Source Latex: Exercices de mathématiques, Vecteurs et équations de droites
1ère S
Vecteurs et équations de droites
Exercices (non corrigés) de mathématiques - Géométrie vectorielle analytique: vecteurs et équations de droites, réduite et cartésienne- Fichier
- Type: Exercices
- File type: Latex, tex (source)
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- Description
- Exercices (non corrigés) de mathématiques - Géométrie vectorielle analytique: vecteurs et équations de droites, réduite et cartésienne
- Niveau
- 1ère S
- Mots clé
- géométrie, équation de droites, vecteurs, coordonnées, exercices de mathématiques, maths, 1S, 1ère S, première
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\documentclass[12pt]{article} %\usepackage{french} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{array} %\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{pst-all} \usepackage{pstricks-add} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Cours math�matiques: vecteurs et droites}, pdftitle={G�om�trie vectorielle analytique}, pdfkeywords={Math�matiques, exercices, 1S, premi�re, S, g�om�trie, vecteurs, droites, �quation de droite, rep�re, coordonn�es} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } \voffset=-1cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\tht{\theta} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=26cm \topmargin=-1.8cm \footskip=0.8cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.3cm} \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{D�monstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} \renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}} % Bandeau en bas de page \newcommand{\TITLE}{G�om�trie vectorielle analytique - Exercices} \author{Y. Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}} \rfoot{\TITLE\, - 1$^\text{�re}$S - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{}%\TITLE\\$1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{-0.5cm} \hfill{\LARGE \bf \TITLE} \hfill $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$ %\vspace{0.4cm} \bgex Soit dans un rep�re les points $A(-1;1)$, $B(2;3)$, $C(-2;-4)$ et $D(1;-2)$. Montrer de deux mani�res diff�rentes que le quadrilat�re $ABDC$ est un parall�logramme. \vsp On suppose de plus que le rep�re est orthonorm�. Calculer $AB$, $BC$, $CD$ et $DA$. \enex \bgex Soit dans un rep�re $A(2;3)$, $B(-5;7)$ et $C(3;-12)$. D�terminer les coordonn�es des vecteurs $\V{AB}$, $\V{BC}$, $\V{AC}$, et $\vec{u}=\V{AB}+\V{BC}$. Que retrouve-t-on ? \enex \bgex Soit dans un rep�re $A(3;4)$, $B(12;6)$ et $C(-2;1)$. D�terminer les coordonn�es du point $D$ tel que $ABDC$ soit un parall�logramme. \enex \bgex Soit dans un RON les points $A(-2;1)$ et $B(4;1)$ et le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$. D�terminer les points de $\mathcal{C}$ d'ordonn�e $3$. \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Tracer les droites $D_1:y=3x-2$ et $D_2:y=-2x+1$. \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Dans chaque cas, dire si les vecteurs sont colin�aires. \vsp\noindent a) $\dsp\vec{u}\lp2;-3\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-1;\frac{3}{2}\rp$. \hspace{1cm} b) $\dsp\vec{u}\lp\frac{1}{2};\frac{1}{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp\frac{4}{5};\frac{3}{3}\rp$. \hspace{1cm} c) $\dsp\vec{u}\lp\sqrt{2};\sqrt{3}\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp-2;-\sqrt{6}\rp$. \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Dans un rep�re, soit les vecteurs $\vec{u}(2;3)$, $\vec{v}(-4;6)$ et $\vec{w}(-4;3)$. Le vecteur $\vec{z}=2\vec{u}-3\vec{v}$ est-il colin�aire au vecteur $\vec{w}$ ? \enex \bgex Dans chaque cas, d�terminer le r�el $m$ pour que les deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colin�aires. \noindent a) $\dsp\vec{u}\lp2;6\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp m;3\rp$. \hspace{0.5cm} b) $\dsp\vec{u}\lp27;2m\rp$ et $\dsp\vec{v}\lp2m;3\rp$. \hspace{0.5cm} c) $\dsp\vec{u}(2m;3m)$ et $\vec{v}(-2;3m)$ \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Dans un rep�re, on donne les points: $\dsp A(-2;1)\ ;\ B(3;3) \ ;\ C\lp 1;\frac{11}{5}\rp\ ;\ D\lp\frac{45}{2};\frac{54}{5}\rp $. \vspace{-0.2cm} \bgit \item[a)] D�montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont align�s. \item[b)] Les points $A$, $B$ et $D$ sont ils align�s ? \enit \enex \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(-2;3)$, $B(4;7)$ et $C(3;2)$. \bgen \item D�montrer que les droites $(AB)$ et $(OC)$ sont parall�les. \item $M(x;0)$ est un point de l'axe des abscisses. Calculer $x$ pour que $A$, $B$ et $M$ soient align�s. \enen \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(-3;2)$ et $B(-1;7)$. Le point $M\lp-6;-\dfrac{11}{2}\rp$ est-il un point de $(AB)$ ? \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Donner une �quation cart�sienne de la droite $d$ d'�quation $y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{5}$. \enex \bgex Dans chacun des cas, dire si les droites $d$ et $d'$ sont parall�les: \bgen \item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations $2x-3y+67=0$ et $8x-12y+0,3=0$. \item Les droites $d$ et $d'$ ont pour �quations $x-\dfrac{4}{7}y+2=0$ et $\dfrac{5}{3}x-y+3=0$. \vspace{-0.2cm} \item $d$ a pour vecteur directeur $\vec{u}=\dfrac{-9}{2}\vec{i}+3\vec{j}$ et $d'$ a pour �quation $2x+3y-3=0$. \enen \enex \vspace{-.2cm} \bgex D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par $A(-2;5)$ et de vecteur directeur $\vec{u}=(2;3)$. \enex \bgex On donne les points $A(1;-1)$ et $B(3;2)$. D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par $A$ et $B$. \enex \clearpage \bgex D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point $A(-5;3)$ et qui a pour coefficient directeur $m=\dfrac{2}{3}$. \enex \bgex Dans un rep�re $(0;\vec{i},\vec{j})$, on donne les points $A(1;5)$, $B(-3;2)$ et $C(5;-1)$. \bgen \item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}(3;1)$. \item D�terminer une �quation cart�sienne de la droite $d'$ passant par $A$ et parall�le � $(BC)$. \enen \enex \vspace{-0.4cm} \bgex \bgen \item D�montrer que les droites d'�quations respectives $5x-2y-4=0$ et $y=-2,5x+0,5$ ne sont pas parall�les. \item Tracer ces droites dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$. \item Quelles sont les coordonn�es de leur point d'intersection ? \enen \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Pour quelle valeur du nombre $m$, les droites $d$ et $d'$ d'�quations respectives $3x+y=0$ et $(2m-1)x+(m-3)y-1=0$ sont-elles parall�les ? \enex \vspace{-0.2cm} \bgex \bgen \item Les vecteurs $\vec{u}\lp2\sqrt{3};3\rp$ et $\vec{v}(4;2\sqrt{3})$ sont-ils colin�aires ? \item Le point $A(6;3)$ est-il un point de la droite $d: 2x-5y+3=0$ ? \item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par le point $A(0;2)$ et de coefficient directeur~$3$. \item D�terminer une �quation de la droite $d$ passant par $A(1;5)$ et $B(-102;-201)$. \item La droite $d$ passant par les points $A(-3;22)$ et $B(112;-553)$ est-elle parall�le � la droite $d'$ dont le coefficient directeur vaut $-5$ ? \item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$. Quelle est son ordonn�e � l'origine ? \item La droite $d$ a pour �quation $2x-3y+5=0$. D�terminer les coordonn�es des points d'intersection de la droite $d$ avec les axes du rep�re. \item Soit la droite $d$ d'�quation $3y-x+1=0$. Donner un point et un vecteur directeur de $d$. \item Trouver une �quation de la droite $\Delta$ passant par le point $A(-1;4)$ et parall�le � la droite $d$ d'�quation $3x-2y+1=0$. \item Trouver une �quation de la droite $d$ passant par le point $C(3;2)$ et parall�le � la droite $d$ passant par les points $A(-1;5)$ et $B(2;-2)$. \enen \enex \vspace{-0.2cm} \bgex Soit $\Delta$ la droite passant par le point $M(1;-1)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;3)$. Soit de plus les points $A(8;7)$ et $B(-2;3)$. La droite $\Delta$ passe-t-elle par le milieu $I$ de $[AB]$ ? \enex \bgex Dans chacun des cas suivants, dire si les droites $d$ et $d'$ sont confondues, parall�les distinctes ou s�cantes. Si ces droites sont s�cantes, calculer les coordonn�es de leur point d'intersection. \vspd \begin{tabular}{*4{p{4.4cm}}} a)\ $\la\bgar{ll} 2x-y+5=0\\ 3x-5y+6=0\enar\right.$ &b)\ $\la\bgar{ll} 8x+2y+6=0\\ 3x+\dfrac{3}{4}y-5=0\enar\right.$ &c)\ $\la\bgar{ll} x+3y-6=0\\ \dfrac{1}{3}x+y-2=0\enar\right.$ \end{tabular} \enex \bgex V�rifier que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colin�aires, et d�terminer des r�els $a$ et $b$ tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. \bgen \item $\vec{u}(3;-1)$; $\vec{v}(1;4)$; $\vec{w}(5;7)$. \item $\vec{u}\lp\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{4}\rp$; $\vec{v}(-4;1)$; $\vec{w}(-2;4)$. \enen \enex \bgex Dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j})$, la droite $d_1$ passe par le point $A(4;3)$ et a pour vecteur directeur $\vec{u}(3;2)$. La droite $d_2$ passe par le point $B(6;0)$ et a pour vecteur directeur $\vec{v}(2;-1)$. $d_3$ est une droite passant par $C(4;-2)$ et $\vec{w}$ est un de ses vecteurs directeurs. \vsp D�montrer que $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont concourantes si et seulement si $\vec{w}$ est colin�aire au vecteur $4\vec{i}-9\vec{j}$. \enex \label{LastPage} \end{document}
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Quelques devoirs
Interrogation de début d'année en 1èreS: définition de la courbe représentative d'une fonction, alingment de points dans le plan, tableau de signes et intersection de deux courbes
Barycentres et lieux de points:lignes de niveau. Étude fonctions: dérivée, tangente, limites et asymptote
Produit scalaire et applications: calcul d'angle, ensemble de points, équation cartésienne de cercle et de droite, vecteur normal et directeur. Équation trigonométrique.
Applications du produit scalaire: calcul d'un angle, équation cartésienne de cercle et sa tangente, médiatrice d'un segment, lieux de points. Droite normale à une courbe.
second degré, polynôme du 3ème degré: factorisation et signe, intersection d'une parabole et d'une droite, géométrie ananlytique et droites et cercles, équations cartésiennes.