\end{pspicture}


\enex

\vspq
\bgex
Soit $\dsp g:x\mapsto \frac{2x^2+5x+4}{(x+2)^2}$, et 
$h:x\mapsto 2x+1$.

\vspd
\bgit
\item[a)] 
Les fonctions $u:x\mapsto 2x^2+5x+4$ et $v:x\mapsto (x+2)^2$ sont dérivables
sur $\R$. De plus $v(x)=0$ pour $x=-2$. 
La fonction $g$, quotient des fonctions $u$ et $v$ est donc dérivable
sur $\R\setminus\la-2\ra$. 

\vsp
Pour tout $x\in\R$, $u'x)=4x+5$, et $v'(x)=2(x+2)=2x+4$, et, 
\[ \mbox{Pour tout } x\in\R\setminus\la-2\ra, 
g'(x) = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
=\frac{3x^2+8x+4}{(x+2)^4}
\]

Soit $P(x)=3x^2+8x+4$. $\Delta=64-48=16=4^2$: le trinôme admet deux
racines réelles distinctes: $x_1=-2$ et $x_2=-\frac{2}{3}$. 

\begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-2$&&$-\frac{2}{3}$&&$+\infty$\\\hline
$3x^2+8x+4$&&$+$&\zb&$-$&\zb&$+$&\\\hline
$(x+2)^4$&&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$g'(x)$&&$+$&\db&$-$&\zb&$+$&\\\hline
$g$ &&\Large{$\nearrow$} &\db
  &\Large{$\searrow$} 
  &&\Large{$\nearrow$} &\\\hline
\end{tabular}

\vspd
\item[b)] Soit $d(x)=g(x)-h(x)$, alors, pour tout $x\not=-2$, 

  \[d(x)=\frac{2x^2+5x+4-(2x+1)(x+2)^2}{(x+2)^2}
  =\frac{-2x^3-7x^2-7x}{(x+2)^2}
  =-x\frac{2x^2+7x+7}{(x+2)^2}
  \]

  Soit $Q(x)=2x^2+7x+7$. $\Delta=49-56<0$: le trinôme n'admet aucune
  racine réelle. 

  \hspace{-1.5cm}
  \begin{minipage}{8.cm}
  \begin{tabular}{|c|lcccccr|}\hline
    $x$&$-\infty$&&$-2$&&$0$&&$+\infty$\\\hline
    $-x$&&$+$&$|$&$+$&\zb&$-$&\\\hline
    $Q(x)$&&$+$&$|$&$+$&$|$&$+$&\\\hline
    $(x+2)^2$&&$+$&\zb&$+$&$|$&$+$&\\\hline
    $d(x)$&&$+$&\db&$+$&\zb&$-$&\\\hline
  \end{tabular}
  \vspd
  On en déduit que $\mathcal{C}_g$ est au dessus de $\mathcal{C}_h$
  sur $]-\infty;-2[\,\cup\,]-2;0[$, et est au dessous sur 
      $]0;+\infty[$. 
  Les deux courbes se coupent une unique fois en $x=0$. 
  \enmp\hspace{0.4cm}
  \bgmp{8cm}
       c) 
       
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-10,-1)(4,8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-10,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,8)

\psplot[linewidth=1pt]{-10}{-2.82}{
  x x mul 2 mul 5 x mul add 4 add
  x 2 add x 2 add mul
  div
}
\psplot[linewidth=1pt]{-1.63}{4}{
  x x mul 2 mul 5 x mul add 4 add
  x 2 add x 2 add mul
  div
}
\psplot[linewidth=1pt]{-2}{3.5}{
  2 x mul 1 add
}
\psline[linewidth=0.4pt](-2,-1.5)(-2,8)

\rput(4,2.){$\mathcal{C}_g$}
\rput(4,7.4){$\mathcal{C}_h$}
\rput(-2.4,-0.3){$-2$}
\rput(-0.2,-0.3){$0$}

\psline[linewidth=0.4pt]{<->}(-1.9,0.875)(1,0.875)
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex

\vspq\vspq
\bgex
Soit $\dsp d(x)=1-\frac{x^2}{2}-\cos x$. 
$d$ est dérivable sur $\R$ car somme des fonctions 
$\dsp u:x\mapsto 1-\frac{x^2}{2}$ et 
$\dsp v:x\mapsto -\cos x$ qui sont dérivables sur $\R$, et, 
pour tout $x\in\R$, 
$d'(x)=-x+\sin x$. 

\vspd
Afin d'étudier le signe de $d'(x)$ on peut la dériver: 

$(d')'(x)=d''(x)=-1+\cos x$. 

Or, pour tout $x\in\R$, $\cos x\leq 1$, et donc, $d''(x)\leq 0$. 

\begin{tabular}{|c|lcccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$0$&&$+\infty$\\\hline
$d''(x)$&&&$-$&&\\\hline
$d'(x)$&
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(0,-0.4)(0.1,0.4)
    \psline[linewidth=0.6pt]{->}(1,0.2)(4,-0.4)
    \rput(2.4,0.){$0$}
  \end{pspicture}
  &&&&\\\hline
  $d'(x)$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline
        &&&$0$&&\\
  $d(x)$&&\Large{$\nearrow$} &&\Large{$\searrow$}&\\\hline
\end{tabular}

On en déduit que $d(x)\leq 0$ pour tout réel $x$, et donc que 
$\dsp 1-\frac{x^2}{2}\leq\cos x$. 

\enex

\end{document}


\enex


\end{document}

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