Source Latex: Corrigé du devoir de mathématiques, Calcul numérique approché

IUT

Calcul numérique approché

Examen de modélisation et simulation mathématiques, calculs approchés d'équation, intégrale, dérivée et solution d'une équation différentielle
Fichier
Type: Corrigé de devoir
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Description
Examen de modélisation et simulation mathématiques, calculs approchés d'équation, intégrale, dérivée et solution d'une équation différentielle
Niveau
IUT
Table des matières
  • Progamme en Scilab
  • Résolution approchée d'une équation de degré 3
  • Calcul approché d'une intégrale
  • Approximation d'une dérivée
  • Résolution approchée d'une équation différentielle
Mots clé
calcul numérique, dichotomie, méthode de Newton, intégrale, rectangles à gauche, approximation d'une dérivée, méthode d'Euler, EDO, équation différentielle, Scilab

Sujet du devoir

Quelques autres devoirs


    Voir aussi:

    Documentation sur LaTeX     lien vers la documentation Latex
    Source Latex LaTex icone

    Source Latex 

    \documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}

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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Evaluation - Méthodes numériques},
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    pdfkeywords={méthodes numériques, TP, Silab, },
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}



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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Corrigé de l'évaluation: Modélisation \& simulation}
\title{\TITLE}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{\href{https://xymaths.fr/IUT/Modelisation-Simulation-Methodes-numeriques.php}{Y. Morel - \ul{IUT SGM}} - 2019/2020}
\rfoot{\TITLE - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\begin{document}

\vspace*{-2.5em}
\hspace*{-.6em}\includegraphics[scale=.6]{u.bx-img.eps}
\hfill
\includegraphics{IUT-sgm-img.eps}

%\vspace{14em}
\ct{\rule{15cm}{.5pt}}

\vspace{.4em}


\ct{\LARGE\textbf{MOD\'ELISATION ET SIMULATION}}

\vspace{1em}
\ct{\textsc\textbf{{Mercredi 20 janvier 2020 - 1h30}}}

\bigskip
\ct{\blue\large\textbf{Corrigé}}

\ct{\rule{15cm}{.5pt}}

\noindent\textbf{Exercice 1.} 
Le programme affiche 26: 

\noindent
u=1; s=1\\
u=3; s=4\\
u=7; s=11\\
u=15; s=26

\bigskip
\noindent\textbf{Exercice 2.} 
\bgen
\item  $f'(x)=6x^2+5$, or $x^2\geqslant0$ et donc 
  $f'(x)\geqslant5>0$ et 
  $f$ est croissante sur $\R$. 

  De plus $f(0)=-2<0$ et $f(1)=5>0$ et donc, 
  comme $f$ est continue sur $\R$, l'équation $f(x)=0$ admet 
  bien une unique solution sur $[0;1]$. 

\item 
  \bgen[$\bullet$]
  \item $m=(0+1)/2=0,5$ et $f(0,5)=0,75>0$ donc $\alpha\in]0;0,5[$. 
  \item $m=(0+0,5)/2=0,25$ et $f(0.25)\simeq-0,7<0$ donc $\alpha\in]0,25;0,5[$ 
  \item $m=(0,25+0,5)/2=0,375$ et $f(0,375)\simeq-0,02<0$ donc $\alpha\in]0,375,0,5[$ 
  \item $m=(0,375+0,5)/2=0,4375$ et $f(0,4375)\simeq0,3>0$ donc $\alpha\in]0,375,0,4375[$ 
  \enen
      
\item On part de $x_0=0$, et on trouve: 
  \bgen[$\bullet$] 
  \item $x_1=x_0-\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}= 0,4$
  \item $x_2=x_1-\dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)}\simeq 0,3785$
  \item $x_3=x_2-\dfrac{f(x_2)}{f'(x_2)}\simeq 0,3783$
  \item $x_4=x_3-\dfrac{f(x_3)}{f'(x_3)}\simeq -0,3783$
  \enen
\enen



\bigskip
\noindent\textbf{Exercice 3.} 

\bgen 
\item 
  \[I=\dsp\int_0^2 e^{0,5x}dx=\lb \dfrac{1}{0,5}e^{0,5x}\rb_0^2
  =2e^{1}-2\simeq 3,437\]

\item Avec $h=0,5$, on a 
  le maillage 
  $x_0=0$, $x_1=0,5$, $x_2=1$, $x_3=1,5$ et $x_4=2$ 
  et 
  \[\bgar{ll}\dsp I=\int_0^2 f(x)dx=h\sum_{i=0}^{n-1}f\lp x_i\rp
  &=0,5\Bigl( f(0) + f(0,5)+f(1)+f(1,5)\Bigr)\\
  &=3,025
  \enar\]


  L'erreur relative est
  \[\epsilon_r=\left|\dfrac{3,437-3,025}{3,437}\right|
  \simeq 0,12 =12\% \]

\item L'estimation numérique peut \^etre améliorée soit en 
  utilisant un maillage plus fin, une valeur plus petite pour le pas $h$, 
  ou en utilisant une autre méthode numérique, par exemple la méthode des trapèzes ou de Simpson. 
\enen

\bigskip
\noindent\textbf{Exercice 4.} 

\bgen
\item $f'(x)=3x^2$ et $f'(1)=3$. 
\item Schéma décentré à droite, avec un pas $h=0,1$, 
  $f'(1)\simeq \dfrac{f(1,1)-f(1)}{0,1}= 3,31$

  %avec un pas $h=0,01$, 
  %$f'(1)\simeq \dfrac{f(1,01)-f(1)}{0,01}= 3,03$

\item Schéma centré, avec un pas $h=0,1$, 
  $f'(1)\simeq \dfrac{f(1,1)-f(0,9)}{0,1}= 3,01$

  %avec un pas $h=0,01$, 
  %$f'(1)\simeq \dfrac{f(1,01)-f(0,99)}{0,01}= 3,0001$

\item Les erreurs relatives sont: 
  \bgit
  \item Schéma décentré: 
    $h=0,1$, $\epsilon_r\simeq 0,1=10\%$ 
    %\\et $h=0,01$, $\epsilon_r\simeq 0,01=1\%$ 
  \item Schéma centré: 
    $h=0,1$, $\epsilon_r\simeq 0,0033=0,33\%$ 
    %\\et $h=0,01$, $\epsilon_r\simeq 0,000033=0,0033\%$ 
  \enit
  \`A pas égal, le schéma centré est bien plus précis 
  (c'est un schéma d'ordre 2 en $h$).
\enen

\bigskip
\noindent\textbf{Exercice 5.}

\bgen
\item 
  \[y'(t)+2y^2(t) = 0
  \iff -\dfrac{y'(t)}{y^2(t)}=2
  \iff \dfrac{1}{y(t)}=2t+C
  \iff y(t)=\dfrac{1}{2t+C}
  \]
  avec la condition initiale 
  $y(0) = \dfrac{1}{0+C}=1\iff C=1$, 

  et donc, finalement, 
  $y(t)=\dfrac{1}{2t+1}$. 

  On trouve alors $y(1)=\dfrac{1}{3}$. 

\item Avec $\varphi(x,y)=-2y^2$ et un pas $h=0,2$, 
  \bgen[$\bullet$]
  \item $y_0=y(0)=1$
  \item $y(h)\simeq y_1=y_0-0,2\tm2y_0^2=0,6$
  \item $y(2h)\simeq y_2=y_1-0,2\tm2y_1^2\simeq 0,4560$
  \item $y(3h)\simeq y_3=y_2-0,2\tm2y_2^2\simeq 0,3728$
  \item $y(4h)\simeq y_4=y_3-0,2\tm2y_3^2\simeq 0,3172$
  \item $y(1)=y(5h)\simeq y_5=y_4-0,2\tm2y_4^2\simeq 0,2770$  
  \enen

%\item L'erreur relative est 
%  $\epsilon_r=\left|\dfrac{1/3-0,2770}{1/3}\right|
%  \simeq 0,17=17\%$

  
\item On peut utiliser aussi RK2 ou RK4. 
\enen


\label{LastPage}
\end{document}

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