Source Latex: Cours de mathématiques, Vecteurs et équations de droites
1ère S
Vecteurs et équations de droites
Cours de mathématiques - Géométrie vectorielle analytique: vecteurs et équations de droites, réduite et cartésienne- Fichier
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- Description
- Cours de mathématiques - Géométrie vectorielle analytique: vecteurs et équations de droites, réduite et cartésienne
- Niveau
- 1ère S
- Table des matières
- Rappels: repère, coordonnées et équation réduite de droite
- Vecteurs colinéaires
- Equation cartésienne d'une droite Exercices
- Mots clé
- géométrie, équation de droites, vecteurs, coordonnées, cours de mathématiques, maths, 1S, 1ère S, première
- Voir aussi:
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} \usepackage{graphicx} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Cours math�matiques: algorithmique}, pdftitle={Algorithmique}, pdfkeywords={Math�matiques, 1S, premi�re S, g�om�trie, vecteurs, droites, coordonn�es, rep�re, �quation de droite, �quation cart�sienne} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1.2cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} \def\C{{\rm C\kern-4.7pt \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \headheight=0cm \textheight=26.cm \topmargin=-1.8cm \footskip=1.5cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.3cm} \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{D�monstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} \renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{G�om�trie vectorielle analytique} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}} \rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.5cm} \hfill{\LARGE \bf \TITLE} \hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$ \section{Rappels: Rep�re, coordonn�es et �quation r�duite de droite} \vspace{-0.4cm} \bgdef{ Un rep�re du plan est constitu� par: \bgit \item[$\bullet$] le choix d'un point {\bf origine du rep�re} (not� en g�n�ral $O$) \item[$\bullet$] le choix d'un {\bf couple de vecteurs non colin�aires} (en g�n�ral $(\vec{i},\vec{j})$). \enit On note un tel rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \bgmp[t]{8cm} \begin{pspicture}(0,-1)(10,5) \rput(0,4.5){{\bf Rep�re orthonormal}} \rput(0,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$, et $\|\vec{i}\|=\|\vec{j}\|$} \rput(-0.3,-0.3){$O$} \psline(-2.4,0)(2.4,0)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0) \rput(.5,-0.3){$\vec{i}$} \psline(0,-2.4)(0,3.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1) \rput(-0.3,0.5){$\vec{j}$} \multido{\i=-2+1}{5}{ \psline[linestyle=dashed](\i,-2.2)(\i,3.2) } \multido{\i=-2+1}{6}{ \psline[linestyle=dashed](-2.2,\i)(2.2,\i) } \rput(5,4.5){{\bf Rep�re orthogonal}} \rput(5,4){$\vec{i}\perp\vec{j}$} \rput(4.7,-1.3){$O$} \psline(2.6,-1)(7.4,-1)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(6,-1) \rput(5.5,-1.3){$\vec{i}$} \psline(5,-3.4)(5,2.4)\psline[linewidth=1.4pt]{->}(5,-1)(5,1) \rput(4.7,-.5){$\vec{j}$} \multido{\i=3+1}{5}{ \psline[linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,3.2) } \multido{\i=-3+2}{4}{ \psline[linestyle=dashed](2.8,\i)(7.2,\i) } \rput(12,4.5){{\bf Rep�re quelconque}} \rput(12,4){$\vec{i}$, $\vec{j}$ quelconques} \end{pspicture} \enmp \bgmp{8cm}\vspace{-3cm} \scalebox{0.8}{ \psset{unit=1cm} \newlength{\xydef}\setlength{\xydef}{1.5cm} \begin{pspicture}*(-3.5,-5)(7,5) % Les axes principauex : \psline[linewidth=1.5pt](-6.8,0)(7.,0) \psline[linewidth=1.5pt](-2.2,-3.3)(2.2,3.3) % Le quadrillage : \newlength{\tmpxd}\newlength{\tmpxf} \multido{\n=-6+1.5}{12}{ \setlength{\tmpxd}{-2cm-\n\xydef} \setlength{\tmpxf}{2cm-\n\xydef} \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](\tmpxd,-3)(\tmpxf,3) } \multido{\n=-3+1.0}{7}{ \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.6pt](-7,\n)(7,\n) } % On indique le rep�re en rouge : \put(-.6,-.45){{$O$}} \psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(2.3,0) \put(0.4,-0.5){{$\vec{i}$}} \psline[linewidth=3pt]{->}(0,0)(0.667,1) \put(-0.2,0.4){{$\vec{j}$}} \end{pspicture} } \enmp } \vspace{-0.5cm} \noindent \bgmp{12cm} \bgth{ Dans le rep�re $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, tout point $M$ du plan admet un unique couple de coordonn�es $(x;y)$ tel que \[\V{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}\] Les coordonn�es d'un vecteur $\vec{w}$ sont celles du point $M$ tel que $\V{OM}=\vec{w}$. } \enmp\hfill \bgmp{5cm} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1.5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.5,-0.2){$\vec{i}$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.3,0.9)\rput(-0.1,0.45){$\vec{j}$} \psline(-0.4,0)(3,0) \psline(-0.3,-.9)(0.6,1.8)\rput(-0.3,-0.2){$O$} \psline{->}(0,0)(2.2,1.2) \psline[linestyle=dashed](1.8,0)(2.2,1.2) \psline[linestyle=dashed](0.4,1.2)(2.2,1.2) \rput(2.4,1.4){$M$}\rput(1,0.8){$\vec{w}$} \rput(1.8,-0.2){$x$} \rput(0.2,1.2){$y$} \end{pspicture} \enmp \vspace{-0.2cm} \bgprop{ Dans le rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \bgit \item[1)] Deux vecteurs sont �gaux si et seulement si ils ont les m�mes coordonn�es: \[ \mbox{ si }\ \vec{u}(x;y) \ \mbox{ et, }\ \vec{v}(x';y') \ \mbox{alors, }\ \vec{u}=\vec{v} \Longleftrightarrow \la\bgar{l}x=x'\\y=y'\enar\right.\] \item[2)] Si $\vec{u}$ a pour coordonn�es $(x;y)$ et $\vec{v}$ a pour coordonn�es $(x';y')$, alors $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonn�es $(x+x';y+y')$. Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonn�es $(kx;ky)$. \item[3)] Si $A$ et $B$ sont deux points de coordonn�es $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$ alors, \bgit \item[$\bullet$] $\V{AB}$ a pour coordonn�es $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ \item[$\bullet$] le milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonn�es $\dsp \lp\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\rp$ \item[$\bullet$] si le rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$ est orthonormal, alors la longueur du vecteur $\V{AB}$ est \[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\] \enit \enit } \bgex Soit dans un rep�re les points $A(-1;1)$, $B(2;3)$, $C(-2;-4)$ et $D(1;-2)$. Montrer de deux mani�res diff�rentes que le quadrilat�re $ABDC$ est un parall�logramme. \enex \bgex Soit dans un rep�re $A(2;3)$, $B(-5;7)$ et $C(3;-12)$. D�terminer les coordonn�es des vecteurs $\V{AB}$, $\V{BC}$, $\V{AC}$, et $\vec{u}=\V{AB}+\V{BC}$. Que retrouve-t-on ? \enex \bgprop{{\bf Equation r�duite d'une droite} Toute droite $D$ non parall�le � l'axe des ordonn�es admet une �quation de la forme $y=ax+b$ o� $a$ et $b$ sont deux nombres r�els, \bgit \item[$\bullet$] le point $A(0;b)$ appartient � la droite $D$; $b$ s'appelle ainsi l'ordonn�e � l'origine de la droite $D$. \item[$\bullet$] Lorsque $x$ augmente de $1$, $y$ varie de $a$; $a$ s'appelle le coefficient directeur de la droite. \enit } \vspq\noindent \ul{Remarque:} Toute droite d'�quation $y=ax+b$ est la repr�sentation graphique de la fonction affine $f(x)=ax+b$. Les points de $\Cf$ sont les points $M(x;y)$ tels que $y=f(x)$, soit $y=ax+b$. \psset{xunit=.9cm,yunit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-5,-4)(5,6) \rput(-2.8,5){\ul{Exemple:}\ \ $D:y=2x-2$} \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2,0)(5,0) \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,5) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1) \psplot{-0.8}{3.5}{2 x mul -2 add}\rput(4,5){$D$} \psline[linestyle=dashed]{->}(2,2)(3,2) \rput(2.5,1.7){$1$} \psline[linestyle=dashed]{->}(3,2)(3,4) \rput(3.8,3){$a=2$} \psline(-0.2,-2)(0.2,-2)\rput(-1,-2){$b=-2$} \end{pspicture} \bgex Tracer les droites $D_1:y=3x-2$ et $D_2:y=-2x+1$. \enex \bgprop{Les droites d'�quations $y=ax+b$ et $y=a'x+b'$ sont parall�les si et seulement si $a=a'$. } \section{Vecteurs colin�aires} \bgdef{ Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colin�aires lorsqu'ils ont la m�me direction. } \bgth{ \bgit \item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{CD}$ sont colin�aires si et seulement si les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parall�les. \item[$\bullet$] Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colin�aires si et seulement si il existe un nombre r�el $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$, c'est-�-dire si et seulement si les $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont proportionnels. \enit } \bgth{Les vecteurs $\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$ sont colin�aires si et seulement si $xy'-x'y=0$. } \bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont colin�aires. \vsp\noindent a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$. \hspace{1cm} b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$. \hspace{1cm} c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$. \enex \pagebreak \bgex Dans un rep�re, soit les vecteurs $\vec{u}(2;3)$, $\vec{v}(-4;6)$ et $\vec{w}(-4;3)$. Le vecteur $\vec{z}=2\vec{u}-3\vec{v}$ est-il colin�aire au vecteur $\vec{w}$ ? \enex \bgex Dans chaque cas, d�terminer le r�el $m$ pour que les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colin�aires. \noindent a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$. \hspace{0.5cm} b) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$. \hspace{0.5cm} c) $\dsp\vec{u}(2m;3m)$ et $\vec{v}(-2;3m)$ \enex \bgprop{ \bgit \item[$\bullet$] Trois points $A$, $B$ et $C$ sont align�s si et seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$ sont colin�aires. \item[$\bullet$] Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parall�les si et seulement si les vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$ sont colin�aires. \enit } \bgex Dans un rep�re, on donne les points: \[ A(-2;1)\ ;\ B(3;3) \ ;\ C\lp 1;\frac{11}{5}\rp\ ;\ D\lp\frac{45}{2};\frac{54}{5}\rp \] \bgit \item[a)] D�montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont align�s. \item[b)] Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils align�s ? \enit \enex \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(-2;3)$, $B(4;7)$ et $C(3;2)$. \bgen \item D�montrer que les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parall�les. \item $M(x;0)$ est un point de l'axe des abscisses. Calculer $x$ pour que $A$, $B$ et $M$ soient align�s. \enen \enex \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(-3;2)$ et $B(-1;7)$. Le point $M\lp-6;-\dfrac{11}{2}\rp$ est-il un point de $(AB)$ ? \enex \section{Equation cart�sienne d'une droite} \noindent \bgmp{12cm} \bgdef{ Un vecteur directeur d'une droite $d$ est un vecteur $\vec{u}$, non nul, dont la direction est celle de $d$. } \enmp\hfill \bgmp{5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-1)(2,1) \psline(-0.9,-0.3)(4.2,1.4)\rput(4,1.6){$d$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.6,0.2)(1.8,0.6)\rput(1.1,0.7){$\vec{u}$} \rput(0,0){$\tm$}\rput(0,0.3){$A$} \rput(2.7,0.9){$\tm$}\rput(2.7,1.2){$B$} \psline[linewidth=1.5pt]{->}(1.8,-0.8)(3,-0.4)\rput(2.4,-0.3){$\vec{u}$} \end{pspicture} \enmp \vspd\noindent \ul{Remarques:} \bgit \item[$\bullet$] Si $A$ et $B$ sont deux points de la droite $d$, alors $\V{AB}$ est un vecteur directeur de $d$. \item[$\bullet$] Si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, alors pour tout r�el $k$, $k\not=0$, $k\vec{u}$ est aussi un vecteur directeur de $d$. \enit \bgth{ Soit $d$ et $d'$ deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$, alors \[ d /\!\!/ d' \iff \vec{u} \mbox{ et } \vec{u}' \mbox{ colin�aires} \] } \bgth{Dans un rep�re, \bgen \item Toute droite $d$ a une �quation de la forme $ax+by+c=0$, avec $a\not=0$ ou $b\not=0$. Le vecteur $\vec{u}(-b;a)$ est alors un vecteur directeur de $d$. \item Si $a$, $b$ et $c$ sont trois r�els, avec $a\not=0$ ou $b\not=0$, alors l'ensemble des points $M(x;y)$ du plan tels que $ax+by+c=0$ est une droite de vecteur directeur $\vec{u}(-b;a)$. \enen \vspd Une �quation de la forme $ax+by+c=0$ s'appelle une {\bf �quation cart�sienne} de la droite $d$. } \bgproof{ \bgen \item Soit une droite $d$, $A(x_0;y_0)$ un point de $d$, et $\vec{u}(p;q)$ un vecteur directeur de $d$. Soit $M(x;y)$ un point de $d$, alors les vecteurs $\vec{u}(p;q)$ et $\V{AM}(x-x_0;y-y_0)$ sont colin�aires, donc, $p(y-y_0)-q(x-x_0)=0 \iff py-qx-py_0+qx_0=0 \iff ax+by+c=0$ avec $a=-q$, $b=p$ et $c=py_0-qx_0$. \item R�ciproquement, soit $d$ l'ensemble des points $M(x;y)$ tels que $ax+by+c=0$, alors, \bgit \item[$\bullet$] si $b\not=0$, $ax+by+c=0\iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}$. Cette �quation est de la forme $y=mx+p$ qui est l'�quation r�duite d'une droite. \item[$\bullet$] si $b=0$, alors $a\not=0$, et $ax+by+c=0\iff ax+c=0 \iff x=-\dfrac{c}{a}$, qui est l'�quation de la droite d'�quation $x=-\dfrac{c}{a}$ parall�le � l'axe des ordonn�es. \enit \enen } \bgex Donner une �quation cart�sienne de la droite $d$ d'�quation $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{5}$. \enex \bgex Dans chacun des cas, dire si les droites $d$ et $d'$ sont parall�les: \bgen \item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations $2x-3y+67=0$ et $8x-12y+0,3=0$. \item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations $x-\dfrac{4}{7}y+2=0$ et $\dfrac{5}{3}x-y+3=0$. \item $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}=\dfrac{-9}{2}\vec{i}+3\vec{j}$ et $d'$ a pour �quation $2x+3y-3=0$. \enen \enex \bgcorol{ La droite d'�quation r�duite $y=mx+p$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1;m)$. } \bgproof{ $y=mx+p \iff mx-y+p=0$, et les coordonn�es d'un vecteur directeur se trouve en utilisant le th�or�me pr�c�dent: $\vec{u}\lp-(-1);m\rp=(1;m)$. } \bgex D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par $A(-2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(2;3)$. \enex \bgex On donne les points $A(1;-1)$ et $B(3;2)$. D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par $A$ et $B$. \enex \bgex D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point $A(-5;3)$ et qui a pour coefficient directeur $m=\dfrac{2}{3}$. \enex \bgex Dans un rep�re $(0;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(5;-1)$. \bgen \item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$. \item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d'$ passant par $A$ et parall�le � $(BC)$. \enen \enex \bgex \bgen \item D�montrer que les droites d'�quations respectives $5x-2y-4=0$ et $y=-2,5x+0,5$ ne sont pas parall�les. \item Tracer ces droites dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \item Quelles sont les coordonn�es de leur point d'intersection ? \enen \enex \bgex Pour quelle valeur du nombre $m$, les droites $d$ et $d'$ d'�quations respectives $3x+y=0$ et $(2m-1)x+(m-3)y-1=0$ sont-elles parall�les ? \enex \bgex \bgen \item Les vecteurs $\vec{u}\lp2\sqrt{3};3\rp$ et $\vec{v}\lp4;2\sqrt{3}\rp$ sont-ils colin�aires ? \item Le point $A(6;3)$ est-il un point de la droite $d: 2x-5y+3=0$ ? \item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point $A(0;2)$ et de coefficient directeur~$3$. \item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par $A(1;5)$ et $B(-102;-201)$. \item La droite $d$ passant par les points $A(-3;22)$ et $B(112;-553)$ est-elle parall�le � la droite $d'$ dont le coefficient directeur vaut $-5$ ? \item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$. Quelle est son ordonn�e � l'origine ? \item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$. D�terminer les coordonn�es des points d'intersection de la droite $d$ avec les axes du rep�re. \item Soit la droite $d$ d'�quation $3y-x+1=0$. Donner un point et un vecteur directeur de $d$. \item Trouver une �quation de la droite $\Delta$ passant par le point $A(-1;4)$ et parall�le � la droite $d$ d'�quation $3x-2y+1=0$. \item Trouver une �quation de la droite $d$ passant par le point $C(3;2)$ et parall�le � la droite $d$ passant par les points $A(-1;5)$ et $B(2;-2)$. \enen \enex \bgex Soit $\Delta$ la droite passant par le point $M(1;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;3)$. Soit de plus les points $A(8;7)$ et $B(-2;3)$. La droite $\Delta$ passe-t-elle par le milieu $I$ de $[AB]$ ? \enex \bgex Dans chacun des cas suivants, dire si les droites $d$ et $d'$ sont confondues, parall�les distinctes ou s�cantes. Si ces droites sont s�cantes, calculer les coordonn�es de leur point d'intersection. \vspd \begin{tabular}{*4{p{4.4cm}}} a)\ $\la\bgar{ll} 2x-y+5=0\\ 3x-5y+6=0\enar\right.$ &b)\ $\la\bgar{ll} 8x+2y+6=0\\ 3x+\dfrac{3}{4}y-5=0\enar\right.$ &c)\ $\la\bgar{ll} x+3y-6=0\\ \dfrac{1}{3}x+y-2=0\enar\right.$ \end{tabular} \enex \bgex V�rifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colin�aires, et d�terminer des r�els $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. \bgen \item $\vec{u}(3;-1)$; $\vec{v}(1;4)$; $\vec{w}(5;7)$. \item $\vec{u}\lp\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4}\rp$; $\vec{v}(-4;1)$; $\vec{w}(-2;4)$. \enen \enex \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, la droite $d_1$ passe par le point $A(4;3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(3;2)$. La droite $d_2$ passe par le point $B(6;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}(2;-1)$. $d_3$ est une droite passant par $C(4;-2)$ et $\vec{w}$ est un de ses vecteurs directeurs. \vsp D�montrer que $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont concourantes si et seulement si $\vec{w}$ est colin�aire au vecteur $4\vec{i}-9\vec{j}$. \enex \label{LastPage} \end{document}
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