Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Dérivée, TVI et géométrie (coordonnées)
Première S
Dérivée, TVI et géométrie (coordonnées)
Devoir corrigé de mathématiques, première S: études de fonctions, dérivées. Position relative de deux courbes- Fichier
- Type: Corrigé de devoir
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- Description
- Devoir corrigé de mathématiques, première S: études de fonctions, dérivées. Position relative de deux courbes
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- Première S
- Mots clé
- Devoir corrigé de mathématiques, maths, 1S, première S, fonction dérivée, sens de variation, variation, position relative de courbes
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\documentclass[11pt,onecolumn,a4paper]{article} \usepackage[french]{babel} %\selectlanguage{francais} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{graphicx} \usepackage{epsf} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Corrigé du devoir de mathématiques}, pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques - Etudes de fonctions, dérivées}, pdfkeywords={corrigé du devoir de mathématiques, fonction, dérivée, sens de variation, poistion relative de courbes} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\ul}{\underline} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}{\overrightarrow} \newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \newcommand{\ct}{\centerline} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}} \newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \setlength{\columnsep}{30pt} % default=10pt \setlength{\columnseprule}{1pt} % default=0pt (no line) \setlength{\headsep}{0in} % default=0.35in \setlength{\parskip}{0ex} \setlength{\parindent}{0mm} \voffset=-1.5cm \textheight=27cm \textwidth=18.5cm \topmargin=0cm \headheight=-0.cm \footskip=1.cm \oddsidemargin=-1.cm \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/1S/Mathematiques-1S.php}{xymaths - 1èreS}} \rfoot{Corrigé du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \ct{\bf\LARGE{Corrig\'e du devoir de math\'ematiques}} \bgex Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R\setminus\la -\dfrac14\ra$ par l'expression $f(x)=\dfrac{x^2+3}{4x+1}$. $f=\dfrac{u}{v}$ avec $\la\bgar{ll} u(x)&=x^2+3 \\ v(x)&=4x+1 \enar\right.$ soit $\la\bgar{ll} u'(x)&=2x \\ v'(x)&=4 \enar\right.$ \vsp On a donc, $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x(4x+1)-(x^2+3)\tm4}{(4x+1)^2} =\dfrac{4x^2+2x-12}{(4x+1)^2} $ \vsp Le trin\^ome du num\'erateur a pour discriminant: $\Delta=2^2+4\tm4\tm(-12)=196=14^2>0$, et admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-2-14}{2\tm4}=-2$ et $x_1=\dfrac{-2+14}{2\tm4}=\dfrac32$ . \[\begin{tabular}{|c|ccccccccc|}\hline \rule[-0.3cm]{0.cm}{0.9cm} $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-\dfrac14$ && $\dfrac32$ && $+\infty$ \\\hline $4x^2+2x-12$ && $+$ &\zb&$-$&$|$ &$-$&\zb&$+$&\\\hline $(4x+1)^2$ && $+$ &$|$&$+$&\zb &$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\db &$-$&\zb&$+$&\\\hline &&&$-1$&&&&&&\\ $f(x)$ && \LARGE{$\nearrow$} && \LARGE{$\searrow$} &\psline(0,-.8)(0,.8)\psline(0.08,-.8)(0.08,.8)&\LARGE{$\searrow$} && \LARGE{$\nearrow$}&\\ &&&&&&&$\dfrac34$&&\\\hline \end{tabular} \bgar{ll} \bullet\ f(-2)=\dfrac{(-2)^2+3}{4\tm(-2)+1}=-1\\[0.5cm] \bullet\ f\lp\dfrac32\rp=\dfrac{\lp\dfrac32\rp^2+3}{4\tm\lp\dfrac32\rp+1} =\dfrac{\dfrac{21}{4}}{7} =\dfrac34\\ \enar \] \enex \bgex $f(x)-g(x)=\dfrac1x-(-x+2) =\dfrac{x^2-2x+1}{x} =\dfrac{(x-1)^2}{x}$. Comme pour tout réel $x$, $(x-1)^2\geqslant0$, on a: \bgit \item $\mathcal{C}_f$ est au-dessous de $\mathcal{C}_g$ sur $]-\infty;0[$ \item $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$ sur $]0;1[\cup]1;+\infty[$ \item $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent au point d'abscisse 1. \enit \enex \bgex \vspace{-3em} \bgen \item \bgen[a.] \item \bgmp[t]{8cm} Pour tout $x$ r\'eel, \[f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)\ .\] \enmp \bgmp{8cm} \[ \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $0$ && $1$ &&$+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline &&&$-1$&&&&\\ $f$ && \psline{->}(-0.6,-0.3)(0.3,0.4) &&\psline{->}(-0.4,0.4)(0.4,-0.3) && \psline{->}(-0.3,-0.3)(0.6,0.4)& \\ &&&&&$-2$&&\\\hline \end{tabular} \] \enmp \item \ \psset{unit=.9cm,arrowsize=5pt} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,1.6) \psline{->}(-3,0)(3,0) \psline{->}(0,-3.6)(0,2.5) \multido{\i=-2+1}{5}{ \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1) \rput(\i,-0.3){$\i$} } \multido{\i=-3+1}{6}{ \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i) \rput(-0.3,\i){$\i$} } \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.8}{1.9}{2 x 3 exp mul -3 x 2 exp mul add -1 add} \psline{<->}(-0.7,-1)(0.7,-1) \psline{<->}(0.3,-2)(1.7,-2) \end{pspicture} \enen \item \bgen[a.] \item On a $f(1)=-2<0$ et $f(2)=3>0$. De plus, $f$ est d\'erivable, strictement croissante sur $[1;2]$, donc, d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'ediaires, l'\'equation $f(x)=0$ admet sur $[1;2]$ une unique solution~$\alpha$. De plus, sur $]-\infty;1]$, le maximum de $f$ est $-1<0$, donc l'équation $f(x)=0$ n'admet aucune solution. Enfin, sur $[2;+\infty[$, $f$ est d\'erivable et strictement croissante avec $f(2)=3>0$, et donc l'\'equation $f(x)=0$ n'admet aucune solution sur $[2;+\infty[$. \vspd Finalement, l'\'equation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$ et $\alpha\in[1;2]$. \item Avec la calculatrice (un tableau de valeurs, ou par dichotomie), on trouve $1,67<\alpha<1,68$. \item On en d\'eduit le signe de $f(x)$: \vspace{-2.2em} \[ \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $\alpha$ &&$+\infty$ \\\hline $f(x)$ && $-$ & \zb & $+$ &\\\hline \end{tabular} \] \enen \item \bgen[a.] \item Pour tout nombre $x\not=-1$, $g'(x)=\dfrac{-1\tm(1+x^3)-(1-x)\tm3x^2}{\lp1+x^3\rp^2} =\dfrac{f(x)}{\lp1+x^3\rp^2} $ \item \[ \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-1$ && $\alpha$ &&$+\infty$ \\\hline $f(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline $\lp1+x^3\rp^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline &&&&&&&\\ $g$ && \Large{$\searrow$} &\psline(0,0.8)(0,-0.6)\psline(0.05,0.8)(0.05,-0.6)& \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\ &&&&&$g(\alpha)$&&\\\hline \end{tabular} \] \enen \enen \enex \bgex \bgen \item $f=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=x^2$ donc $u'(x)=2x$, et $v(x)=2(x-1)=2x-2$ donc $v'(x)=2$. Ainsi $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, soit $f'(x)=\dfrac{2x\tm2(x-1)-x^2\tm2x}{\lb2(x-1)\rb^2} =\dfrac{2x^2-4x}{4(x-1)^2}=\dfrac{2x(x-2)}{4(x-1)^2}$. \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & 1 && 2 && $+\infty$ \\\hline $2x(x-2)$ && $-$ &\zb& $+$ & \\\hline $4(x-1)^2$ & \zb & $+$ &$|$& $+$ & \\\hline $f'(x)$ & \db & $-$ &\zb&$+$& \\\hline &&&&&\\ $f$&\psline(0,-.6)(0,.8)\psline(.06,-.6)(.06,.8) &\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,.5)(.5,-.5)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,-.5)(.5,.5)&\\ &&&2&&\\\hline \end{tabular}\] \item $T:y=f'(3)(x-3)+f(3)$, avec $f(3)=\dfrac{3^2}{2(3-1)}=\dfrac94$ et $f'(3)=\dfrac{2\tm3(3-2)}{4(3-1)^2}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$, donc $T:y=\dfrac38(x-3)+\dfrac94=\dfrac38x+\dfrac98$. \item \[\psset{arrowsize=9pt}\begin{pspicture}(-1,-1)(5,3) \psline{->}(-1,0)(5,0) \psline{->}(0,-1)(0,3) \rput(1,1){$\tm$}\rput(1.2,1.2){$A$} \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,1)(0,1)\rput(1,-.2){1}\rput(-.2,1){1} \rput(3,0){$\tm$}\rput(3.2,.2){$M$}\rput(3,-.3){$x$} \psplot{-1}{5}{-.5 x mul 1.5 add} \psline(-.1,1.5)(.1,1.5)\rput(.2,1.6){$N$} \end{pspicture}\] \bgen[a)] \item Soit, comme $N$ appartient à l'axe des ordonnées, $N(0;y)$. Comme $N\in(AM)$, $\V{AN}$ et $\V{AM}$ sont colinéaires. Or $\V{AM}(x-1;-1)$ et $\V{AN}(-1;y-1)$, et donc \[N\in(AM)\iff (x-1)\tm(y-1)-(-1)\tm-1=0 \iff y=\dfrac{1}{x-1}+1=\dfrac{x}{x-1}\] Ainsi, $N\lp0;\dfrac{x}{x-1}\rp$. \item L'aire de $OMN$ est $\dfrac12 OM\tm ON=\dfrac12 x\tm \dfrac{x}{x-1}=f(x)$. \item D'après la question 1., l'aire minimale est 2 lorsque $x=2$. \enen \enen \enex \bgex \[\psset{arrowsize=9pt,unit=1.5cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-2)(8,4) \psline{->}(-5,0)(8,0) \psline{->}(0,-5)(0,4) \psplot{-5}{-.01}{1 x div} \psplot{.01}{7}{1 x div} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,.5)(0,.5)\rput(2,-.2){$a$}\rput[r](-.2,.5){$1/a$} \rput(2.1,.7){$A$} % y=-1/2^2(x-2)+1/2=-.25x+1 \psplot{-1}{5}{-.25 x mul 1 add} \rput(4,-.2){$B$} \rput(.2,1.15){$C$} \end{pspicture*}\] L'équation de la tangnete $T_a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit avec la dérivée $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$, \[y=-\dfrac{1}{a^2}(x-a)+\dfrac{1}{a} =-\dfrac{1}{a^2}x+\dfrac{2}{a}\] $T_a$ coupe l'axe des abscisses en $B\lp x_B;0\rp$ avec $0=-\dfrac{1}{a^2}x_B+\dfrac{2}{a} \iff x_B=2a$. Ainsi, $B(2a;0)$. $T_a$ coupe l'axe des ordonn\'ees en $C\lp 0;y_C\rp$ avec $y_C=-\dfrac{1}{a^2}\tm0+\dfrac{2}{a}$, d'o\`u, $y_c=\dfrac{2}{a}$. Ainsi, $C\lp0;\dfrac2a\rp$ \vspd Les coordonn\'ees du milieu$I$ de $[BC]$ sont alors $x_I=\dfrac{x_B+x_C}{2}=\dfrac{2a+0}{2}=a$ et $y_I=\dfrac{y_B+y_c}{2}=\dfrac{0+\dfrac2a}{2}=\dfrac1a$, soit $I\lp a;\dfrac{1}{a}\rp$, c'est-\`a-dire les coordonn\'ees du point $A$. \enex \label{LastPage} \end{document}
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