sur les probabilités conditionnelles et loi binomiale, sondage d'une revur professionnelle, sur l'édition papier ou électronique et un QCM: probabilité d'erreur dans la transmission d'un signal binaire

Voir aussi:

Documentation sur LaTeX

Source Latex $LaTex icone$

Source Latex

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage{tabularx}
\usepackage[french]{babel}
%\selectlanguage{francais}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt       % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}   % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.4cm
\textwidth=18.8cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-.8cm

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ifthenelse{\pageref{LastPage}=1}
{\pagestyle{empty}}%
{%
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}}

\vspace*{-1cm}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex

Une revue professionnelle est propos�e en deux versions : une �dition
papier et une �dition �lectronique consultable via internet. Il est
possible de s'abonner � une seule des deux �ditions ou de s'abonner �
l'�dition papier et � l'�dition �lectronique. L'�diteur de la revue a
charg� un centre d'appel de d�marcher les personnes figurant sur une
liste de lecteurs potentiels. \\ 
On admet que lorsqu'un lecteur potentiel est contact� par un
employ� du centre d'appel, la probabilit� qu'il s'abonne �
l'�dition papier est �gale � $0,2$ ; s'il s'abonne � l'�dition
papier, la probabilit� qu'il s'abonne aussi � l'�dition
�lectronique est �gale � $0,4$ ; s'il ne s'abonne pas � l'�dition
papier, la probabilit� qu'il s'abonne � l'�dition �lectronique est
�gale � $0,1$. 

\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Partie I}\ 
Une personne figurant sur la liste de lecteurs potentiels est
contact�e par un employ� du centre d'appel. 
On note : 
\begin{itemize}
\item 
$A$ l'�v�nement \og la personne s'abonne � l'�dition papier \fg,
\item 
et $B$ l'�v�nement \og la personne s'abonne � l'�dition �lectronique \fg,
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Faire un arbre r�capitulant cette situation.
  \item Donner la probabilit� de $\overline{B}$ sachant A et la
    probabilit� de $\overline{B}$ sachant $\overline{A}$. 
  \end{enumerate}
\item   
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Calculer la probabilit� que la personne contact�e s'abonne �
    l'�dition papier et � l'�dition \'electronique. 
  \item Justifier que la probabilit� de l'�v�nement $B$ est �gale �
    $0,16$. 
  \item  Les �v�nements $A$ et $B$ sont-ils ind�pendants ?
  \end{enumerate}
\item On suppose que la personne contact�e s'est abonn�e � l'�dition
  �lectronique. 
  Quelle est alors la probabilit� qu'elle soit aussi abonn�e �
  l'�dition papier ? 
\end{enumerate}

\vspace{-0.6cm}
\paragraph{Partie II} Pour chacune des personnes contact�e, le centre
d'appel re�oit de l'�diteur de la revue : 
\begin{itemize}
\item $2$ euros si la personne ne s'abonne � aucune des deux �ditions ;
\item $10$ euros si la personne s'abonne uniquement � l'�dition �lectronique ;
\item $15$ euros si la personne s'abonne uniquement � l'�dition papier ;
\item $20$ euros si la personne s'abonne aux deux �ditions.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compl�ter, sans donner de justification, le
  tableau ci-dessous donnant la loi de probabilit� de la somme re�ue
  par le centre d'appel pour une personne contact�e. 
  \begin{center}
    %\begin{tabular}{|c|*{4}{c{2}|}}
    \begin{tabular}{|c|*{4}{p{1cm}|}}
      \hline
      Somme re�ue en euro & $2$ &	$10$ & $15$ & $20$ \\
      \hline
      Probabilit� & & & & \\
      \hline
    \end{tabular}
  \end{center}
\item Proposer, en expliquant votre d�marche, une estimation de la
  somme que le centre d'appel recevra de l'�diteur s'il parvient �
  contacter $5000$ lecteurs potentiels. 
\end{enumerate}
\enex

\clearpage
\bgex

%Groupement A1 M�tropole 10 mai 2011 
%\textbf{Partie A}
Une source �met un signal binaire compos� de $0$ et de $1$. Lors du
transport, le signal peut �tre d�form�. Un $0$ peut �tre transform� en
$1$ avec une probabilit� $0,1$ et, de m�me, un $1$ peut �tre
transform� en $0$ avec une probabilit� $0,1$. 
 
Pour toute la suite, dans une s�rie de chiffres, on lit de gauche �
droite, le premier chiffre envoy� �tant donc celui �crit le plus �
gauche.  

On envoie le signal $00$.
 
On admet que les erreurs de transmission sont des �v�nements
al�atoires ind�pendants les uns des autres.  
On consid�re les �v�nements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $E_{1}$ : \og les deux chiffres sont modifi�s \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{2}$ : \og le premier chiffre est modifi� mais pas le deuxi�me \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{3}$ : \og aucun chiffre n'est modifi� \fg 
\item[$\bullet~~$] $E_{4}$ : \og au moins un des chiffres est modifi� \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\emph{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est
  exacte. 
  Indiquer, en le justifiant, laquelle.}
%Le candidat portera sur sa copie, sans justification, le
%  num�ro de la question suivi de la r�ponse choisie.\\  
%Une bonne r�ponse rapporte $0,5$ point, une r�ponse incorrecte ou
%l'absence de r�ponse n'enl�ve pas de point.} 
 
\begin{enumerate}
\item La probabilit� de l'�v�nement $E_{1}$ est �gale � :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,01 &0,99 & 0,09& 0,81\\
\end{tabularx}
 
\item  Si l'�v�nement $E_{2}$ est r�alis�, le signal re�u est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}} 
00 &01&10&11\\
\end{tabularx}

 
\item  La probabilit� de l'�v�nement $E_{2}$ est �gale � : 

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,19 &0,81 &0,09& 0,90\\
\end{tabularx}

\item  La probabilit� de l'�v�nement $E_{3}$ est �gale � :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,01 &0,99 & 0,09& 0,81\\
\end{tabularx}
 
\item  La probabilit� de l'�v�nement $E_{4}$ est �gale � :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{@{$\bullet~~$}X}}
0,19 &0,20 & 0,11& 0,91\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}


\enex


\label{LastPage}
\end{document}

Télécharger le fichier source