Source Latex: Exercices de mathématiques, Nombres complexes et équations différentielles
BTS
Nombres complexes et équations différentielles
Exercices de mathématiques en BTS: nombres complexes et équations différentielles- Fichier
- Type: Exercices
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- Exercices de mathématiques en BTS: nombres complexes et équations différentielles
- Niveau
- BTS
- Mots clé
- équations différentielles, premier ordre, second ordre, nombre complexes, BTS
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\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb} \usepackage[french]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{calc} \usepackage{enumerate} \usepackage{pst-all} \usepackage{hyperref} \hypersetup{ pdfauthor={Yoann Morel}, pdfsubject={Exercices de mathématiques: Equations différentielles}, pdftitle={Equations différentielles}, pdfkeywords={Mathématiques, complexe, nombres complexes, équations différentielles} } \hypersetup{ colorlinks = true, linkcolor = red, anchorcolor = red, citecolor = blue, filecolor = red, pagecolor = red, urlcolor = red } %\voffset=-2.2cm % Raccourcis diverses: \newcommand{\nwc}{\newcommand} \nwc{\dsp}{\displaystyle} \nwc{\ct}{\centerline} \nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}} \nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}} \nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}} \nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}} \nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}} \nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)} \nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]} \nwc{\bgsk}{\bigskip} \nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}} \nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}} \nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}} \nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}} \def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N \def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N \def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0 \def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R \def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C \vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z \renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e} \renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m} \def\epsi{\varepsilon} \def\lbd{\lambda} \def\vphi{\varphi} \def\tht{\theta} \def\Cf{\mathcal{C}_f} \nwc{\tm}{\times} \nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}} \nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}} \nwc{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcounter{nex}%[section] \setcounter{nex}{0} \newenvironment{EX}{% \stepcounter{nex} \bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm} }{} \nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}} \nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}} \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize} \nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}} \nwc{\limcdt}[4]{ $\dsp \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar} {#3}={#4}$ } \nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ } \headheight=0cm \textheight=26.cm \topmargin=-1.8cm \footskip=0.8cm \textwidth=18cm \oddsidemargin=-1cm \parindent=0.2cm \voffset=-0.8cm \setlength{\unitlength}{1cm} \newcounter{ntheo} \setcounter{ntheo}{1} \newlength{\ltheo} \nwc{\bgth}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \newcounter{nprop} \setcounter{nprop}{1} \newlength{\lprop} \nwc{\bgprop}[1]{ \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}} \noindent \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{nprop} } \nwc{\bgcorol}[1]{ \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}} \noindent \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp } \newcounter{ndef} \setcounter{ndef}{1} \newlength{\ldef} \nwc{\bgdef}[1]{ \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}} \noindent \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}} \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm} \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp \stepcounter{ntheo} } \nwc{\bgproof}[1]{ \vspq\noindent \ul{Démonstration:} #1 \hfill$\square$ } % "Cadre" type Objectifs.... \nwc{\ObjTitle}{Définition\!\!:\ \ } \newlength{\lgObjTitle} \newlength{\hgObj} \newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle} \newcommand{\Obj}[1]{% \begin{flushright}% \settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle} \settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}} \bgmp{17.1cm} \psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par \bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp \enmp \end{flushright} } \renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -} \renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})} \renewcommand\thesubsubsection{\qquad \arabic{subsection}.\arabic{subsubsection}} % Concernant la mise en page des algo: \definecolor{grayp}{gray}{0.8} \definecolor{graypc}{gray}{0.65} \newlength{\ProgIndent} \setlength{\ProgIndent}{0.6cm} \nwc{\PI}{\hspace*{\ProgIndent}} \nwc{\DPI}{\hspace*{2\ProgIndent}} \nwc{\TPI}{\hspace*{3\ProgIndent}} \nwc{\QPI}{\hspace*{4\ProgIndent}} \newlength{\lgcoin}\setlength{\lgcoin}{3ex} \newlength{\lgshadow}\setlength{\lgshadow}{0.5ex} \newlength{\phgn}\newlength{\phgnp} \newlength{\phgng} \newlength{\plgn}\newlength{\plgng} \newlength{\phgtq}\newlength{\phgtqg} \newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg} \newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex} \newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex} \nwc{\Prog}[3]{% 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Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/BTS/}} \rfoot{\TITLE\ - $BTS$ - \thepage/\pageref{LastPage}} %\cfoot{\TITLE\ - $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$} \cfoot{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} %\vspace*{-0.9cm} \ct{\LARGE \bf \TITLE} %\vspace{-0.6cm} \section{Nombres complexes} \bgex Résoudre l'équation $x^2+2x+2=0$. Vérifier que les deux nombres complexes trouvés sont bien solutions de l'équation. \enex \bgex Résoudre les équations: a) $x^2+2x+65=0$ \qquad b) $r^2+4r+4=0$ \qquad c) $z^2-3z-4=0$ \qquad d) $z^2=-4$ \qquad e) $z^2=7$ f) $z^2-4z+8=0$ \qquad g) $r^2-\dfrac12r+\dfrac18=0$ \qquad h) $r^2-3r+3=0$ \qquad i) $r^2+8r-20=0$ \enex \section{Equations différentielles} \subsection{Equations différentielles linéraires du premier ordre} \bgex Résoudre l'équation $2y'+4y=3$, en recherchant une fonction constante solution particulière. \enex \bgex Résoudre l'équation différentielle $y'+3y=e^{-t}$, en recherchant une solution particulière sous la forme $y_p(t)=Ae^{-t}$. \enex \bgex Résoudre l'équation différentielle $(E):\ y'+3y=12$. Déterminer alors la solution de $(E)$ vérifiant $y(0)=1$. \enex \bgex{\bf Vitesse d'un parachute} La vitesse d'un objet suspendu à un parachute est solution de l'équation $(E):\ mv'(t)+kv(t)=mg$. On prendra: $m=10kg$, $g=10\,m.s^{-2}$ et $k=25$ u.S.I. \bgmp{4.1cm} \psset{unit=1cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2,-3)(2,3.2) \psarc(0,1){2}{20}{160} \psarc(-1.2,1.1){0.9}{48}{140} \psarc(0,1.1){0.9}{48}{132} \psarc(1.2,1.1){0.9}{40}{132} \psline(0,-1)(-1.89,1.68) \psline(0,-1)(1.89,1.68) \psline(0,-1)(0.6,1.78) \psline(0,-1)(-0.6,1.78) \pspolygon(-0.2,-1)(0.2,-1)(0.2,-1.6)(-0.2,-1.6) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,-1.6)(0,-2.8)\rput(0.4,-2.3){$\V{V}$} \end{pspicture} \enmp \bgmp{13.5cm} \bgen \item Déterminer la fonction constante $v_p$ solution de $(E)$. Donner alors l'ensemble des solutions de $(E)$. \item \bgen[a)] \item Donner la solution $v_1$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse initiale est $v_1(0)=5\,m.s^{-1}$. \item Donner la solution $v_2$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse initiale est $v_2(0)=10\,m.s^{-1}$. \item Donner la solution $v_3$ de l'équation $(E)$ dont la vitesse initiale est nulle. \item Déterminer les limites lorsque $t\to+\infty$ des fonctions $v_1$, $v_2$ et $v_3$. \enen \enen \enmp \enex \bgex \bgmp{7cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(0,-2.8)(5,2.4) \psline(0,0.1)(0,2)(5,2)(5,1.6) \pspolygon(4.7,1.6)(5.3,1.6)(5.3,-1.6)(4.7,-1.6) \rput(5,0){$R$} \psline{->}(5.7,-1.7)(5.7,1.7) \rput(6,0){$u$} \psline(0,-0.1)(0,-2)(2,-2)(2.5,-2.5) \psline(2.5,-2)(5,-2)(5,-1.6) \psline(-0.4,0.1)(0.4,0.1) \psline(-0.4,-0.1)(0.4,-0.1) \rput(0.7,0){$C$} \psline{->}(3,2)(3.3,2)\rput(3.2,2.5){$i$} \end{pspicture} \enmp \bgmp{11.cm} Dans un circuit $RC$, on a les relation $u(t)=Ri(t)$ et $i(t)=-\dfrac{dq}{dt}=-q'(t)$ avec la charge $q(t)=Cu(t)$. Ainsi, $u(t)=Ri(t)=R\Bigl( Cu(t)\Bigr)'$, \vspd soit encore l'équation différentielle $(E):\ RCu'(t)+u(t)=0$. \enmp On prend $C=15.10^{-5}$ farads et $R=2.10^4$ ohms. \bgen \item Résoudre l'équation différentielle $(E)$, puis déterminer la fonction $u$ solution telle que $u(0)=u_0=10$ volts. \item Déterminer la limite $\dsp\lim_{t\to+\infty} u(t)$. \item A partir de quel instant $t_1$ la tension $u(t)$ vérifie $u(t)\leqslant \dfrac{1}{10}u_0$. \item Tracer la courbe représentative de la fonction $u$. \enen \enex \bgex {\bf Incident à l'eau de mer} Un réservoir contient 1000 litres d'eau douce dont la salinité est de $0,12\ g.L^{-1}$. A la suite d'un incident, de l'eau de mer pénètre dans le réservoir à raison de 10 litres par minute. On s'intéresse à l'évolution au cours du temps de la salinité dans le réservoir. On note $s$ cette salinité, $s$ étant donc une fonction du temps $t$. On admet que $s$ est solution de l'équation différentielle \[ (E):\quad s'+0,01s=0,39 \] \bgen \item \bgen[a)] \item Résoudre l'équation $(E_1):\quad s'+0,01s=0$. \item Déterminer une fonction constante $g$ solution de l'équation $(E)$. \item Résoudre l'équation $(E)$. \enen \item A l'instant $t=0$ où débute l'incident, la salinité de l'eau dans le réservoir était de $0,12\ g.L^{-1}$. Montrer que l'on alors $s(t)=39-38,88\,e^{-0,01t}$. \item Déduire du résultatprécédent la salinité de l'eau dans le réservoir au bout de 60 minutes. \item De combien de temps le service d'intervention dispose-t'il pour colmater l'infiltration si la salinité doit rester inférieure à $3,9\, g.L^{-1}$ ? \enen \enex \subsection{Equations différentielles linéaires du second ordre} \bgex Soit l'équation différentielle $(E):\ y"-y'-6y=6t$. \bgen \item Vérifier que les fonctions $y_1(t)=Ae^{3t}$ et $y_2(t)=Be^{-2t}$ sont des solutions de l'équation sans second membre $(E_0):\ y"-y'-6y=0$. \item Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que $y_p(t)=at+b$ soit une solution de $(E)$. \item En déduire que $y=y_1+y_2+y_p$ est une solution générale de $(E)$. \enen \enex \bgex Vérifier que la fonction définie par $y(t)=e^{2t}\cos\lp 3t\rp$ est une solution de l'équation $(E_0):\ y"-4y'+13y=0$. \enex \bgex Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E): y''-4y'+3y=0$. \enex \bgex Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E): y''+2y'+2y=0$. \enex \bgex Déterminer les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E): y''+4y=0$. \enex \bgex Soit l'équation différentielle $(E):\ y"-4y'+3y=-3t^2+2t$. Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme d'un polynôme du second degré. Déterminer alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \enex \bgex Soit l'équation $(E):\ y"-4y'+4y=3e^{-t}$. Chercher une solution particulière de $(E)$ sous la forme $y_p(t)=Ae^{-t}$. Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$. \enex \bgex On considère l'équation différentielle: $(E): y''-3y'+2y=4$, dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$. \bgen \item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ sans second membre associée à $(E)$. \item Déterminer une fonction constante $g$ solution de $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de $(E)$. \item Déterminer la solution particulière de $(E)$ vérifiant de plus les conditions initiales $f(0)=1$ et $f'(0)=2$. \enen \enex \bgex {\bf Objet retenu par un ressort.} On fixe à l'extrémité d'un ressort horizontal un objet qui peut coulisser sans frottement sur un plan. \bgmp{7cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-.8,-1.5)(6.5,1.2) \newcommand{\f}[1]{#1 2 add} \psline(-0.5,0)(7,0) \multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,-0.5)(! \f{\i}\space 0)} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](-.3,0)(-.3,0.8)(0,0.8)(0,0) \psline(0,0.4)(0.4,0.4)(0.5,0.2)(0.7,0.6)(0.9,.2)(1.1,.6)(1.3,.2)(1.5,.6) (1.7,.2)(1.9,.6)(2.1,.2)(2.3,.6)(2.5,.2)(2.7,.6)(2.9,.2)(3.,.4)(3.6,.4) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.6,0)(3.6,1)(5,1)(5,0) \rput(4.4,0.5){$M$} \psline[arrowsize=7pt]{->}(0,-1)(3.6,-1) \psline[linestyle=dashed](0,0)(0,-1.2)\rput(2.,-1.3){$X(t)$} \psline[linestyle=dashed](3.6,0)(3.6,-1.2) \end{pspicture*} \enmp\qquad \bgmp{10cm} On repère l'objet par sa position $X$ qui varie en fonction du temps $t$. On admet que la fonction $X$ est solution de l'équation \[ (E): X''+100X=0 \] \enmp \bgen \item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution de l'équation $(E)$ telle que $X(0)=10^{-1}$ et $X'(0)=0$. \item On admet que si l'objet $M$ frotte sur le plan, l'équation différentielle devient $(E'): X''+X'+100=0$. Résoudre de même $(E')$, avec les mêmes conditions initiales. \item Représenter graphiquement les solutions de $(E)$ et $(E')$. \enen \enex \bgex {\bf Oscillations libres et amorties dans un fluide visqueux.} L'écart à sa position initiale d'un objet dans un fluide visqueux est une fonction du temps solution de l'équation différentielle \[ (E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=0 \] \bgen \item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution particulière de $(E)$ qui s'annule pour $t=0$ et dont la dérivée vaut $4$ pour $t=0$. \enen \enex \bgex {\bf Oscillations forcées et amorties dans un fluide visqueux.} L'objet de l'exercice précédent, toujours dans le même fluide visqueux, est maintenant soumis à une excitation entretenue. L'écart de l'objet à sa position initiale est alors solution de l'équation différentielle \[ (E): \dfrac{d^2y}{dt^2}+2\dfrac{dy}{dt}+2y=10\cos(2t) \] \bgen \item Montrer que la solution $g$ définie par $g(t)=2\sin(2t)-\cos(2t)$ est une solution particulière de $(E)$. \item Déterminer alors l'ensemble des solutions de $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant les conditions initiales $f(0)=0$ et $f'(0)=2$. \enen \enex \section{Problèmes complets} \bgex {\bf Partie A. Résolution d'une équation différentielle} On considère l'équation différentielle $(E):y'+y=x$ où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur $\R$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \bgen \item Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle $(E_0): y'+y=0$. \item Rechercher une fonction affine solution particulière de $(E)$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \item Déterminer la fonction $f$ solution de $(E)$ telle que $f(0)=1$. \enen {\bf Partie B. Etude de la solution.} On étudie la fonction $f$ trouvée ci-dessus, définie sur l'intervalle $[-1;+\infty[$ par $f(x)=2e^{-x}+x-1$. \bgen \item Calculer la dérivée $f'$ de $f$. Etudier son signe et dresser le tableau de variation de $f$. \item Déterminer la limite $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)-(x-1)$. On note $\Delta$ la droite d'équation $y=x-1$. Interpréter graphiquement le résultat précédent, puis tracer $\Delta$ et l'allure de la courbe représentative de $f$. \enen \enex \bgex {\bf Problème d'isolation.} Pour tester la résistance d'une plaque d'isolation phonique à la chaleur, on porte sa température à $100^\circ$C et on étudie l'évolution de sa température en fonction du temps. On note $\theta(t)$ la température de la plaque, en degré Celsius, à l'instant $t$, en minutes. La température ambiante est de $19^\circ$C et après 6 minutes la température est redescendue à $82^\circ$C. On admet que la fonction $\theta$ est solution de l'équation différentielle $(E): y'+0,042y=0,798$. {\bf Partie A.} \bgen \item Rechercher une fonction constnate solution particulière de $(E)$. Donner alors l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$. \item D'après l'énoncé, que vaut $\theta(0)$, la température initiale de la plaque. En déduire la solution particulière de $(E)$ donnant la température de la plque en fonction du temps. \enen {\bf Partie B.} \bgen \item Calculer la température de la plaque après 35 minutes. \item Calculer la dérivée $\theta'$ de $\theta$. En déduire le sens de variation de $theta$ sur $[0;+\infty[$. \item Calculer la limite de $\theta(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. \item Représenter graphiquement la fonction $\theta$. \item Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque est inférieure à $30^\circ$C. Vérifier graphiquement ce résultat. \enen \enex \label{LastPage} \end{document}
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