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BTS

Intégrales

Cours de mathématiques en BTS: calcul intégral
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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques en BTS: calcul intégral
Niveau
BTS
Table des matières
  • Aire sous une courbe: Intégrale d'une fonction continue positive
  • Intégrale d'une fonction de signe quelconque
  • Propriété de l'intégrale
  • Primitive d'une fonction
  • Intégrales et primitives
  • Calcul d'intégrale
    • Recherche de primitive
    • Intégration par parties
Mots clé
intégration, calcul intégral, primitive, calcul d'aire, BTS

Quelques devoirs


Voir aussi:

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Source Latex 

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\usepackage{hyperref}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: Calcul intégral},
    pdftitle={Calcul intégral},
    pdfkeywords={Mathématiques, BTS, cours, 
      exerices, intégration, intégrale, aire sous une courbe
    }
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Calcul intégral}
\title{\TITLE}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/BTS/}}
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\cfoot{}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{0.5cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}

\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents

\section{Aire sous une courbe:\\Intégrale d'une fonction continue positive}

\bgmp{11cm}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. 

On note $\Cf$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$. 

\vspd
On cherche à déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ situé sous la
courbe représentative $\Cf$ de $f$. 

\vspd
L'unité d'aire est donnée par le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$: 
l'unité d'aire est l'aire du rectangle $OIKJ$. 

\vspd
Plus précisément, le domaine $\mathcal{D}$ est l'ensemble des points 
$M(x;y)$ tels que $a\leq x\leq b$, et $0\leq y\leq f(x)$.  
\enmp\hspace{1.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,5)
  
  \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
  \psline{->}(-1.2,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-0.8)(0,4)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
  
  \pscustom{
    \psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.2,0)(-.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
  \psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}
  \put(3.9,3.5){$\Cf$}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(1.5,1){$K$}
  \put(1.4,-0.4){$I$}\put(-0.4,1){$J$}
\end{pspicture}
\enmp

Cette aire s'appelle {\bf l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$}; 
on la note $\dsp\int_a^b f(x)dx$.

\vspd
Les graphiques suivants donnent la courbe représentative d'une
fonction $f$. 
Déterminer dans chacun des cas un encadrement de l'intégrale 
$\dsp \int_2^6 f(x)dx$. 

\vspq
\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,2)(4,2)(4,4)(6,4)(6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \multido{\i=2+2}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  %\psline[linestyle=dashed](2,-0.2)(!-0.6 \space \f{2} 0.4 add)
  %\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  %\put(2,-0.4){$a$}\put(6,-0.4){$b$}
  \put(6.5,7.5){$\Cf$}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,4)(4,4)(4,8)(6,8)(6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \multido{\i=2+2}{4}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  %\psline[linestyle=dashed](2,-0.2)(!-0.6 \space \f{2} 0.4 add)
  %\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  %\put(2,-0.4){$a$}\put(6,-0.4){$b$}
  \put(6.5,7.5){$\Cf$}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp

\vspace{1cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]

\vspq
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}

\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,9.2)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,3)(4,3)(4,4)(6,4)(6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  \put(6.5,7.5){$\Cf$}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,9.2)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,4)(4,4)(4,5)(5,5)(5,7)(6,7)(6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \multido{\i=1+1}{8}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  \put(6.5,7.5){$\Cf$}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp



\vspace{1.2cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]

\vspq\vspq
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}
\vspq\vspq\vspq

\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,3)(2.5,3)(2.5,3.5)(4,3.5)(4,4)(5,4)(5,4.5)
  (5.5,4.5)(5.5,5)(6,5)
  (6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \renewcommand{\g}[1]{#1 2 div}
  \multido{\i=0+1}{17}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
    (!\g{\i} \space -0.2)(!\g{\i} \space 8.1)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
    (!-0.2 \space \g{\i})(! 8.1 \space \g{\i})
  }
  \multido{\i=2+2}{4}{
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  \put(6.6,7.6){$\Cf$}

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (2,0)(2,4)(4,4)(4,4.5)(4.5,4.5)(4.5,5)(5,5)
  (5,5.5)(5.5,5.5)(5.5,6.5)(6,6.5)
  (6,0)(2,0)

  \pscustom{
    \psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(2,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  
  \renewcommand{\g}[1]{#1 2 div}
  \multido{\i=0+1}{17}{
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
    (!\g{\i} \space -0.2)(!\g{\i} \space 8.1)
    \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
    (!-0.2 \space \g{\i})(! 8.1 \space \g{\i})
  }
  \multido{\i=2+2}{4}{
    \put(\i,-0.5){\i}
    \put(-0.5,\i){\i}
  }

  \put(6.6,7.6){$\Cf$}

  \psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp

\vspace{1.2cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]

\vspd
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}

\pagebreak
\noindent
\bgmp{8.6cm}
La situation précédente est généralisable: \\
soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$. 

\vspd
On découpe l'intervalle $[a;b]$ en $n$ intervalles de longueurs 
$\dsp \Delta x=\frac{b-a}{n}$: 
\[ [x_0;x_1]\ ; \ \ [x_1;x_2]\ ;\ \ [x_2;x_3]\ ; \ \ \dots\ ;
[x_{n-1};x_n]
\]

La $k^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ abscisse du découpage est 
$x_k\!=\!x_0+k\Delta x$. 

\noindent
L'aire grisée est la somme des aires de chaque
rectangle:
\[ \bgar{ll}
S_n&\dsp=f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x 
+\ \dots \ +f(x_{n-1}) \Delta x \vspd\\
&\dsp= \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x
\enar
\]
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-1.6)(8.2,7.)

  %\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  %(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)

  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -4 add 3 exp 
    #1 -4 add 2 exp  add 
    #1 -4 add  add 
    0.18 mul
    4 add}
  
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (1.5,0)
  (!1.5 \space \f{1.5})(! 2.25 \space \f{1.5})
  (!2.25 \space \f{2.25})
  (!3 \space \f{2.25})
  (!3 \space \f{3})
  (!3.75 \space \f{3})
  (!3.75 \space \f{3.75})
  (3.75,0)(1.5,0)

  \psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
  \psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (5.25,0)
  (!5.25 \space \f{5.25})(!6 \space \f{5.25})
  (6,0)(5.25,0)

  \psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
  \psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})

  \pscustom{
    \psplot{1.5}{6}{\f{x}} \gsave
    \psline(6,0)(1.5,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  
  \put(7.2,6.3){$\Cf$}

  \psline{->}(0.2,0)(6.5,0)
  \psline{->}(0.5,-0.5)(0.5,6.8)
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(1,0)\put(1,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(0.5,0.75)\put(0.3,0.3){$\vec{j}$}
  \put(0.3,-0.4){$O$}
  \psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.08}{\f{x}}

  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!0.5 \space \f{1.5})(!1.5 \space \f{1.5})
  \put(-0.4,1.8){$f(x_0)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!0.5 \space \f{2.25})(!2.25 \space \f{2.25})
  \put(-0.4,3){$f(x_1)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!0.5 \space \f{3})(!3 \space \f{3})
  \put(-0.4,3.8){$f(x_2)$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!0.5 \space \f{5.25})(!5.25 \space \f{5.25})
  \put(-0.8,4.8){$f(x_{n-1})$}

  \put(1.6,-0.4){$x_0\!$\scriptsize$=\!a$}
  \put(2.8,-0.4){$x_1$}\put(3.8,-0.4){$x_2$}\put(4.8,-0.4){$x_3$}
  \put(6.4,-0.4){$x_{n-1}$}\put(7.4,-0.4){$x_n\!$\scriptsize$=\!b$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,-0.8)(2.25,-0.8)
  \put(2.2,-1.2){$\Delta x$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.25,-0.8)(3,-0.8)
  \put(3.2,-1.2){$\Delta x$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3,-0.8)(3.75,-0.8)
  \put(4.2,-1.2){$\Delta x$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.25,-0.8)(6,-0.8)
  \put(7,-1.2){$\Delta x$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
On montre que cette suite $(S_n)$ converge 
vers une limite qui est l'aire hachurée et recherchée: 
l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$. 


\vspd\noindent
{\it\ul{Remarque:} La notation $\dsp\int_a^b f(x)\,dx$ 
  (introduite par Leibniz, et/ou Newton, au XVII$^e$ siècle)
  s'explique à
  partir des calculs d'aire précédents, à la limite où 
  $n\to+\infty$, donc $\Delta x\to 0$, 
  noté finalement~$dx$ (largeur infinitésimale), 
  et le symbole $\dsp\sum$ se transformant en $\dsp\int$: 
  \hfill$\dsp
  \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{k=1}^n f(x_k)\,\Delta x=\int_a^b f(x)\,dx
  $
}


\bgex
Calculer les intégrales: 
$\dsp I=\int_0^1 x\,dx$,\ 
$\dsp J=\int_1^3 (2t+1)\,dt$, 
et $\dsp K=\int_{-2}^3 (-x+3)\,dx$.
\enex


\vspace{-0.3cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression 
$f(x)=2x+3$. 

\vspace{-0.1cm}\qquad
Déterminer de façon explicite, pour tout réel $t\geq 0$, la fonction 
$\dsp F(t)=\int_0^t f(x)\,dx$.
\enex



\section{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque}

D'une manière plus générale, l'intégrale d'une fonction $f$ continue
sur un intervalle $[a;b]$ est l'aire {\bf algébrique} du domaine
compris entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses. 


\subsection{Intégrale d'une fonction de signe quelconque}

\bgmp{9.5cm}
Pour une fonction $f$ continue de signe quelconque sur un intervalle
$[a;b]$, l'intégrale de $f$ est la somme des aires algébriques des
domaines sur lesquels $f$ garde un signe constant. 
\[ \int_a^b f(x)dx = 
\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_1\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_2\rp
+\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_3\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_4\rp
\]
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-2)(6,2)
  
  \psline{->}(-2,0)(3,0)
  \psline{->}(0,-2)(0,2.5)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 1.2 div 2 exp 180 mul 3.14 div sin #1 3 div 3 exp add
    2.8 mul -1 add 
  }
  
  \pscustom{
    \psplot{-1.6}{2.8}{\f{x}} \gsave
    \psline(2.8,0)(-1.6,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.6}{2.8}{\f{x}}
  
  \psline[linestyle=dashed](-1.6,-0.2)(!-1.6 \space \f{-1.6})
  \psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(!2.8 \space \f{2.8})
  %\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
  \put(-2.5,-0.4){$a$}\put(4,0.2){$b$}
  \put(1.8,2.3){$\Cf$}

  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.5,0)\put(0.4,0.1){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.3,0.4){$\vec{j}$}
  \put(-0.4,-0.4){$O$}
  
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](-1.3,0.6){0.25}
  \put(-2.05,0.5){\bf 1}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](.1,-0.5){0.25}
  \put(0.05,-0.6){\bf 2}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.4,0.8){0.25}
  \put(2.,0.65){\bf 3}
  \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,-0.8){0.25}
  \put(3.6,-0.9){\bf 4}
\end{pspicture}
\enmp

\vspq
On convient de plus que : 
\ul{$\dsp\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx$}.
\vspq

\noindent\fbox{\bgmp{\linewidth}
\bgdef{  
  Soit $f$ continue sur $[a;b]$, avec $a<b$, 
  alors \ul{\bf{la valeur moyenne}} de $f$ sur $[a;b]$ est:
  \[ \mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
  \]
}\enmp}

\bgex
Calculer la valeur moyenne sur $I=[0;4]$ de la fonction $f$ définie
par $f(x)=2x-3$.
\enex

%\clearpage
\section{Propriétés de l'intégrale}
\vspace{-0.6cm}


\bgprop{{\bf\ul{Linéarité}}
  Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ et tout réel
  $\lbd$, 

  \vsp
  $\dsp\int_a^b\Big( f(x)+g(x)\Big)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$
  \quad et \quad 
  $\dsp \int_a^b k f(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$
}

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgprop{{\bf\ul{Relation de Chasles}}
  Pour tous réels $a$, $b$ et $c$, 
  \[ \int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx
  \]
}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-1,0.4)(5,3.9)
  \nwc{\f}[1]{
    #1 1.6 mul 180 mul 3.14 div sin 
    #1 div #1 add 1 add 0.8 mul}

  \pscustom{
    \psplot{-1.}{3}{\f{x}} \gsave
    \psline(3,0)(-1,0)
    %\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psplot[linewidth=1pt]{-1.2}{3.4}{\f{x}}
  \rput(3.6,3){$\Cf$}

  \psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.4)(0,3)
  \psline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(3,0)

  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (-1,-0.2)(!-1 \space \f{-1} 0.4 add)\put(-1,-0.5){$a$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (1.5,-0.2)(!1.5 \space \f{1.5} 0.4 add)\put(1.4,-0.5){$b$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (3,-0.2)(!3 \space \f{3} 0.4 add)\put(2.9,-0.5){$c$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgprop{{\bf\ul{Positivité}}
  Si pour $x\in [a;b]$, 

  $\bullet$ $f(x)\geq 0$ 
    alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\geq 0$
    \qquad\quad 
    \vsp
  $\bullet$ $f(x)\leq 0$ 
    alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq 0$
}

\bgcorol{Soit $f$ et $g$ telles que,
  pour tout $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$, 
  alors 
  $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b g(x)\,dx$
}


\bgprop{{\bf\ul{Inégalités de la moyenne}}
}

\vspd
\noindent
\bgmp{8.2cm}
  Soit $f$ telle que, 
  pour tout $x\in[a;b]$, 
  \[m\leq f(x)\leq M\]
  alors \hfill
  $\dsp
  m\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\leq M
  $\hfill

  ou encore\quad 
  $\dsp
  m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a)
  $
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-0.4)(5,3.6)
  
  \psline{->}(-0.5,0)(4,0)
  \psline{->}(0,-0.5)(0,4.5)
  
  %\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
  \nwc{\f}[1]{
    #1 -1.5 add 3 exp 0.5 mul 
    -0.8 #1 -1.5 add 2 exp mul add 2 add}

  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
  (0.6,0)(!0.6 \space \f{3.8})(!3.8 \space \f{3.8})
  (3.8,0)(0.6,0)
  \pspolygon[fillstyle=crosshatch]
  (0.6,0)(!0.6 \space \f{0.6})(!3.8 \space \f{0.6})
  (3.8,0)(0.6,0)

  \put(0.6,-0.4){$a$}\put(4.8,-0.4){$b$}
  \put(5.2,4){$\Cf$}

  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.4,0)\put(0.3,-0.5){$\vec{i}$}
  \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.5)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}

  \psplot[linewidth=1pt]{0.4}{3.92}{\f{x}}
  
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!-0.1 \space \f{0.6})(!0.6 \space \f{0.6})
  \put(-0.6,0.9){$m$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
  (!-0.1 \space \f{3.8})(!0.6 \space \f{3.8})
  \put(-0.6,3.7){$M$}

  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(4.5,0.5)(3.9,0.5)
  \put(6,0.5){$\mathcal{A}\!=\!m(b\!-\!a)$}
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(4.5,2.5)(3.9,2.2)
  \put(6,2.5){$\mathcal{A}\!=\!M(b\!-\!a)$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgex
$f$ est la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$. 

\bgen[a)]
\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[1;2]$ 
  et tracer l'allure de la courbe représentative de $f$. 
\item En déduire un encadrement de $\dsp\int_1^2 \dfrac{e^x}{x^2}\,dx$.
\item Donner, de même que précédemment, un encadrement de 
  $\dsp\int_1^3 \dfrac{e^x}{x^2}\,dx$.  
\enen
\enex



\section{Primitive d'une fonction}

\vspace{-0.6cm}
\bgdef{Une {\bf primitive de $f$ sur $I$} est une fonction $F$
  dérivable sur $I$ dont la dérivée $F'$ est $f$. 
}

\clearpage
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5x+2$. 

\noindent 
Les primitives de $f$ sont les fonctions 
$\dsp F(x)=$ \hfill
:pour tout $x\in\R$, $F'(x)=f(x)$. 
\enex

\bgex
Déterminer une primitive des fonctions suivantes: 

$\bullet$\ \ $f(x)=3x^2+x-6$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp g(x)=\frac{1}{x^2}$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp h(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ 
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp k(x)=2x+\sin(x)$ 
\enex

\bgprop{
  Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. 

  \bgit
  \item[$\bullet$] On suppose que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$. 
    Alors, l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des
    fonctions $G$ définies sur $I$ par $G=F+k$, où $k$ est un
    réel. 
  \item[$\bullet$] Si de plus $x_0\in I$ et $y_0\in\R$, 
    alors, il existe une {\bf unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle
    que $F(x_0)=y_0$.
  \enit
}



\bgex
Déterminer la primitive $F$ de $f:x\mapsto x^2-4x+2$ telle que $F(1)=0$.
\enex

\bgex
Déterminer la primitive $G$ de $g:x\mapsto 12x^5-9x^2+6x-3$ telle que $G(0)=4$.
\enex

\bgex
Déterminer la primitive $H$ de $\dsp h:x\mapsto \frac{4}{(2x+1)^2}$ 
telle que $\dsp H\lp\frac{1}{2}\rp=2$.
\enex


\section{Intégrales et primitives}

\bgth{
  %Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a\in I$. 
  %Alors 
  La fonction $F$ définie sur $I$ par 
  $\dsp F(x)=\int_a^x f(t)dt 
  $
  est {\bf l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$}.
}


\bgex Soit 
$\dsp F(x)\!=\!\int_0^x \!\!\frac{1}{1+t^2}dt$. 
Déterminer le sens de variation~de~$F$. 
\enex

\vspd
\bgprop{
  Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$, 
  et $F$ une primitive de $f$, alors, 
  \[ \int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[ F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)
  \]
}


\section{Calcul d'intégrale}

\vspace{-0.2cm}

\subsection{Recherche de primitive}

\vspace{-0.3cm}

\bgex Déterminer les primitives des fonctions suivantes puis calculer
les intégrales : 

\noindent
a)\ \  $\dsp f(x)=4x^3-5x^2+\frac{7}{3}x+2$ 
  et $\dsp I=\int_0^1 f(x)\,dx$
\qquad 
b)\ \  $\dsp g(x)=-\sin(x)+2\cos(x)$ 
  et $\dsp J=\int_0^\pi g(x)\,dx$


c)\ \  $h(x)=2x-4+\dfrac{3}{x^2}$ 
  et $\dsp K=\int_1^2 h(x)\,dx$
\qquad
d)\ \ $k(x)=\dfrac{2x}{x^2-4}$ 
   et $\dsp L=\int_{-1}^{1}k(x)\,dx$


e)\ \ $l(x)=\dfrac{8x}{\sqrt{x^2+9}}$ 
  et $\dsp M=\int_0^4 l(x)\,dx $
\qquad
f)\ \ $m(x)=e^{3x}$
  et $\dsp N=\int_0^4 m(x)\,dx$
\enex



\noindent\bgmp{13cm}
\bgex
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$ 
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$. 

\vspd
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 

\vspt
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$)}
\enex
\enmp
\bgmp{3.5cm}
\psset{xunit=2.8cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(1.2,1.3)
  \nwc\f[1]{#1 0.5 exp}
  \renewcommand{\g}[1]{#1 #1 mul}
  %
  \pscustom{
    \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
    \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}
    \fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
    \grestore}
    \psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}
  \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
  \psline(0,1)(1,1)(1,0)
  \rput(-0.08,-0.08){$O$}
  \rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspq
\bgex
Calculer la valeur moyenne de chaque fonction sur l'intervalle donné: 

\noindent
a)\ \ $f(x)=(2-x)(x-1)$ sur $[-1;0]$
\quad
b)\ \ $g(x)=e^{-3x+1}$ sur $[-1;1]$.
\quad
c)\ \ $h(t)=3\cos\lp0,2t\rp$ sur $[0;1]$
\enex


\bgex
La courbe décrite par un fil suspendu par ses deux extrémités
s'appelle une chaînette. 
On admet que la chaînette est la courbe représentative de la fonction
$f$ définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{4}$. 

\bgen
\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ dans un
  repère. 
\item A quelle hauteur est suspendu le fil à ses deux extrémités (en
  $x=-1$ et $x=1$) ? 

  La flèche prise par le fil est la hauteur entre ses points d'attache
  et le point le plus bas du fil. Quelle est la flèche pour ce fil ?

\item La longueur de la courbe représentative de $f$ est donnée par 
  $\dsp L=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\lb f'(x)\rb^2}\,dx$.
  \bgen[a)] 
  \item Vérifier que, pour tout $x\in[-1;1]$, 
    $1+\lb f'(x)\rb^2=\lp \dfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\rp^2$.
  \item En déduire que $L=\dfrac{e^2-e^{-2}}{2}$. 
    Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de cette longueur. 
  \enen
\enen
\enex


\subsection{Intégration par parties}

\bgth{
  Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un
  intervalle $I=[a;b]$, 
  alors, 
  \[\int_a^b u(x)v'(x)dx = \Bigl[ u(x)v(x)\Bigr]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)dx
  \]
}


\bgex
Calculer les intégrales suivantes: 

\hspace{-0.5cm}
$\bullet$\ \ $I=\dsp\int_0^\pi x\sin(x)dx$
\hspace{0.2cm}
%$\bullet$\ \ $\dsp J=\int_3^3 \frac{x}{\sqrt{2x-3}} dx$
$\bullet$\ \ $\dsp J=\int_0^3 xe^x\,dx$
\hspace{0.2cm}
$\bullet$\ \ $\dsp K=\int_0^2 (1+t)e^{-t} dt$
\hspace{0.2cm}
$\bullet$\ \ $\dsp L=\int_0^{\frac{\pi}{2}} t\cos(2t) dt$
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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