Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Généralités sur les fonctions

Première S

Généralités sur les fonctions

Devoir corrigé de mathématiques, première S: généralités sur les fonctions, ensemble de définition d'une fonction, intersection d'une parabole et d'une droite, étude du sens de variation (fonctions associées)
Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, première S: généralités sur les fonctions, ensemble de définition d'une fonction, intersection d'une parabole et d'une droite, étude du sens de variation (fonctions associées)
Niveau
Première S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, sens de variation, variation, intersection de courbe, ensemble de définition, étude de fonctions

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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
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\usepackage{hyperref}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques en 1S: dérivées},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques},
    pdfkeywords={Mathématiques, dérivabilité, nombre dérivé, fonction dérivée}
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
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    urlcolor = red
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{.5em}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths - 1èreS}}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - 1S - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}}


\bgex
\begin{enumerate}[a)]
\item 
\bgmp[t]{6.cm}
$\dsp h:x\mapsto \sqrt{(x-3)(5-x)}$. \ 

$x$ ne doit pas prendre de valeurs telles que $(x-3)(5-x)<0$, 
et donc, d'apr\`es le tableau de signes, 

\ul{$\mathcal{D}_h=[3;5]$}. 
\enmp
\bgmp[t]{10cm}
\[
\begin{tabular}[t]{|c|ccccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ & & $3$ & & $5$ & & $+\infty$ \\\hline
$x-3$ & & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$5-x$ & & $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ &\\\hline
$(x-3)(5-x)$ & & $-$ & \zb & $+$ & \zb & $-$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\item $\dsp g:x\mapsto \frac{\sqrt{3x-6}}{(x+3)(2x-5)}$. \ 
  $x$ ne doit pas prendre de valeurs telles que $3x-6<0$ et
  $(x+3)(2x-5)=0$, 
  soit $x<2$ et $x=-3$ et $x=\frac{5}{2}$. 
  Ainsi, \ul{$\mathcal{D}_g=[2;+\infty[\ \setminus \la\frac{5}{2}\ra$}. 
\end{enumerate}
\enex

\bgex
Soit $M(x;y)\in\mathcal{C}_f\cap\mathcal{C}_g$, 
alors on a, $y=f(x)=g(x)$. 
\[f(x)=g(x)\iff x^2+3x+4=-3x+4\iff x^2+6x=0\iff x(x+6)=0
\iff \Bigl( x=0 \text{ ou } x=-6\Bigr)\]
Ainsi ces courbes ont deux points d'intersection: 
$M_1(0;4)$ et $M_2(-6;22)$. 
\enex

\bgex
L'expression $f(x)$ est d\'efinie pour des valeurs de $x$ telles que
$x^2-3\not=0$, soit $x\not=-\sqrt{3}$ et $x\not=-\sqrt{3}$. 

Ainsi, l'ensemble de d\'efinition de $f$ est 
$\mathcal{D}_f=\R\setminus\la -\sqrt{3};\sqrt{3}\ra
=]-\infty;-\sqrt{3}[\cup]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\cup]\sqrt{3};+\infty[$.

\vspd 
Soit $u:x\mapsto x^2$ la fonction carr\'e. 
\[
\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-\sqrt{3}$ && $0$ && $\sqrt{3}$ && $+\infty$& \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u$} && 
\psline{->}(-0.6,0.6)(0.6,0.3)&
\rput(0.,0.3){$3$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(-0.1,0.)&
\rput(-0.5,-0.){$0$}&
\psline{->}(-1.1,0.)(-0.1,0.3)
\rput(0.,0.3){$3$}&
\psline{->}(-0.5,0.3)(0.7,0.6)&&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$u-3$}&&
\psline{->}(-0.6,0.6)(0.6,0.3)&
\rput(0.,0.3){$0$}&&
\psline{->}(-1.1,0.3)(-0.2,0.)&
\rput(-0.5,-0.){$-3$}&
\psline{->}(-1.,0.)(-0.1,0.3)
\rput(0.,0.3){$0$}&
\psline{->}(-0.5,0.3)(0.7,0.6)&&
\\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dfrac{1}{u-3}$}&&
\psline{->}(-0.8,0.)(0.6,0.6)&
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-1,0.)(-0.3,0.5)&
\rput(-0.6,0.5){$-\frac{1}{3}$}&
\psline{->}(-0.9,0.5)(-0.3,0.)
\psline(0,0.8)(0,-0.1)\psline(0.06,0.8)(0.06,-0.1)&&
\psline{->}(-0.8,0.6)(0.6,0.)&
\\\hline
\end{tabular}
\]

\enex


\bgex
\bgit
\item[a)] La fonction $-2u$ a un sens de variation contraire \`a celui
  de $u$, puis $f=-2u+1$ a le m\^eme sens de variation que $-2u$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
    &&&$2$&&&&\\
    $-2u$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
    &&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&0&
    \psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
    &0&&&&&&\\\hline
    &&&$3$&&&&\\
    $f=-2u+1$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.4)
    &&\psline{->}(-0.3,0.5)(0.3,0.2)&1&
    \psline{->}(-0.3,0.)(0.3,-0.3)&\\
    &1&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]

\vspd
\item[b)] La fonction $\sqrt{u}$ est d\'efinie lorsque $u(x)\geqslant0$, 
  donc pour $x\in[2\,;\,+\infty[$, et a sur cete intervalle le m\^eme
  sens que $u$. 

  La fonction $-\dfrac{1}{2}\sqrt{u}$ a ensuite un sens de variation
  contraire \`a celui de $\sqrt{u}$, puis 
  $-\dfrac{1}{2}\sqrt{u}+3$ a le m\^eme sens de variation que 
  $-\dfrac{1}{2}\sqrt{u}$. 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    $x$ & $2$ &&$+\infty$ \\\hline
    &&&\\
    $\sqrt{u}$ && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.5)&\\
    &0&&\\\hline
    &0&&\\
    $-\dfrac{1}{2}\sqrt{u}$ && \psline{->}(-0.3,0.5)(0.6,-0.3)&\\
    &&&\\\hline
    &3&&\\
    $-\dfrac{1}{2}\sqrt{u}+3$ && \psline{->}(-0.3,0.5)(0.6,-0.3)&\\
    &&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]

\vspd
\item[c)] La fonction $h=\dfrac{1}{u}$ est d\'efinie lorsque
  $u(x)\not=0$, donc pour $x\in]0\,;\,2[\cup]2\,;\,+\infty[$, et a sur
  cet intervalle, un sens de variation contraire \`a celui de $u$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
    $x$ & $0$ && $1$ && $2$ &&$+\infty$ \\\hline
    &&&$-1$&&&&\\
    $\dfrac{1}{u}$ &
    \psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(-0.08,-0.6)(-0.08,0.8)
& \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.3,0.5)
    &&\psline{->}(-0.3,0.6)(0.3,0.2)&
    \psline(0,-0.6)(0,0.8)\psline(0.08,-0.6)(0.08,0.8)
    &
    \psline{->}(-0.1,0.)(0.5,-0.4)&
    \\
    &&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}
  \]
\enit

\enex






\label{LastPage}
\end{document}

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