Source Latex: Devoir corrigé de mathématiques, BTS 2013: série de Fourier, équations différentielles et transformée de Laplace
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BTS 2013: série de Fourier, équations différentielles et transformée de Laplace
Annale de BTS 2013 de mathématiques: série de Fourier, équation différentielle et transformée de Laplace- Fichier
- Type: Devoir
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- Annale de BTS 2013 de mathématiques: série de Fourier, équation différentielle et transformée de Laplace
- Niveau
- BTS
- Mots clé
- Devoir corrigé de mathématiques, maths, BTS, série de Fourier, équation différentielle, transformée de Laplace, fonction créneau
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Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}} \lfoot{Y. Morel\ - \url{https://xymaths.fr/BTS/}} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien sup�rieur \\ session 2013 \\ Groupement A}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Sp�cialit�s :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Contr�le industriel et r�gulation automatique \item Informatique et r�seaux pour l'industrie et les services techniques \item Syst�mes �lectroniques \item �lectrotechnique \item G�nie optique \item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 1 \hrulefill\ 10 points} \medskip Cet exercice comporte 2 parties ind�pendantes. Il traite de l'�quilibre de syst�mes triphas�s. Aucune connaissance sur ces syst�mes n'est n�cessaire pour traiter l'int�gralit� de cet exercice. \bigskip \textbf{Partie A} \vspd Un onduleur � commande asynchrone d�livre une tension p�riodique $f(t)$ de p�riode $2\pi$ selon la repr�sentation graphique suivante : \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)} \multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.5,1)(-4.712,1)(-4.712,-1)(-2.0944,-1)(-2.0944,1)(2.0944,1)(2.0944,-1)(4.712,-1)(4.712,1)(6.5,1) \uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$} \uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$} \uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Sur l'annexe \no 1, on a repr�sent� graphiquement sur $[-2\pi~;~2\pi]$ la tension $f(t)$ et la tension $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$. Sur le document r�ponse, compl�ter le tableau de valeurs et construire la repr�sentation graphique de la tension $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ sur $[-2\pi~;~2\pi]$. \item \emph{En r�gime triphas�, l'onduleur soumet la phase 1 � la tension $f(t)$, la phase 2 � la tension $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ et la phase 3 � $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$. Le neutre, quant � lui, est soumis � la somme $S(t)$ des tensions des phases, d�finie par} \[S(t) = f(t) + f\lp t + \dfrac{2\pi}{3}\rp + f\lp t + \dfrac{4\pi}{3}\rp. \] \emph{Si cette somme est nulle pour tout nombre r�el $t$, le syst�me triphas� est �quilibr�. Sinon le syst�me est d�s�quilibr�.} \vspd \begin{enumerate} \item Calculer $S(0)$. \vspd \item Le syst�me triphas� �tudi� dans cette partie est-il �quilibr� ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour garantir l'�quilibrage d'un syst�me triphas�, on peut utiliser un onduleur � commande d�cal�e. Ainsi, nous consid�rons dans cette partie que la tension d�livr�e est un signal $g$ de p�riode $2\pi$, dont la repr�sentation graphique sur $[-2\pi~;~2\pi]$ figure ci-apr�s : \begin{center} \psset{xunit=0.8cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)} \multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.282,1)(-5.236,1)(-5.236,0)(-4.189,0)(-4.189,-1)(-2.0944,-1)(-2.0944,0)(-1.0472,0)(-1.0472,1)(1.0472,1)(1.0472,0)(2.0944,0)(2.0944,-1)(4.189,-1)(4.189,0)(5.236,0)(5.236,1)(6.282,1) \uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$} \uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$} \uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$} \end{pspicture} \end{center} On s'int�resse au d�veloppement en s�rie de Fourier du signal $g$. Dans la suite de l'exercice, $a_{0} , a_{n}$ et $b_{n}$ d�signent les coefficients du d�veloppement en s�rie de Fourier de ce signal $g$, avec les notations du formulaire. \medskip \begin{enumerate} \item D�terminer $a_{0}$. \vspd \item Pr�ciser la valeur des coefficients $b_{n}$ pour tout entier naturel $n$ non nul. \vspd \item \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $g(t)$ sur chacun des intervalles $\left]0~;~\dfrac{\pi}{3}\right[, \ \left]\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{2\pi}{3}\right[$ et $\left]\dfrac{2\pi}{3}~;~\pi \right[$. \item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul on a : \[ a_n = \dfrac{2}{\pi} \tm \dfrac{\sin \lp\dfrac{n\pi}{3} \rp + \sin \lp\dfrac{2n\pi}{3} \rp}{n}\] \end{enumerate} \vspd \item \begin{enumerate} \item V�rifier que $a_{3k} = 0$, pour tout nombre entier naturel $k$ non nul. \vspd \item On d�montre que ce qui emp�che un signal d'�tre nul dans le neutre est la pr�sence d'harmoniques non nulles de rangs multiples de 3 dans le d�veloppement en s�rie de Fourier du signal $g$. Peut-on consid�rer que le syst�me triphas� est �quilibr�, c'est � dire que la tension sur le neutre est nulle ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspq \emph{Remarque : Dans les h�pitaux, les banques, les lyc�es, etc., l'�nergie �lectrique est fournie par des transformateurs ou par les onduleurs qui alimentent une multitude de r�cepteurs (ordinateurs, lampes basse-consommation ...) qui g�n�rent des courants harmoniques. Sans une installation adapt�e et sans une utilisation de r�cepteurs optimis�s, l'accumulation d'harmoniques de rangs multiples de 3 conduit au d�s�quilibre du syst�me triphas�. Ceci peut engendrer de graves probl�mes .' surchauffe du fil portant le neutre, ph�nom�nes d'interf�rence, augmentation des pertes d'�nergie, ouverture des fusibles ou interrupteurs automatiques ...} \clearpage \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \vspd Les parties A, B et C de cet exercice peuvent �tre trait�es de mani�re ind�pendante. On notera $U$ la fonction �chelon unit� d�finie pour tout nombre r�el $t$ par : \[ \la\bgar{lclcl} U(t) &=& 0 &\text{si}& t < 0\\ U(t) &=& 1 &\text{si}& t \geqslant 0 \enar\right.\] Une fonction d�finie sur l'ensemble des nombres r�els est dite causale lorsque cette fonction est nulle sur l'intervalle $]- \infty~;~0[$. On consid�re un syst�me entr�e-sortie o� les signaux d'entr�e et sortie sont mod�lis�s par des fonctions causales not�es respectivement $e$ et $s$. Ce syst�me est du second ordre, c'est � dire que les fonctions $e$ et $s$ sont li�es sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par une �quation diff�rentielle du type \[s''(t) + bs'(t) + cs(t) = ce(t),\] o� $b$ et $c$ d�signent des constantes r�elles. On suppose de plus dans tout l'exercice que $s(0) = 0$ et $s'(0) = 0$. \vspd \textbf{Partie A : r�solution d'une �quation diff�rentielle du second ordre} \vspd Dans cette partie, on suppose que $b = 1$ et $c = 0,25$. De plus, le signal d'entr�e, constant est d�fini pour tout nombre r�el $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par $e(t) = 10$. La fonction causale $s$ est donc solution sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ de l'�quation diff�rentielle \[(E) \::\quad y'' + y' + 0,25y = 2,5.\] \begin{enumerate} \item D�terminer une fonction constante sur $[0~;~+ \infty[$ solution particuli�re de l'�quation diff�rentielle~$(E)$. \item R�soudre l'�quation diff�rentielle $\lp E_0\rp\: :\quad y'' + y' + 0,25y = 0$. \item En d�duire la forme g�n�rale des solutions de l'�quation diff�rentielle (E). \item Parmi les quatre expressions ci-dessous, laquelle est celle de s(t) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ ? Recopier la r�ponse choisie sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{X X} $\bullet~~5t\text{e}^{-0,5t}$ &$\bullet~~ 10 - (5t + 10)\text{e}^{-0,5t}$ \\[0.2cm] $\bullet~~10 - (2,5t + 10)\text{e}^{-0,25t}$* &$\bullet~~10 - (10t + 10)\text{e}^{-0,5t}$ \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \vspq \textbf{Partie B : utilisation de la transformation de Laplace} \medskip Dans cette partie, on suppose que $b = 0$ et $c = 9$. De plus, le signal d'entr�e, sinuso�dal est d�fini pour tout nombre r�el $t$ par \[e(t) = \sin(2t) U(t).\] \vspd La fonction causale $s$ est donc solution de l'�quation diff�rentielle \[\lp E'\rp\: :\quad s''(t) + 9s(t) = 9\sin (2t)U(t).\] On note $S$ la transform�e de Laplace de la fonction $s$. \begin{enumerate} \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'�quation diff�rentielle $\left(E'\right)$, montrer que \[S(p) = \dfrac{18}{\left(p^2 + 4\right)\left(p^2+ 9\right)}.\] \item D�terminer les nombres r�els $a$ et $b$ tels que, pour tout nombre r�el $p$, on ait \[S(p) = \dfrac{a}{p^2 + 4} + \dfrac{b}{p^2 + 9}.\] \item En d�duire l'expression de $s(t)$ pour tout nombre r�el $t$ positif ou nul. \end{enumerate} \vspq \textbf{Partie C : d�termination de l'amplitude du signal de sortie} \medskip On note $f$ la fonction causale d�finie sur l'ensemble des nombres r�els par : \[f(t) = (1,8\sin (2t) - 1,2\sin (3t)) U(t).\] Cette fonction est p�riodique de p�riode $2\pi$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Sur l'annexe 2 sont trac�es deux repr�sentations graphiques de la fonction $f$. Les points $M_1, M_2, M_3, M_4$ indiqu�s sur le graphique correspondent aux extremums locaux de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$. Le but de cette partie est de d�terminer la valeur maximale $A$ atteinte par $f(t)$ quand $t$ varie dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \begin{enumerate} \item En utilisant la figure 1 de l'annexe 2, d�terminer une valeur approch�e de $A$ � $0,1$ pr�s. \vspd \item Pour tout nombre r�el $t$ positif ou nul, calculer une expression de $f'(t)$. \vspd \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout nombre r�el positif ou nul $t, f'(t)$ peut se mettre sous la forme \[f'(t) = \alpha \sin \lp\dfrac{5t}{2}\rp \sin \lp\dfrac{t}{2}\rp .\] o� $\alpha$ est un nombre r�el strictement positif. En d�duire la valeur de $f'\left(\dfrac{2k\pi}{5}\right)$ pour tout nombre entier naturel $k$. \vspd \item D�terminer les valeurs exactes des abscisses des points $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$. En d�duire une valeur approch�e de $A$ � $10^{-3}$ pr�s. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1} \vspace{2cm} Repr�sentation graphique de la tension $f(t)$ \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)} \multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.5,1)(-4.712,1)(-4.712,-1)(-1.5708,-1)(-1.5708,1)(1.5708,1)(1.5708,-1)(4.712,-1)(4.712,1)(6.5,1) \uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$} \uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$} \uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$} \end{pspicture} \vspace{2cm} Repr�sentation graphique de la tension $f\left(t + \dfrac{2\pi}{3}\right)$ \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.1) \multido{\n=-6.2832+0.5236}{27}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)} \multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)} \psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-6.283,-1)(-3.665,-1)(-3.665,1)(-0.5236,1)(-0.5236,-1)(2.618,-1)(2.618,1)(5.7596,1)(5.7596,-1)(6.283,-1) \uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$} \uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$} \uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Document r�ponse\\ (� rendre avec la copie)} \vspace{3cm} Tableau des valeurs prises par $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ pour certaines valeurs de $t$ \vspace{0,5cm} \renewcommand\arraystretch{2} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&$- \dfrac{4\pi}{3}$&$- \pi$&$- \dfrac{\pi}{2}$&$0$&$\dfrac{\pi}{3}$&$\pi$&$ \dfrac{4\pi}{3}$&$ \dfrac{5\pi}{3}$\\ \hline $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$&&1&&&&&&$- 1$\\ \hline \end{tabularx} \vspace{3cm} Rep�re pour repr�senter $f\left(t + \dfrac{4\pi}{3}\right)$ \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm,comma=true} \begin{pspicture}(-6.5,-1.1)(6.5,1.2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.5]{->}(0,0)(-6.5,-1.1)(6.5,1.2) \multido{\n=-6.2832+0.5236}{25}{\psline[linestyle=dotted](\n,-1)(\n,1)} \multido{\n=-1.0+0.5}{5}{\psline[linestyle=dotted](-6.2832,\n)(6.2832,\n)} \uput[dl](-6.282,0){$- 2\pi$}\uput[dl](-3.141,0){$-\pi$}\uput[d](-6.282,0){$2\pi$} \uput[dl](-1.0472,0){$\frac{-\pi}{3}$}\uput[dl](1.0472,0){$\frac{\pi}{3}$} \uput[dl](3.141,0){$\pi$}\uput[dl](6.282,0){$2\pi$} \end{pspicture} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 2} \vspace{1cm} Figure 1 \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.5\pstRadUnit,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-3.5)(20,3.5) %\psgrid \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.5,-3.5)(20,3.5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{ x 2 mul RadtoDeg sin 1.8 mul x 3 mul RadtoDeg sin 1.2 mul sub} \psdots(1.25,1.8)(2.5,-2.82)(3.8,2.82)(5,-1.8) \uput[u](1.25,1.8){$M_{1}$}\uput[d](2.5,-2.82){$M_{2}$} \uput[u](3.8,2.82){$M_{3}$}\uput[d](5,-1.8){$M_{4}$} \end{pspicture} \vspace{2cm} \psset{xunit=\pstRadUnit,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-0.25,-3.5)(6.5,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2]{->}(0,0)(-0.25,-3.5)(6.25,3.5) \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.5}{ x 2 mul RadtoDeg sin 1.8 mul x 3 mul RadtoDeg sin 1.2 mul sub} \psdots(1.25,1.8)(2.5,-2.82)(3.8,2.82)(5,-1.8) \uput[u](1.25,1.8){$M_{1}$}\uput[d](2.5,-2.82){$M_{2}$} \uput[u](3.8,2.82){$M_{3}$}\uput[d](5,-1.8){$M_{4}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}
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